幂级教习题课
幂级数习题课
、主要内容 函数项级数 幂级数 收敛半径R Taylor级数 Rn(x)→>0 收敛域 Taylor展开式
一、主要内容 函数项级数 幂级数 收敛半径R 收敛域 Taylor级数 Rn (x) → 0 Taylor展开式
幂级数 (1)定义 形如∑an(x-x0)的级数称为幂级数 n=0 当x=0时,∑ax其中a为幂级数系数 (2)收敛性 Abe定理对∑anx总存在正数R使得 H=1 当x<R时,幂级数绝对收敛; 当x>R时幂级数发散; 当x=R与x=-R时,幂级数可能收敛也可能发散
１．幂级数 (1) 定义 形如 n n an (x x ) 0 0 = − 的级数称为幂级数. 0 , 当x0 = 时 n n n a x =0 其中an为幂级数系数. (2) 收敛性 Abel 定理 当 x R时,幂级数绝对收敛; 当 x R时,幂级数发散; 当x = R与x = −R时,幂级数可能收敛也可能发散. 对 n=1 n n a x 总存在正数Ｒ使得
R一一收敛半径(一R,R)一一收敛区间 设im=p(limn=p) n->0 n (1)则当p≠0时,R=;(2)当p=0时,R=+∞; (3)当p=+0时,R=0 注①形如∑ulg(x)的级数,求收敛域 应先求出∑qy"的收敛半径R p(r<R 原级数的收敛点
Ｒ－－收敛半径（－Ｒ，Ｒ）－－收敛区间 设 = + → n n n a a 1 lim (或 = → n n n lim a ) (1) 则当 0时, = 1 R ; (2) 当 = 0时,R = +; (3) 当 = +时,R = 0. 注 ①形如 n n a [(x)] 的级数，求收敛域 n n a y 的收敛半径Ｒ |(x)| R －－原级数的收敛点 应先求出
(x)卜>R 原级数的发散点 再研究|o(x)=R的点的敛散性 ②用公式R=1m。”求收敛半径 n+1 an,an+1应是x",x+的系数,否则 可作代换或直接利用检比法或检根法来确定 ③求出收敛半径后必须用常数项级数 审敛法判定端点x=±R处的敛散性
|(x)| R －－原级数的发散点 再研究 |(x)|= R ②用公式 1 lim + → = n n n a a R 求收敛半径 1 , n n+ a a 应是 1 , n n+ x x 的系数， 否则 可作代换或直接利用检比法或检根法来确定 ③求出收敛半径后 必须用常数项级数 审敛法判定端点 x = R 处的敛散性 的点的敛散性