3接普拉斯变换写选拉普拉斯变换的定 【注3】单边拉普拉斯变换的存在条件： ●条件之二： 当→0时，)的增长速度不超过某 一 指数函数，也就是说可以找到常数a和M>0,使得 lft)≤Meat (t≥0) 只要是在复平面上对于R(s)>a(即o>a)的所有复数s, 都能使拉普拉斯变换的积分绝对收敛，则R(s)>a为拉 普拉斯变换的收敛域（或称解析域)，α称作收敛坐标， 见下图所示。 Im(s) 收敛域 0 Re(s) 拉普拉斯变换收敛域
2.3.2 拉普拉斯变换与逆拉普拉斯变换的定义 【注3】单边拉普拉斯变换的存在条件： ⚫ 条件之二：当t→∞时，f(t)的增长速度不超过某一 指数函数，也就是说可以找到常数a和M＞0，使得 |f(t)|≤Me at (t≥0) 只要是在复平面上对于Re(s)＞a（即σ＞a）的所有复数s， 都能使拉普拉斯变换的积分绝对收敛，则Re(s)＞a为拉 普拉斯变换的收敛域（或称解析域），a称作收敛坐标， 见下图所示。 21 拉普拉斯变换收敛域 0 a Im(s) Re(s) 收敛域
吃3接普拉斯变换与选拉普拉斯变换的定 【注3】第二个条件证明如下： 设s=o+jw,则 le=le-arlle-jor=eor 所以 f(t)e=f(t)lle-"=f(t)e a 如果 f(t)≤Mem 则 lft)e=f(t)le-o≤Me“ea'-Me-o-n 所以|F(s=f)-e"d≤M心eood 由上式可知，只有当σ-a心0时，上式右端积分才收敛， 所以拉普拉斯变换只在R(s)>a(即o>a)的区域上存 在，即Re(s)>a（亦即o>a)为拉普拉斯变换的收敛域
2.3.2 拉普拉斯变换与逆拉普拉斯变换的定义 【注3】第二个条件证明如下： 设s=σ+jω，则 22 j e e e e t st t t − − − − = = 所以 ( )e ( ) ( ) e e st t st f t f t f t − − = = − 如果 ( ) ( )e ( ) e e e st t at t a t f t f t M e M − − − − − = = ≤ ( ) e at f t ≤M 则 所以 ( ) 0 0 ( ) ( ) e d e d st a t F s f t t M t − − − = ≤ 由上式可知，只有当σ - a>0时，上式右端积分才收敛， 所以拉普拉斯变换只在Re(s)＞a（即σ＞a）的区域上存 在，即Re(s)＞a（亦即σ＞a）为拉普拉斯变换的收敛域
吃3拉普拉斯变换与选拉普拉斯变换的定 例如：t、sinwt、tsinwt的收敛域为Re(s)>0; eat、teat、e-asinot的收敛域为Re(s)>-a; 而et2、tet2不存在拉普拉斯变换。但是如果 f()= 0≤t≤T<0 0 K<0,t>T 则t)的拉普拉斯变换存在。这是因为et2只在有限的 时间区间[0，T]存在，而不是0≤≤0。这样的信号 在物理上是可以实现的，而f(t)=et2（t≥0)在物 理上是不可能实现的。所以，实际工程中，物理上 能够实现的信号的拉普拉斯变换一般总是存在的
2.3.2 拉普拉斯变换与逆拉普拉斯变换的定义 例如：t、sinωt、tsinωt的收敛域为Re(s)＞0； e −at 、te −at 、e −atsinωt的收敛域为Re(s)＞−a； 而e 𝑡 2 、te 𝑡 2不存在拉普拉斯变换。但是如果 23 2 e 0 ( ) 0 0 t t T f t t t T = ≤ ≤ ＜ ＜ ， ＞ 则f(t)的拉普拉斯变换存在。这是因为e 𝑡 2只在有限的 时间区间[0，T]存在，而不是0≤t≤∞。这样的信号 在物理上是可以实现的，而𝑓 𝑡 = e 𝑡 2（t≥0）在物 理上是不可能实现的。所以，实际工程中，物理上 能够实现的信号的拉普拉斯变换一般总是存在的
吃3拉普拉斯变换与选拉普拉斯变换的定 2.逆（反）拉普拉斯变换的定义 由像函数F)求原函数t)称作逆（反)拉普拉斯变 换。计算公式（称为反演积分公式）为 2元g-F(s)e"ds(0) f0=L'[Fs]= ■该积分是沿直线R(s)=o的复积分。直接按上述定 义式计算复变函数的积分通常非常困难，本课程 对此不做要求。但要求能够利用部分分式展开法 将一个复变函数分解成简单的复变函数之和，然 后利用7种典型时间函数的拉普拉斯变换和拉普拉 斯变换的性质得到原函数。 ■【注】在做作业和考试时不要试图按上述定义式 求逆拉普拉斯变换
2.3.2 拉普拉斯变换与逆拉普拉斯变换的定义 2. 逆（反）拉普拉斯变换的定义 由像函数F(s)求原函数f(t)称作逆（反）拉普拉斯变 换。计算公式（称为反演积分公式）为 24 j 1 j 1 ( ) [ ( )] ( )e d ( 0) j2π st f t L F s F s s t + − − = = ＞ ◼该积分是沿直线Re(s)=σ的复积分。直接按上述定 义式计算复变函数的积分通常非常困难，本课程 对此不做要求。但要求能够利用部分分式展开法 将一个复变函数分解成简单的复变函数之和，然 后利用7种典型时间函数的拉普拉斯变换和拉普拉 斯变换的性质得到原函数。 ◼【注】在做作业和考试时不要试图按上述定义式 求逆拉普拉斯变换
2.3.3典型时间岛数的拉普拉斯 变换 (1)单位阶跃函数1()的拉普拉斯变换 (2)单位脉冲函数)的拉普拉斯变换 (3)单位斜坡函数)=t1()的拉普拉斯变换 (4)指数函数)ea11()的拉普拉斯变换 (5)正弦函数t)=sin@t1(t)的拉普拉斯变换 (6)余弦函数t)=coswt1(t)的拉普拉斯变换 (7)幂函数t)=1()的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换简表
（1）单位阶跃函数1(t)的拉普拉斯变换 （2）单位脉冲函数δ(t)的拉普拉斯变换 （3）单位斜坡函数f(t)=t∙1(t)的拉普拉斯变换 （4）指数函数f(t)=eat∙1(t)的拉普拉斯变换 （5）正弦函数f(t)=sinωt∙1(t)的拉普拉斯变换 （6）余弦函数f(t)=cosωt∙1(t)的拉普拉斯变换 （7）幂函数f(t)=t n ∙1(t)的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换简表 25