23.1复数和复变函数 例2续S1、S2、S3、S4的极坐标图如下图所示。 /S=3+j3 52=-2+j2 2V2 1350 3W2 S3=-12 12 180° 45° 1.5 ∠90° s4=-j1.5 向量表示法（极坐标图) S=3+j3,|y=3V2,0=45° 2=-2+j2,|s2=2V2,0,-135° |s3=12,0,=180° |54=1.5,0,=-90°
2.3.1 复数和复变函数 例2续 s1、s2、s3、s4的极坐标图如下图所示。 11 向量表示法（极坐标图） ω 0 σ 45º 135º 3 2 180º -90º 2 2 12 1s = +3 j3 2 s = − +2 j2 3 s = −12 1.5 4 s = −j1.5 3 3 | | 12 180 s = = ， 4 4 | | 1.5 90 s = = − ， 1 1 1 s s = + = = 3 j3 | | 3 2 45 ， ， 2 2 2 s s = − + = = 2 j2 | | 2 2 135 ， ，
23.1复数和复变福数 3.复变函数、极点与零点的概念 复变函数 实部：u=f(o,ω) 以复数s=o+jw为自变量，虚部：v=f(o,w) 按某一确定规律构成的函模：f(s)川=Vu2+v2 数s)称为复变函数（复变辐角：日=arctan9 量复值函数的简称)。复同样可以采用坐标表示法、 变函数的函数值一般也为 向量表示法（极坐标表示 复数（实数是复数的特 法)、三角函数表示法和 例)，可写成 复指数函数表示法。 fs)u+jv 【注】为了保持复变函数 值辐角的连续性，辐角取 实部 虚部 值范围经常会超出主值范 围
2.3.1 复数和复变函数 3. 复变函数、极点与零点的概念 12 实部：u = f1 (σ，ω) 虚部：v = f2 (σ，ω) 模：|𝑓(𝑠ሻ| = 𝑢 2 + 𝑣 2 辐角：𝜃 = arctan 𝑣 𝑢 同样可以采用坐标表示法、 向量表示法（极坐标表示 法）、三角函数表示法和 复指数函数表示法。 【注】为了保持复变函数 值辐角的连续性，辐角取 值范围经常会超出主值范 围。 实部 虚部 复变函数 以复数s = σ + jω为自变量， 按某一确定规律构成的函 数f(s)称为复变函数（复变 量复值函数的简称）。复 变函数的函数值一般也为 复 数 （ 实 数 是 复 数 的 特 例），可写成 f(s) = u + j v
2.31复数和复变函数 例3有复变函数 G(S)=s2+2s+3 当s=o+jω时，求其实部u、虚部v、模及辐角。 解： G(s)=(o+jo)2+2(σ+jo)+3 u=o2-02+20+3 =o2+j2o0-02+20+j20+3 v=2(σ+1)0 =(o2-02+20+3)+j2(o+1)ω 模 G(s=-m+-V(G2-m2+2o+3)2+[2G+1)mj 辐角 G(s)=arctan "arctan 2(σ+1)0 u 。2-02+20+3
2.3.1 复数和复变函数 例3 有复变函数 G(s) = s 2 + 2s + 3 当s = σ + jω时，求其实部u、虚部v、模及辐角。 解： 13 2 2 2 2 2 ( ) ( j ) 2( j ) 3 j2 2 j2 3 ( 2 3) j2( 1) G s = + + + + = + − + + + = − + + + + 2 2 2 3 2( 1) u v = − + + = + 2 2 2 2 2 2 G s u v ( ) ( 2 3) [2( 1) ] = + = − + + + + 2 2 2( 1) ( ) arctan arctan 2 3 v G s u + = = − + + 模 辐角
23.1复数和复变涵数 」4 >复变函数的零点：使复变函数值等于0的s点。 >复变函数的极，点：使复变函数值等于0的s,点。 例如，有下列复变函数： 10(s-1)(s+2) G(s)= s(s+3)(s+4-j5)(s+4+j5) 当s=1,-2时，G(s)=0,所以1、-2为G(s)的零点。 当s=0,-3,-4+j5,-4-j5时，G(s)=0,所以0、 -3、-4+j5、-4-j5为G(s)的极，点。 令上式分子=0，解得的根即为复变函数的零点。 令上式分母=0，解得的根即为复变函数的极，点
2.3.1 复数和复变函数 ➢复变函数的零点：使复变函数值等于0的s点。 ➢复变函数的极点：使复变函数值等于∞的s点。 例如，有下列复变函数： 14 10( 1)( 2) ( ) ( 3)( 4 j5)( 4 j5) s s G s s s s s − + = + + − + + 当s＝1，−2时，G(s)＝0，所以1、−2为G(s)的零点。 当s＝0，−3，−4+j5，−4−j5时，G(s)＝∞，所以0、 −3、 −4+j5、−4−j5为G(s)的极点。 令上式分子=0，解得的根即为复变函数的零点。 令上式分母=0，解得的根即为复变函数的极点
23.2拉普拉斯变换与递拉普拉斯变 换的定义 L拉普拉斯变换（简称：拉氏变换）的定义 2逆拉普拉斯变换（简称：逆拉氏变换）的定义
1. 拉普拉斯变换（简称：拉氏变换）的定义 2. 逆拉普拉斯变换（简称：逆拉氏变换）的定义 15