中图苔技术大荸数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 第7章矩阵的特征值和特征向量 很多工程计算中,会遇到特征值和特征向量的计算,如:机械、结构或电磁振 动中的固有值问题;物理学中的各种临界值等。这些特征值的计算往往意义重大
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 第7章 矩阵的特征值和特征向量 很多工程计算中,会遇到特征值和特征向量的计算,如:机械、结构或电磁振 动中的固有值问题;物理学中的各种临界值等。这些特征值的计算往往意义重大
) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 特征值:PA()=dex-A)=0的根为矩阵A的特征值 特征向量:满足2y=Av的向量v为矩阵A的对于特征值的特征向量 PA()称为矩阵A的特征多项式 PA()是高次的多项式,它的求根是很困难的。没有数值方法是通过求它的根 来求矩阵的特征值。通常对某个特征值,可以用些针对性的方法来求其近似值。若要 求所有的特征值,则可以对A做一系列的相似变换,“收敛”到对角阵或上(下)三角阵 从而求得所有特征值的近似
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 特征值: PA () = det(I − A) = 0 的根 为矩阵A的特征值 特征向量:满足 v Av i = 的向量v为矩阵A的对于特征值 的特征向量 i () PA 称为矩阵A的特征多项式 PA () 是高次的多项式,它的求根是很困难的。没有数值方法是通过求它的根 来求矩阵的特征值。通常对某个特征值,可以用些针对性的方法来求其近似值。若要 求所有的特征值,则可以对A做一系列的相似变换,“收敛”到对角阵或上(下)三角阵, 从而求得所有特征值的近似
中图苔技术大荸数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 71幂法 矩阵的按模最大特征值往往表现为阈值。如:矩阵的谱半径。幂法就是一种 求矩阵按模最大特征值的方法,它是最经典的方法。 幂法要求A有完备的特征向量系。即A有n个线性无关的特征向量。在实 践中,常遇到的实对称矩阵和特征值互不相同的矩阵就具有这种性质。设A的特征 值和特征向量如下 特征值: A≥2122…≥2 特征向量:V1V 幂法可以求v1,基本思想很简单
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 7.1 幂法 矩阵的按模最大特征值往往表现为阈值。如:矩阵的谱半径。幂法就是一种 求矩阵按模最大特征值的方法,它是最经典的方法。 幂法要求A有完备的特征向量系。即A有n个线性无关的特征向量。在实 践中,常遇到的实对称矩阵和特征值互不相同的矩阵就具有这种性质。设A的特征 值和特征向量如下: n n v v v 1 2 1 2 特征值: 特征向量: 幂法可以求 1 1 v ,基本思想很简单
) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 设 7=1线性无关,取初值x(0),作送h(k+=Dm)_k+y 设: (0) v1+a2v2+ 则有:x(k)=A(a11+a22+…+anvn) =aAv+a、A1+……+a.A1 4V1+a2v2+…+
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 设 n i i=1 v 线性无关,取初值 (0) x ,作迭代 ( 1) ( ) 1 (0) x Ax A x k+ k k+ = = 设: n n x = a v + a v ++ a v 1 1 2 2 (0) n k n n k k n k n k k n n k k a v a v a v a A v a A v a A v x A a v a v a v = + + + = + + + = + + + 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) 则有:
) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS (1)若 k x= av,+a2 ,2 ∴+a a1≠0则k足够大时,有 =1( av k+1) k+1 (k )(k+1) 可见xx 几乎仅差一个常数 所以: 1≈x+1)/x(4) 任意分量相除 ≈x(6)—特征向量乘以任意数,仍是特征向量
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS (1)若: 1 2 n + + = + n k n n k k k x a v a v a v 1 2 1 2 1 1 1 2 ( ) a1 0 则k足够大时,有 ( ) 1 1 1 ( ) x a v k k = ( ) 1 1 1 1 ( 1) x a v k+ k+ = 可见 ( ) ( 1) , k k+ x x 几乎仅差一个常数 1 ( ) 1 ( 1) ( ) 1 / k k k v x x x + 所以: 任意分量相除 特征向量乘以任意数,仍是特征向量