可降阶的高阶微分方程 前面介绍了五种标准类型的一阶方程及其 求解方法,但是能用初等解法求解的方程为数腥 当有限,特别是高阶方程,除去一些特殊情况可 用降阶法求解,一般都没有初等解法, 本节介绍几种特殊的高阶方程,它们的共 同特点是经过适当的变量代换可将其化成较低阶 的方程来求解
本节介绍几种特殊的高阶方程，它们的共 同特点是经过适当的变量代换可将其化成较低阶 的方程来求解。 可降阶的高阶微分方程 前面介绍了五种标准类型的一阶方程及其 求解方法，但是能用初等解法求解的方程为数腥 当有限，特别是高阶方程，除去一些特殊情况可 用降阶法求解，一般都没有初等解法
以二阶方程 F(x,y,y,y")=0为例展开讨论 重点讨论能将二阶导数解出的情况 y"=∫(x,y,y) 如果我们设法作变量代换把它从二阶降 至一阶,就有可能应用前节中所介绍的方法 来求解
以二阶方程 F(x, y, y , y) = 0 为例展开讨论 重点讨论能将二阶导数解出的情况 y = f (x, y, y) 如果我们设法作变量代换把它从二阶降 至一阶，就有可能应用前节中所介绍的方法 来求解
y=∫(x)型 特点:右端不含y,y仅是x的函数 解法:将y作为新的未知函数降阶 令z=y→y"=z有 z'=∫(x)变量可分离的一阶方程 积分z=|f(x)+cr 即y2=]f(x)+c1 再积分y=f(x)xx+c1x+C2
一、 y = f (x) 型 特点： 右端不含 y, y 仅是 x 的函数 解法： 将 y 作为新的未知函数 降阶 令 z = y y = z 有 z = f (x) 变量可分离的一阶方程 积分 = + 1 z f (x)dx c 即 = + 1 y f (x)dx c 再积分 = + 1 + 2 y [ f (x)dx]dx c x c
同理对n阶方程p=f(x) (n-1) 积分得y ∫(x)dx+ 如此连续积分n次即得原方程的 含有n个任意常数的通解 般情况y)=f( (k) 特点:不显含未知函数y及y,…,y1) 解法:令y6)=z
同理 对 n 阶方程 ( ) ( ) y f x n = 令 ( −1) = n z y z = f (x) 积分得 = + − 1 ( 1) y f (x)dx c n 如此连续积分n 次即得原方程的 含有n个任意常数的通解 一般情况 ( , , , ) ( ) ( ) ( −1) = n k n y f x y y 特点： , , . ( −1) k 不显含未知函数 y及 y y 解法： y z k = 令 ( )
则y+)= (n)=>(n-k) z的(n-k阶方程 =f(x …,花(n-k-1 求得z,将y(k)=z连续积分k次 可得通解 例 y=sin x 解 coS x+ Cl y =-sinx+ crtc y =cOS x+cx +c2x+ c3 2 y=sIn x+=cux +c2x tc3x +C4
, . (k 1) (n) (n k ) y z y z + − 则 = = ( , , , ). ( − ) ( − −1) = n k n k z f x z z z 的(n-k)阶方程 求得 z, , 将 y (k ) = z 连续积分k次 可得通解. 例1 y sin x (4) = 解 1 y = −cos x + c 1 2 y = −sin x + c x + c 2 3 2 1 2 1 y = cos x + c x + c x + c 3 4 2 2 3 1 2 1 6 1 y = sin x + c x + c x + c x + c