会有不同的规律。可见，结点直线的差别也是取决于它们的取向。 空间点阵中的结点平面和结点直线相当于晶体结构中的晶面和晶向，在晶体学中分 别用晶面指数和品向指数或称密勒(Mr.W.H.,英国品体学家)指数来表示它们的方 向。晶面指数的确定方法为： 1.在一组互相平行的品而中任选一个晶面，量出它在三个坐标轴上的裁距并以点阵 周期a、b、c为单位来度量； 2.写出三个截距的倒数； 3.将三个倒数分别乘以分母的最小公倍数，把它们化为三个简单整数、1，再用 圆括号括起，即为该组晶面的晶面指数，记为()。 显然，、k、为互质整数。在图2-5中绘出了立方体的几个主要品面，并标出了它们 的晶面指数。请注意负数时的表示方法。 (100 (200) (110) 410) 110 102 困25之方系中儿个主要品面及其品面指数 在同一晶体点阵中，有若干组晶面的面间距和品面上结点分布完全相同。这些空间 位向和性质完全相同的晶面属于同一晶面族，用大括号{以来表示。例如，在立方晶系 中100；晶面族包括：(100)、(010)、(001)、(00)、(010)、(00i)六个晶面，1110晶面族包 括：110)、(101)、(01)、(10).(1i0)、(110)、(①01)、(10i)、(i0i)、(01i)、(01)、(011)十 个晶面。但是在其它晶系中，品面指数的数字绝对值相同的品面就不一定都属于同一品 面族。例如，对正方晶系由于a÷b≠c,因此100被分成两组，其中(100)，(010)，(00)、 (010)四个品面属于一族晶面，而(001和(001)属于另一族晶面。 晶向指数的确定方法为： 【.在一族互相平行的结点直线中引出过坐标原点的结点直线； 2.在该直线上选距原点最近的结点，量出它的结点坐标； 3.将三个坐标值用方括号括起，即为该族结点直线的晶向指数。 当泛指某晶向指数时，用[mw]表示。在图2-6中绘出立方体的几个主要品向，并标 出了它们的晶向指数。有对称关联的等同品向用〈w》表示，如立方系的四个体对角线 111][111][T1][i11]均用(1)表示 六方品系的品面和晶向指数也可以用三轴表示方法。取a1、2和c为晶轴，41与 22
a2的夹角为120，如图27(a)所示。该法的缺点是不 能显示出晶体的六次对称及等同面的特征。例如六个 -11 1001 柱面是等同的，侣按上术三销宗向的指法确定的晶葡 指数为：(100)、(010)，(00)、(00)及(110)：在晶向表 t00 示上也存在同样的问题，如[100]和[110]的指数不同， 但却是等同晶向。在晶体学中往往采用四轴定向的方 210] 法，称为密勒布拉菲指数。这种定向方法选取四个坐 [00] 标轴，如图2-7(a)所示，其中a1、a在同一水平面 上，它们之间的夹角为120，c轴与这个水平面垂直。图26立方系中几个品向指数 这样求出的晶面指数由(h显)表示。其中前三个指数 1001 (01) 0 210 1I0 D10 (b) 闲27六方品系的品而及酷向指数 (a)大方单位品胞；(b)品酒指数和品向指数 只有两个是独立的，它们之间存在如下关系 i=-(h+k) 2.2} 因第三个指数可以由前两个求得，故有时将：略去，可以写戒(h)或(k·)。用四轴定 向方法求出的六个柱面的晶面指数为：(10j0)、(0110)、(1100)、(i010)、(0110)、(1i00) 它们都是由1、，0,0四个数字以不同的方式排列而成。这样的晶面指数可以明显地显示 出六次对称及等同晶面的特征。六方晶系中四轴定向的品向指数用[细]来表示。四轴 坐标品向指数的确定，并不像确定晶面指数那么简单直观。但是，在三轴坐标系中确定它 的晶向指数是很容易的。因此通常的作法是先求出三轴和四轴晶向指数之间的关系，然 后再由三轴品向指数换算出四轴品向指数。三轴坐标系的晶向指数[W]与和四轴坐 标系的晶向指数[mtm]之间可按下列关系互换 U=-1 V=电-t} (2-3) W三地 ·23·
a=号U-}y =子rU (2.4) t=-(u+)=-3(U+） = 图2-7(b)中标出了六方品系某些晶面和品向的指数。 五、晶带、晶面问距和晶面夹角 1.品带 在品体结构和空间点阵中平行于某一轴向的所有品而均属于同一个品带，这些晶面 叫做晶带面(lane of a zone)。品带面的交线互相平行，其中通过坐标原点的那条平行直 线称为晶带轴(ocxs)。品带轴的品向指数即为该品带的指效 在同一品带中包括有各种不同晶面族的品面，因为对同晶带晶面的唯一要求就是它 们的交线平行于晶带轴。例知，在图2-8中画出了[001]品带中所包括的品面有：(100) (010)、(110)、(120小.等。 根据品带的定义，同~品带中所有晶而的法线都 与品带轴垂直。