常系数线性微分 方程组的解法 微分方程组 微分方程组由几个微分方程联立而成的方程组 称为微分方程组 注意:这几个微分方程联立起来共同确定了几 个具有同一自变量的函数 常系数线性微分方程组微分方程组中的每一个 微分方程都是常系数线性微分方程叫做常系数线 性微分方程组
常系数线性微分 方程组的解法 一、微分方程组 微分方程组 由几个微分方程联立而成的方程组 称为微分方程组． 注意：这几个微分方程联立起来共同确定了几 个具有同一自变量的函数． 常系数线性微分方程组 微分方程组中的每一个 微分方程都是常系数线性微分方程叫做常系数线 性微分方程组．
常系数线性微分方程组的解法 步骤: 1.从方程组中消去一些未知函数及其各阶导 数,得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性 微分方程 2.解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知 函数 3.把已求得的函数带入原方程组,一般说来, 不必经过积分就可求出其余的未知函数
步骤: １． 从方程组中消去一些未知函数及其各阶导 数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性 微分方程． 二、常系数线性微分方程组的解法 ２．解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知 函数. ３．把已求得的函数带入原方程组,一般说来， 不必经过积分就可求出其余的未知函数．
=3y 2x,(1) 例1解微分方程组 dx 2y (2) 解设法消去未知函数J,由(2)式得 (3) 小1(d2z.dz 两边求导得, dx 2 dx dx 把(3),(4)代入(1)式并化简,得
例1 解微分方程组 = − = − 2 . (2) 3 2 , (1) y z dx dz y z dx dy 由(2)式得 (3) 2 1 = + z dx dz y 解 设法消去未知函数 y ， 两边求导得， , (4) 2 1 2 2 = + dx dz dx d z dx dy 把(3), (4)代入(1)式并化简, 得
2-+z=0 解之得通解z=(C1+C2x)e,(5) 再把(5代入(3)式,得y=(2C1+C2+2C2x)e2·(6) 原方程组的通解为 y=(2C1+C2+2C2x)e2 2 z=(C+c,x)
2 0 2 2 − + z = dx dz dx d z 解之得通解 ( ) , (5) 1 2 x z = C + C x e (2 2 ) . (6) 2 1 1 2 2 x 再把(5)代入(3)式, 得 y = C + C + C x e 原方程组的通解为 , ( ) (2 2 ) 2 1 1 2 1 2 2 = + = + + x x z C C x e y C C C x e
用D表示对自变量x求导的运算 例如,y+a1y+…+an1y'+any=∫(x) 用记号D可表示为 (D”+a1D″+…+an1D+an)y=∫(x) 注意: D2+a1Dn1+…+an1D+an是D的多项式 可进行相加和相乘的运算
用 D 表示对自变量 x 求导的运算 , dx d ( ) 1 ( 1) 1 ( ) y a y a n y a n y f x n n + + + − + = 例如， − 用记号 D 可表示为 ( ) ( ) 1 1 D a1D a n D a n y f x n n + + + − + = − 注意: n n n n D + a D + + a − D + a − 1 1 1 是 D 的多项式 可进行相加和相乘的运算．