研究矩阵的合同与实二次型理论的关系.在将实二 次型变化的过程中,我们常常需要作变换,这种变换 可以用如下关系描述 X=Cuy,+cny2 t,+CIny x=C,1V1+C,y+…+C,,y y+cn2y2+…+cmyn2 称为由变量,y2…y到变量x,x线性变换 Ci 12 Cr x 矩阵形式为x=CC= C x 可逆变换正交变换经可逆变换x=O二次型的矩阵A 变为与A合同的矩阵B=CTAC且二次型的秩不变
可逆变换,正交变换.经可逆变换 二次型的矩阵 变为与 合同的矩阵 且二次型的秩不变． 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 , , , n n n n n n n nn n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y = + + + = + + + = + + + 研究矩阵的合同与实二次型理论的关系．在将实二 次型变化的过程中，我们常常需要作变换，这种变换 可以用如下关系描述： 称为由变量 y y y 1 2 , , , n 到变量 x x x 1 2 , , , n 线性变换． 矩阵形式为 x y = C 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn c c c c c c C c c c = 1 2 n x x x = x 1 2 n y y y = y x y = C A A T B C AC =
62化二次型为标准形 62.1用正交变换法化二次型为标准形 定义3如果二次型f(x,x2,…,x)=xAx通过可逆 x=⑦y线性变换化成二次型yB且仅含平方项.即 f=y By=ky4+k,y2+.+k,y 则称上式为二次型的标准形.一般的,二次型的标 准形不惟一.标准形所对应的矩阵为对角矩阵,即 k k2 B=C AC=
6.2 化二次型为标准形 6.2.1用正交变换法化二次型为标准形 定义3 如果二次型 通过可逆 线性变换化成二次型 且仅含平方项．即 则称上式为二次型的标准形．一般的，二次型的标 准形不惟一． T 1 2 ( , , , ) n f x x x A = x x x y = C T y y B T 2 2 2 1 1 2 2 n n f B k y k y k y = = + + + y y 标准形所对应的矩阵为对角矩阵，即 1 T 2 n k k B C AC k = =
定理1任给一个二次型∫(x2x2…xn)=xAx总存在 正交变换x=Py使f化为标准形 f=1y2+42y2+…+41y2=y4y 其中λ122…是矩阵的特征值,正交矩阵P的 n个列向量n2P2…,Pn是对应于41,42…,4的 特征向量
其中 是矩阵的特征值，正交矩阵 的 个列向量 是对应于 的 特征向量． 定理1 任给一个二次型 总存在 正交变换 使 化为标准形 T 1 2 ( , , , ) n f x x x A = x x x y = P f 2 2 2 T 1 1 2 2 n n f y y y = + + + = y y 1 2 , , , n P n 1 2 , , , n p p p 1 2 , , , n