所以通过矢量的摄念可以导出，凡是 10)20) 属于[a]品带的品面，它的品面指数(hkM)都必须符 合下式 h4+3+n=0 (2-5) 通常把这个关系式称为品带定律 当已知某品带中任意两个品面的面指数(，) 和(：22)时，便可以通过(25)式计算出品带轴的指 数，其方法如下： 利用(2-5)式.对两个已知品面的面指数分写出 h11+11+l11=0 图2-8属于[001]品希的某些品面 h2+k22+l202=0 将这两个方程式联立求解可得 -编-(-h:-6A:a- t=2-k241】 或者写成 v=lzh2 -lzhy (2-6) tw=hk2-h2k1J 同理，如果某个品面（椒）同时属于两个指数已知的品带[]和[4222时，则 可以根据(2-5)式求出该品面的面指数。其计算公式为 h=02-201 =034-02 (2-7) 1=12-42秒11 ·24·
在其它晶体学问题中，可以利用(26)式计算品面指数已知的两个最面交线的品向指 数，利用(2T)式计算指数已知的两条相交直线所确定的晶面的而指数。 2.品面间距的计算公式 晶面间距是指两个相邻的平行品面间的垂直距离。通常州山成简写为d来表示。 点阵中所有的晶面都有月己的 面间距，面间距越火的晶面其指数越 低结点的密度也越。图29绘出 了在二维情况下的品血指数与面间 距的定性关系，在二维情况下也完全 21 相同 以下给出金属中常见晶系的有三 关晶面阿距公式，其中4、c为晶 格常数（推导从略）。 133 立方品系的面间公式为 图2-9品面指数与品而间距和品而上结点密度的关系 d=示+股+ (2-8) 正方品系 d= {29) 六方品系 d= (2-10) √(2+++（是e 3.品面夹角的计算公式 晶面夹角可以用晶面法线间的夹角来表小。立方品系品面间夹角公式为 hh2+k2+1l2 09=√所+解+明√+货+号 (2-11) 正方晶系 山：+地+些 , (2-12) 六方晶系 [+妇+（妇+】+ C cosp (2-13) V+与+√+++ 上而的公式也可以用来计算晶向夹角以及晶向与品面间的夹角。在计算品向夹角 时，只要把公式中的晶面指数换成晶向指数就可以了。 通常晶面夹角可以通过查表求得，参见附录10。 ·25
82-3衍射的概念与布拉格方程 观察一下白图2-10(a)所示的两个波，波前为圆形，随着传播距离增加，波前变成近 似垂直于传播方向的平面波。现在只考虑A方向的波，两个波在出发点位相相同，到达 5处以后互相之间有△4的波程差，也就是第二个波多走了△4的距离。当△4=(n 0,1,2,3,.)时，两个波的位相完全-致，所以在这个方向上两个波相互加强。即两个波 的合成振幅等于两个波的原振幅的叠加。显然，上述波程差随方向不同而不同。比如在 B的方向上.如图210h)所示.h于波得差△B=（n+12)入〔n=0.1.2.).所以在元处 第一个波的波峰和第二个波的波谷相重叠，合成波振幅为零。也就是在这个方向上由于 两个波的位相不同而相互抵消。自然，在A和B的中间方向上可以得到如图20()所 示的合成波，其振辐大小介于A方向和B方向合成波振幅的中间值。通过以上的讨论 我们可以得到下面的结论：两个波的波程不一样就会产生位相差：随春位相差变化，其合 成相也变化， MAAA 问的合成 △B=a2 合成波（找相）一 AAv· 合成波 a 210波的合成示意 死在把上述原理应用到X射线衍射中去。图211为晶体的一个裁面，原子排列在 与纸面垂直并且相互平行的一纽平面A,B,C.上，设晶体而间距为”，X射线波长为入， 而且是完全平行的单色X射线，以人射角(incident angle)日人射到品面上（须注意，X射线 学中入射角与反射角的含义与一般光学的有所不同)。如果在X射线前进方向上有一个 原子，那么X射线必然被这个原子向四面八方散射。现在从这些散射波中挑选出与入射 线成29角的那个方向上的散射波。首先观察被1和1：它们分别被这个原子和P原子 向四面八方散射。但是在'和1方向上射线束微射被的位相相同，所以互相加强。这 时因为波前(wave front)XX和Y之间的波程差QK-PR=PKcos0-PKcos6=0的缘故： 同样，A品面上的所有原子在'方向上的散射线的位相都是相同的，所以互相加强。当波 !和2分别被K和L原子散射时，1K1'和2L2之问的波程差为 ML+NL=d'sing+d'sind =2d'sin 如果波程差2sin0为波长的整数倍，即 2dsim8=m(n=0,l,2,3,.） (2-14) 时散射波1'2的位相完全相同，所以互相加强。上式就是布拉格定律(B匹'lw),它是 X射线行射的最基本的定律。式中n为整数，称为反射级数(onder of reflection)。反射级 数的大小有一定限制，因为日不能大于1。所以，对于-定的入和d,必然存在可以产 ·26