图3-5系统结构图 解:(1)当k=0时,由结构图知闭环传递函数为 R(s) S, 则有 所以 7.07(rad/s),5=0.14 这是一个欠阻尼状态的响应,故 100%=64% 3(s(当△=5) (2)当k≠0时,可得闭环传函为 o(s) R(s) (2+0.5k;)s+50 可见 2√50 由题中条件 0%e 100%=20% 得 调整时间为 4=s0,707×0460922X当A=5) 4
·47· － － 图 3-5 系统结构图 解:(1) 当 kf=0 时,由结构图知闭环传递函数为 2 50 50 ( ) ( ) ( ) 2 R s s s Y s s 则有 ωn 2=50, 2ζωn=2 所以 ωn=7.07(rad/s), ζ=0.14 这是一个欠阻尼状态的响应,故 σ%= 2 1 e 100%=64% 4( )( 2) 4 3( )( 5) 3 当 当 s s t n n s (2) 当 kf≠0 时,可得闭环传函为 2 2 2 2 (2 0.5 ) 50 2 50 ( ) ( ) ( ) n n n f s s s k s R s Y s s 可见 ωn=7.07(rad/s) ζ= 2 50 2 0.5 f k 由题中条件 σ%= 2 1 e 100%=20% 得 ζ=0.46 则 kf=9 调整时间为 1.230(s)( 2) 7.07 0.46 4 4 0.922 s ( 5) 7.07 0.46 3 3 当 （ ）当 n n s t
(3)比较上述两种情况可看出,内反馈k的作用为增加阻尼比,减小超调量,减小调整 时间 例3-7系统的结构如图3-6所示,试判别系统的稳定性.若系统不稳定,求在s右半 平面的极点数 s-1 R(s) y(s) s-+S 图3-6系统结构图 解:系统的传递函数为 S 系统的特征方程为 可看出特征方程的系数不全为正,所以系统是不稳定。为了求出s右半平面的极点数, 列劳斯阵列如下 s510 s300 (8)(0) 0(-2) 16 第三行元素全为零,对辅助方程 求导得 用8,0替换0,0;第四行第一列元素为零,用小正数ε替代0,继续排列劳斯阵列. 劳斯阵列第一列元素变号一次,说明特征方程有一个正根。劳斯阵列有一行元素全为
·48· (3) 比较上述两种情况可看出,内反馈kf的作用为增加阻尼比,减小超调量,减小调整 时间.例 3-7 系统的结构如图 3-6 所示,试判别系统的稳定性.若系统不稳定,求在 s 右半 平面的极点数. R(s) Y(s) 图 3-6 系统结构图 解: 系统的传递函数为 2 2 2 ( ) 5 4 s s s s 系统的特征方程为 2 2 5 4 s s s =0 可看出特征方程的系数不全为正,所以系统是不稳定。为了求出 s 右半平面的极点数, 列劳斯阵列如下: 2 0 16 ( ) 0 ( 2) (8) (0) 0 0 2 0 2 1 0 1 0 1 2 3 4 5 s s s s s s 第三行元素全为零,对辅助方程 2s 4-2 = 0 求导得 8s 3=0 用 8,0 替换 0,0;第四行第一列元素为零,用小正数ε替代 0,继续排列劳斯阵列. 劳斯阵列第一列元素变号一次,说明特征方程有一个正根。劳斯阵列有一行元素全为 s 1 s s 2 1 s s 2 1 s-1 s -2
零,说明可能有大小相等、符号相反的实根或一对共轭虚根,或对称于虚根的两对共轭复 根.解辅助方程得 s-2=2(s+1)(s-1)(+j)(sj)=0 这样特征方程可以写为 (s+2)s+1)(s-1)s+j)(s)=0 可见,系统在s右半平面有一个根s=1,在虚轴上有两个根s=j,=-j,在s左半平面有两个 根,s=-1, 例3-8闭环控制系统的结构如图3-7。试求满足下面条件的三阶开环传递函数G(s) 应满足的条件 R(s) E(s) (s) G(s) (1)G(s)= k为开环放大系数 A(s) (2)由单位阶跃函数输入引起的稳态误 差为零 (3)闭环系统的特征方程为 解:由单位阶跃引起的误差为: E()= R(S)=_s 1+G(s)1+G(s) 由题意知稳态误差为 S 所以 G(s) 则G(s)分母的常数项应为零 设 G(s)= (as-+bs +c) 则闭环传递函数为 o(s) (s) as+bs-+cs +k 特征方程为 as3+bs2+cs+k=s3+4s2+6s+10=0 比较系数得 a=1,b=4,c=6,k=10
·49· 零,说明可能有大小相等、符号相反的实根或一对共轭虚根,或对称于虚根的两对共轭复 根.解辅助方程得 2s 4-2=2(s+1)(s-1)(s+j)(s-j)=0 这样特征方程可以写为 (s+2)(s+1)(s-1)(s+j)(s-j)=0 可见,系统在 s 右半平面有一个根 s=1,在虚轴上有两个根 s=j,s=-j,在 s 左半平面有两个 根,s=-1,s=-2. 例 3-8 闭环控制系统的结构如图 3-7。试求满足下面条件的三阶开环传递函数 G(s), 应满足的条件: R(s) E(s) Y(s) (1) ( ) ( ) A s k G s ， k 为开环放大系数; (2) 由单位阶跃函数输入引起的稳态误 差为零; 图 3-7 (3) 闭环系统的特征方程为： s 3+4s 2+6s+10=0. 解: 由单位阶跃引起的误差为： 1 ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) G s s G s R s E s 由题意知稳态误差为 0 1 ( ) 1 lim 0 G s s e s s ss 所以 lim ( ) 0 G s s 则 G(s)分母的常数项应为零。 设 ( ) ( ) 2 s as bs c k G s 则闭环传递函数为 as bs cs k k G s G s s 3 2 1 ( ) ( ) ( ) 特征方程为 as bs cs k 3 2 = 4 6 10 0 3 2 s s s 比较系数得 a=1, b=4, c=6, k=10 G(s)
