) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 第二章数值微分和数值积分
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 第二章 数值微分和数值积分
) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 数值微分 1.函数fx)以离散点列给出时,而要求我们给出导数值, 2.函数f(x)过于复杂 这两种情况都要求我们用数值的方法求函数的导数值 微积分中,关于导数的定义如下: f(x)=lm f(x+h)-f(x f(x)-f(x-h) f(x+h)-f(x h→>0 h h→0 h h→>0 2h 自然,而又简单的方法就是,取极限的近似值,即差商
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 数值微分 h f x h f x h h f x f x h h f x h f x f x h h h 2 ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) '( ) lim 0 0 0 + − − = − − = + − = → → → 1. 函数f(x)以离散点列给出时，而要求我们给出导数值， 2. 函数f(x)过于复杂 这两种情况都要求我们用数值的方法求函数的导数值 微积分中，关于导数的定义如下： 自然，而又简单的方法就是，取极限的近似值，即差商
) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 向前差商 f(xo +h)-f(ro) 由 Taylor展开 f(x+h)=f(x)+h(x0)+f"(5x≤5≤x0+h 2 因此,有误差 R(x)=f(x0) f(ro +h)fo ∫"'()=O(h
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS h f x h f x f x ( ) ( ) '( ) 0 0 0 + − 由Taylor展开 f x x h h f x + h = f x + hf x + 0 0 + 2 0 0 0 ''( ), 2! ( ) ( ) '( ) 因此，有误差 ''( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) '( ) 0 0 0 f O h h h f x h f x R x f x = − = + − = − 向前差商
) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 向后差商 f(o) f(o)-f(xo -h h 由 Taylor展开 h f(x。-h)=f(x)-b(x)+f"(5,x0≤5≤x+h 因此,有误差 R(x)=f(ro)f(xo)-f(xo-h)h =f"()=O(h h
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS h f x f x h f x ( ) ( ) '( ) 0 0 0 − − 由Taylor展开 f x x h h f x − h = f x − hf x + 0 0 + 2 0 0 0 ''( ), 2! ( ) ( ) '( ) 因此，有误差 ''( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) '( ) 0 0 0 f O h h h f x f x h R x f x = = − − = − 向后差商
中图苔技术大荸数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 中心差商 f(x0+h)-f(x0-h) 2h 由 Taylor展开 h f(xo+h)=f(o)+hf(xo)+af(xo)+af (s,xo sssxo +h 2 f(x。-h)=f(x0)-h(x0)+f"(x0)-f"(52),x-h≤52≤x 因此,有误差 R(x)=f(x0) (xo+h)-f(o-h) 2h I八"(1)+f"(2)=f"(5)=O(h2)
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS h f x h f x h f x 2 ( ) ( ) '( ) 0 0 0 + − − 由Taylor展开 2 3 0 0 0 0 1 0 1 0 2 3 0 0 0 0 2 0 2 0 ( ) ( ) '( ) ''( ) '''( ), 2! 3! ( ) ( ) '( ) ''( ) '''( ), 2! 3! h h f x h f x hf x f x f x x h h h f x h f x hf x f x f x h x + = + + + + − = − + − − 因此，有误差 '''( ) ( ) 6 [ '''( ) '''( )] 12 2 ( ) ( ) ( ) '( ) 2 2 1 2 2 0 0 0 f O h h f f h h f x h f x h R x f x = + = = + − − = − 中心差商