中图苔技术大荸数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 81 Euler公式 做等距分割,利用数值微分代替导数项,建立差分方程 ·七 称为局部截断误差 显然,这个误差在逐 1、向前差商公式 步计算过程中会传播, 积累。因此还要估计 y(n+D-y(n) h 这种积累 y(n)+y(sn) h 2 y(n+d-y(xn) f(n, y(n)+y(sn) y(xn)=y(x)+(x,)(x,)+y"(En 2 所以,可以构造差分方程 m+=yn+ hf(xn, yn)
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 8.1 Euler公式 做等距分割，利用数值微分代替导数项，建立差分方程。 i m b a x I i − : = 1、向前差商公式 ''( ) 2 '( ) ( ) ( ) 1 n n n n y h y x h y x y x = + + − ''( ) 2 ( , ( )) ( ) ( ) 1 n n n n n y h f x y x h y x y x = + + − ''( ) 2 ( ) ( ) ( , ( )) 2 n 1 n n n n y h y x + = y x + hf x y x + 所以，可以构造差分方程 ( , ) n 1 n n n y = y + hf x y + 称为局部截断误差。 显然，这个误差在逐 步计算过程中会传播， 积累。因此还要估计 这种积累
) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 定义在假设y2=y(x),即第i步计算是精确的前提下,考虑 的截断误差R1=yx1)-y1称为局部截断误差 r ocal truncation error。 定义若某算法的局部截断误差为O(hp+),则称该算法有p 阶精度。 2、收敛性 考察局部误差的传播和积累 y(n+)=y(rn)hf(xv(x))x 2 ym=yn+hf(n, yn) 记为h +1
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 定义 在假设 yi = y(xi )，即第 i 步计算是精确的前提下，考虑 的截断误差 Ri = y(xi+1 ) − yi+1 称为局部截断误差 /* local truncation error */。 定义 若某算法的局部截断误差为O(h p+1 )，则称该算法有p 阶精度。 记为 2、收敛性 ''( ) 2 ( ) ( ) ( , ( )) 2 n 1 n n n n y h y x + = y x + hf x y x + ( , ) n 1 n n n y = y + hf x y + hTn+1 考察局部误差的传播和积累
) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS en+=v(n+1)-ynl y(m)yl+hf(n, y(x,))-f(rn,y,)+hII, nr len+hLy(xm)-yn+hTn+ ≤(1+ML)en+h7,T=mx7 <(1+hL(1+hL)e,- +hr)+hT (1+hL)2ln1+(1+hL)+)h7 ≤(1+h)2(1+hL)en2+M)+(+hL)+1 (1+h1)3n2+(1+)2+(+h)+1k7
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 1 1 1 ( ) n+ = n+ − n+ e y x y 1 ( ) ( , ( )) ( , ) n − n + n n − n n + hTn+ y x y h f x y x f x y 1 ( ) n + n − n + hTn+ e hL y x y j j (1+ hL) en + hT , T = max T (1+ hL)((1+ hL) en−1 + hT)+ hT (1 hL) en 1 ((1 hL) 1)hT 2 = + − + + + (1 hL) ((1 hL) en 2 hT) ((1 hL) 1)hT 2 + + − + + + + (1 hL) en ((1 hL) (1 hL) 1)hT 2 2 3 = + − + + + + +
) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ≤(1+hDy+|a+(+h)y+…+(1+hL)+)7 (1+hL)yo|+ 1-(1+h) hT 1-(1+hL) ≤(1+M)yo+ (1+hL) hT hL ≤(+M)| e=0 (1+x)<e e (n+lhL T T=O(h) L 是1阶方法 em=o(h) 称为整体截断误差
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS hL e ( hL hL )hT n n (1 ) 0 (1 ) (1 ) 1 1 + + + + + + + + hT hL hL hL e n n 1 (1 ) 1 (1 ) (1 ) 1 0 1 − + − + = + + + + hT hL hL hL e n n 1 0 1 (1 ) (1 ) + + + + + + + + L T hL e n 0 1 (1 ) + L T e (n 1)hL ( ) en+1 = O h ( ) (1 ) 0 0 T O h x e e n nx = + = 称为整体截断误差 是1阶方法
中图苔技术大荸数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 3、稳定性一误差在以后各步的计算中不会无限制扩大。是格式对舍入误差的抑止作用 我们考虑一种简单情况,即仅初值有误差,而其他计算步骤无误差 设{=}是初值有误差后的计算值,则 yn=yn+hf(n,yn) n+1 所以,我们有: en=lym4l-Ensle +hlf(n,y,)-f(n, =m) <en+hLyn-Emn=len (1+hL) (1+M) n+ e (n+DhL 可以看出,向前差商公式关于初值是稳定的。当初始误差充分小,以后各步的误差 也充分小
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 3、稳定性－误差在以后各步的计算中不会无限制扩大。是格式对舍入误差的抑止作用 我们考虑一种简单情况，即仅初值有误差，而其他计算步骤无误差。 设 { }i z 是初值有误差后的计算值，则 ( , ) ( , ) 1 1 n n n n n n n n z z hf x z y y hf x y = + = + + + 所以，我们有： ( , ) ( , ) n 1 n 1 n 1 n n n n n e y − z e + h f x y − f x z + + + e hL y z e (1 hL) n + n − n = n + n n hL e hL e e ( 1) 0 1 0 (1 ) + + + 可以看出，向前差商公式关于初值是稳定的。当初始误差充分小，以后各步的误差 也充分小