33典型时间品数的拉普拉斯变换 【说明】在本课程中，计算各种时间函数)的拉普 拉斯变换时，)的定义域一律为t≥0，并且假定< 0时，)三0。例如：下面三种写法等效。 ∫ecos(10)t≥0 1<0 u(t) f(t)=e-scos(10t).u(t) f(t)=ecos(10t)(t≥0) 单位阶跃函数 有时简写为（不严谨）： 0 t≤0 f(t)=e-s cos(10t) 0= 1 t>0
2.3.3 典型时间函数的拉普拉斯变换 【说明】在本课程中，计算各种时间函数f(t)的拉普 拉斯变换时，f(t)的定义域一律为t≥0，并且假定t＜ 0时，f(t)≡0。例如：下面三种写法等效。 26 5 ( ) cos(10 ) ( 0) e t f t t t − = ≥ 5 cos(10 ) 0 ( ) 0 0 e t t t f t t − = ≥ ＜ 5 ( ) cos(10 ) ( ) e t f t t u t − = 有时简写为（不严谨）： 5 ( ) cos( e 10 ) t f t t − = 0 0 ( ) 1 0 t u t t = ＜ ＞ 1 t u(t) 0 单位阶跃函数
233典型时间品数的拉普拉斯变换 【说明】求实函数)的拉普拉斯变换（还有傅里叶 变换)时，因为是对实变量进行积分，所以积分过 程与实变函数类似，实变函数的积分性质和积分方 法（如分部积分法、变量替换法）同样适用于求拉 普拉斯变换（和傅里叶变换）的积分过程。 【提示】在计算函数)的拉普拉斯变换时，可以将 复变量作为实数变量来处理，得到的结果适合于 为复变量的一般情况。但应注意到收敛域（或称解 析域)方可得到正确的结果。也要切记并不是实变 量而是复变量
2.3.3 典型时间函数的拉普拉斯变换 【说明】求实函数f(t)的拉普拉斯变换（还有傅里叶 变换）时，因为是对实变量t进行积分，所以积分过 程与实变函数类似，实变函数的积分性质和积分方 法（如分部积分法、变量替换法）同样适用于求拉 普拉斯变换（和傅里叶变换）的积分过程。 【提示】在计算函数f(t)的拉普拉斯变换时，可以将 复变量s作为实数变量来处理，得到的结果适合于s 为复变量的一般情况。但应注意到收敛域（或称解 析域）方可得到正确的结果。也要切记s并不是实变 量而是复变量。 27
23.3典型时间西数的拉普拉斯变换 (单位阶跃（或称单位位置）函数的拉普拉斯变换 单位阶跃函数定义为 根据拉普拉斯变换定义得 /0 <0 I(s)=L.[u(]=u(t)e-"dr 4(t)）= 1>0 -e-(e u(t) -=-e） O[Re(s)>0时] 0 =-0-=1 单位阶跃函数 【注】仁0处不予定义。 解析域：Res)>0（o>0)。 积分下限取0或0+，拉普 因为只有Res)>0,上面的拉 拉斯变换结果一样。 普拉斯变换才存在（积分收 敛)
2.3.3 典型时间函数的拉普拉斯变换 （1）单位阶跃（或称单位位置）函数的拉普拉斯变换 单位阶跃函数定义为 28 根据拉普拉斯变换定义得 0 0 ( ) 1 0 t u t t = ＜ ＞ 0 ( ) [ ( )] ( ) d e st I s L u t u t t + − = = + 1 t u(t) 0 单位阶跃函数 解析域：Re(s)＞0（σ＞0）。 因为只有Re(s)＞0，上面的拉 普拉斯变换才存在（积分收 敛）。 1 1 (0 1) s s = − − = 0[Re(s)＞0时] 【注】t=0处不予定义。 积分下限取0 -或0 + ，拉普 拉斯变换结果一样。 0 0 1 e d ( )de st st t s + + − − = = − ( ) 0 0 e e 1 e st 1 s s s + + − − = − = − −
⑤少3典型时间西数的拉普拉斯变换 29 为什么当=Re(s)>0时，es=0?推导如下： es∞=e-(a+jo)m =ea”ejo =e[cos(ooo)-jsin(@o)] 当o>0时 e s=e [cos(@oo)-jsin(@o)] =e cos(ooo)-je sin(oo) =0-j0 =0
2.3.3 典型时间函数的拉普拉斯变换 为什么当σ=Re(s)＞0时，e -s∞=0？推导如下： 29 ( j ) j ] e [cos( ) jsin ) e e e ( e s − − + − − − = = = − 当σ>0时 e e [cos( ) jsin( )] e cos( ) je sin( ) =0 j0 0 s − − − − = − = − − =
30 23.3典型时间函数的拉普拉斯变换 (2)单位脉冲（冲激）函数的拉普拉斯变换 定义 根据拉普拉斯变换定义得 o0,t=0 6(t)= A(s)=L[6t】=Jn6t)edt 0,t≠0 =∫6t)edt据d定义 δt)dt-1 =6)d 5(1) (1) =6t)dt扩展积分下限到-0 =1 据t)定义 t 单位脉冲函数 【注】积分下限取0
2.3.3 典型时间函数的拉普拉斯变换 （2） 单位脉冲（冲激）函数的拉普拉斯变换 定义 30 0 ( ) 0 0 ( )d 1 t t t t t − = = = ， ， 0 ( ) [ ( )] d ( )e st s L t t t − − = = − 单位脉冲函数 0 t δ(t) (1) 【注】积分下限取0 −。 0 0 ( ) d t t e − = 0 ( )d t t − = ( )d t t − = =1 据δ(t)定义 扩展积分下限到-∞ 据δ(t)定义 根据拉普拉斯变换定义得