函数展开成界级数 由于幂级数在收敛域内确定了一个和函 数,因此我们就有可能利用幂级数来表示函 数。如果一个函数已经表示为幂级数,那末 该函数的导数、积分等问题就迎刃而解
函数展开成幂级数 由于幂级数在收敛域内确定了一个和函 数，因此我们就有可能利用幂级数来表示函 数。如果一个函数已经表示为幂级数，那末 该函数的导数、积分等问题就迎刃而解
泰勒级数 上节例题∑(-1)-12=lm(1+x)(-1<xs1 f(x)=∑an(x-x1)y存在幂级数在其收敛 oo 域内以fx)为和函数 问题:1.如果能展开,mn是什么? 2展开式是否唯-? 3在什么条件下才能展开成幂级数?
一、泰勒级数 上节例题 ( 1) ln(1 ) ( 1 1) 1 1 − = + − = − x x n x n n n n n f (x) an (x x ) 0 0 = − = 存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数 问题: 1.如果能展开, an 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?
定理1如果函数f(x)在U。(x0)内具有任意阶导 数,且在U(x内能展开成(x-x)的幂级数, 即f(x)=∑an(x 0 则其系数a=1 f(x0)(n=0,1,2,…) 且展开式是唯一的 证明∑an(x-x)"在n(x收敛于f(x),即 =0 f(x)=a0+a1(x-x0)+…+an(x-x0)”+
定 理 1 如果函数 f (x)在 ( ) U x0 内具有任意阶导 数, 且 在 ( ) U x0 内能展开成( ) x − x0 的幂级数, 即 n n n f (x) a (x x ) 0 0 = − = 则其系数 ( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n = n a n n 且展开式是唯一的. 证明 ( 0 ) 在 ( 0 )内收敛于 ( ),即 0 a x x u x f x n n n − = f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) ++ an (x − x0 ) n +
逐项求导任意次得 ∫(x)=a1+2a2(x-x)+…+nan(x-x0)”+ f(x=nlan+(n+In 3.2an(-xo)+ X=]o, 即得 f"(x0)(n=0,1,2,)泰勒系数 泰勒系数是唯一的,∴f(x)展开式是唯一的
逐项求导任意次,得 f (x) = a1 + 2a2 (x − x0 ) ++ nan (x − x0 ) n−1 + f (n) (x) = n!an + (n + 1)n3 2an+1 (x − x0 ) + 令 x = x0 , 即得 ( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n = n a n n 泰勒系数 泰勒系数是唯一的, f (x)的展开式是唯一的
定义如果f(x)在点x处任意阶可导则幂级数 20m(x-x)%称为f(x)在点x的泰勒级数 ∑“0x“称为()在点x的麦克劳林级数 n=0 问题∫(x)?20(x-x)y 泰勒级数在收敛区间是否收敛于fx)?不一定
如果 f (x)在点 0 x 处任意阶可导,则幂级数 n n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 0 ( ) − = 称为f (x) 在点x0的泰勒级数. n n n x n f =0 ( ) ! (0) 称为 f (x)在点x0的麦克劳林级数. 问题 n n n x x n f x f x ( ) ! ( ) ( ) ? 0 0 0 ( ) − = = = 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定. 定义