G(s) 例3-9设控制系统结构如图3-8所示.其中k=2k2=1,T2=0.25(s),kk=1.求:(1)当输 入r(1)=1+1+t2时,系统的稳态误差:(2)系统的单位阶跃响应表达式。 Kas E(s) R(s) s(Is+D) 图3-8控制系统结构图 解法一:设G1= k s(T,s+1) 则 E(SFR(S)-Y(s (GIR(s)+GrE(s))G3=Y(s) 解上两式得 E(s) R(s) 0.5 又 s) 所以稳态误差 e= lim sE(s)=lims )=0.5 →00.25s2+s+0.5ss2s 解法二:系统的闭环传函为 4(S+0.5 s2+4s+2 等效单位反馈开环传递函数 G(S) b(s)2(2s+1) op(s)
·50· 即 ( 4 6) 10 ( ) 2 s s s G s 例 3-9 设控制系统结构如图 3-8 所示.其中 k1=2k2=1,T2=0.25(s),k2k3=1.求:(1)当输 入 2 2 1 r(t) 1 t t 时,系统的稳态误差；(2)系统的单位阶跃响应表达式。 E(s) + R(s) Y(s) - 图 3-8 控制系统结构图 解法一: 设 G1=k3s, G2=k1, G3= ( 1) 2 2 s T s k 则 E(s)=R(s)－Y(s) (G1R(s)+G2E(s))G3=Y(s) 解上两式得 ( ) 0.25 0.5 0.25 ( ) 1 1 ( ) 2 2 2 3 1 3 R s s s s R s G G G G E s 又 2 3 1 1 1 ( ) s s s R s 所以稳态误差 ) 0.5 1 1 1 ( 0.25 0.5 0.25 lim ( ) lim 2 2 3 2 0 0 s s s s s s e sE s s s s ss 解法二: 系统的闭环传函为 4 2 4( 0.5) ( ) 2 s s s s 等效单位反馈开环传递函数 2 2(2 1) 1 ( ) ( ) ( ) s s s s G s K1 K3s ( 1) 2 2 s Ts k
可见,该系统为Ⅱ型系统,且开环增益k=2,当r()=1+1+12时,查表知稳 态误差ex=0+0+=0.5 (2)当R(s)=-时,Y(s)=(-) 4(S+0.5)10.208 1.207 ss2+4s+2ss+0.586s+3414则单位阶跃 响应表达式为(对上式取拉氏变换) y(t)=1+0.2086-1207e3144 例3-10控制系统如图3-9所示,误差定义在输入端,扰动信号n()=2×1(1)。(1)试 求k=40时,系统在绕动作用下的稳态误差和稳态输出。(2)若k=20,其结果如何?(3)在扰 动作用点之前的前向通道中引入一个积分环节一,对结果有何影响?在扰动作用之后的前 向通道中引入一个积分环节一,结果又如何? +|N(s) R(s) 图3-9控制系统结构图 解:令 k G2=,H=2.5 计算由扰动作用引起的稳态误差和稳态输出时,可令输入信号R(s)=0 (1)绕动作用下的输出表达式为 G2N(s) 1+G,GH 误差表达式为 GaH E (s)=R(s)-HY,()=0-HY, (s)=- N(s) 1+G,G2H 当绕动输入为 n(1)=2×1(1) 即N(s)==时,有稳态误差 ess,= limE,(s=-lims( G2H 1+GGh s 5+2.5k
·51· 可见,该系统为Ⅱ型系统,且开环增益 k=2,当 2 2 1 r(t) 1 t t 时,查表知稳 态误差 ess=0+0+ k 1 =0.5。 (2) 当 s R s 1 ( ) 时, 3.414 1.207 0.586 1 0.208 4 2 4( 0.5) ) 1 ( ) ( 2 s s s s s s s Y s ,则单位阶跃 响应表达式为(对上式取拉氏变换) t t y t e e 0.586 3.414 ( ) 1 0.208 1.207 例 3-10 控制系统如图 3-9 所示,误差定义在输入端,扰动信号 n(t)=2×1(t)。(1)试 求 k=40 时,系统在绕动作用下的稳态误差和稳态输出。(2)若 k=20,其结果如何?(3)在扰 动作用点之前的前向通道中引入一个积分环节 s 1 ,对结果有何影响?在扰动作用之后的前 向通道中引入一个积分环节 s 1 ,结果又如何? + N(s) R(s) Y(s) - 图 3-9 控制系统结构图 解: 令 G1= 0.05s 1 k , G2= 1 1 s , H=2.5 计算由扰动作用引起的稳态误差和稳态输出时,可令输入信号 R(s)=0 (1) 绕动作用下的输出表达式为 ( ) 1 ( ) 1 2 2 N s G G H G Y s n 误差表达式为 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 1 2 2 N s G G H G H E s R s HY s HY s n n n 当绕动输入为 n(t)=2×1(t) 即 s N s 2 ( ) 时,有稳态误差 G G H s s k G H e sE s s s n s ssn 2.5 5 ) 2 )( 1 lim ( ) lim ( 1 2 2 0 0 0.05s 1 k 1 1 s 2.5