Klein-Gordon方程解决方法1：H2=cp2+m2cmc2/)cp?→Klein-Gordon方程：P1at?h?h?O-V)2/4)=(c2p2 +m2c*)/4)(ih非自由粒子：at问题:（1）率密度不正定（2）有负能解，且无下限（考虑跃迁，似乎很不合理）（3）时间二阶方程，初始条件需要中及其时间一阶导数(4)中是标量，只可能描述无自旋粒子如介子、k中介子，不能描述电子（所得氢原子能级也与实验符合不好）
◼ 解决方法1： ◼ → Klein-Gordon方程： ◼ 非自由粒子： ◼ 问题： ◼ （1）几率密度不正定 ◼ （2）有负能解，且无下限（考虑跃迁，似乎很不合理） ◼ （3）时间二阶方程，初始条件需要Ψ及其时间一阶导数 ◼ （4）Ψ是标量，只可能描述无自旋粒子如п介子、к中介 子，不能描述电子（所得氢原子能级也与实验符合不好） 2 2 2 2 4 H c p m c = + 2 2 2 2 4 2 2 2 ( ) c p m c t = − − 二、Klein-Gordon方程 2 2 2 2 4 (i V) ( ) c p m c t − = +
三、Dirac方程解决方法2：设H算符可写为p的一次形式H=cα·p+βmc2c p? +m2c4 =(ca·p+ βmc*) =(caxPx+ca,P, +ca.P. + βmc*)α、β与空间坐标无关H+=cpα+β+mc2→β+=β,α+=α,[α,P]=0c( +p, + p?)+m?c4 =[c?(αp +α,p, +α?p?)+βmc]+[cpp,(α,+α,)+cp.(αα+α,)+cp(αα,+αα)+[mcp,(α,β+βα,)+mcp,(α,β+βα,)+mcp.(α.β+βα,)]α = β2 =1 (i= x,y,z)α,α, +α,α, =(α,α,}=[α,,α,l+=0 (i j)α;β+βα, =[α,,β]+=0
三、Dirac方程 ◼ 解决方法2：设H算符可写为p的一次形式 ◼ α、β与空间坐标无关 2 2 2 4 2 2 2 2 ( ) ( ) x x y y z z c p m c c p mc c p c p c p mc + = + = + + + 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 3 3 3 ( ) [ ( ) ] [ ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( )] x y z x x y y z z x y x y y x y z y z z y z x z x x z x x x y y y z z z c p p p m c c p p p m c c p p c p p c p p mc p mc p mc p + + + = + + + + + + + + + + + + + + + 2 H = c p + mc , , [ , ] 0 2 = + → = = = + + + + + H cp mc p [ , ] 0 { , } [ , ] 0 ( ) 1 ( , , ) 2 2 + = = + = = = = = = + + i i i i j j i i j i j i i j i x y z