当对{n}与{gn}取离散卷积时,抽样c与d4在偶指标m=2 使用而零在奇指标m=21-1使用。 我们用上述给出的两个算法的一些附注结束本节。首先,如果 个权序列{a},h}{v}与ih}是有限的,那么移动平均是-个很 简单的FR(有限脉冲响应)滤波器。然而,如果权序列是无限的, 那么移动平均是一个IR(无限脉冲响应)滤波器。众所周知,假如 权序列的符号(或“z变换”)是一个有理函数,那么IR滤波器能够 作为ARMA(自回归移动平均)滤波实现。我们把这些权序列叫作 ARM∧序列”。另外,无狠权序列不得不截断以给出一个FR滤 波器。其次,如果权序列是由无理数或长的小数表示项组成,那么 这些数的舍入(或“量化”}是必要的。当然,截断和量化会引起事先 估计的误差最后,因为尺度函数与小波对()用作“镜滤波器”, 那么对称性(或至少反对称性)在信号分析的许多应用中是重要 的。例如,在重构压缩图象中,非对称性和非反对称性导致失真。像 将在第五章中看到的,(2)的对称性质用分解序列与重构序列的 对称性反映。信号与图象处理的简洁讨论将在第三章中给出。 在第六章中,我们将看到,当样条小波v(具有最小支撑)用 作φ时,重构序列是有限的而分解序列是∧RMA。所有这些序列 对于偶阶m是对称的而对于奇阶m是反对称的。另外,对整数倒 数的一个公共国子的模,所有这些序列只由整数项组成 另一方面,当考虑紧支撑正交小波φ时,重构序列和分解序 刘都是有限的。然而,对于连续的既不对称又不反对称是可能 的,并且相应的重构序列与分解序列必须是量化的。尺度函数与小 波的结构分析和构造方法的详细描述在第五章中给出特别是,线 性相位滤波器与对称尺度函数以及小波之间的关系将在那里研 究。最后两章将分别专心研究半正交和正交小波。更确切地说,基 数样条小波的相当完整的分析将在第六章中给出,并且着重于紧 支撑的正交小波的题目将在第七章中介绍。在这一章中还包含为 更好的时间-频率局部化引入的正交小波包( packet)的简洁讨论 28
第二章 Fourier分析 Fourier分析这门学科是数学分析中最古老的学科之一,它对 数学家和工程师都是相当重要的。从实用的观点来看,当人们考虑 Fourier分析的时候,通常是指(积分) Fourier变换和 Fourier级数。 Fourier变换是在实直线R上定义的某个函数f的 Fourier积分。 当∫看作是一个模拟信号时,它的定义域就称为连续时城。在 此情况下,的 Fourier变换∫描述倍号∫的谱特性。因为谱信息 用频率给出,所以 Fourier变换f的定义域还是R,它称为频域。 另一方面,个 Fourier级数是双无限序列到周期函数的一种变 换。因此,当一个双无限序列看作是…个数字信号时,它的定义域 是整数集合Z,称为离散时域。这时,它的 Fourier级数再次描述 数字信号的谱特性,一个 Fourier级数的定义域还是实直线R,它 是频域。然而,因为 Fouriet级数是2x周期的,在此情况下,频域R 常用单位圆等同,对一个数学家来说,这种表示是更令人满意的, 因为Z的“对偶群”是“圆群”。 Fourier变换与 Fourier级数的重要性不仅由于它们的物理解 释的重要性,如信号的时问-频率分析,而且还由于 Fourier分析技 术是极其有力的。例如,在小波分析研究中,Psn求和公式、级 数与积分的 Parseval恒等式, Gaussian的 Fourier变换、函数的卷积 以及d分布等等都是经常遇到的。因为这本专著打算是自我包容 的,本章讨论 Fourier分析的基本知识方面的预备材料,如上述提 及的内容。 29
2.1 fourier变换与 Fourier逆变换 全书中,所有定义在实直线R上的函数假定是可测的。对于不 熟悉 Lebesgue基本理论的读者,j乐意相信一些标准的定理,在 假定∫是分段连续的情况下,损失是很小的。所谓 Lebesgue基本 理论是指,在R中存在非有限聚点{x},使对于所有有x< 并且f在每个开区间以及无界区间(-∞,mnx,)与(maxx1∞)(如 果maxx或minr存在)是连续的。对于每个p,1≤<∞,令b( R)表示R上可测函数f的类,使([ lebesgue)积分 ∫(x)|'d 是有限的。还有,令U(R)是几乎处处有界函数的集合,除了在 Lebesgue)测度为零的集合外,处处有界的函数。因此,赋予“范 数 ‖f‖ ∫(x)|以 对1≤p< ess sup If(x)|,对p= 每个(R),1≤≤∞,是一个 Banach空间。在这本导论性的专著 中,因为我们在了解小波和时间频率分析中不需要任何 Banach 空间结构的知识,读者只要知道Y()范数的少数几个初等性质 就可以」,如 不等式 ‖∫+9‖,≤‖∫‖,+‖g‖ (2.1.1 和 Holder不等式: (2.1.2) 其中当P-∞时,P(?-1)用1代替。公式(2I.2)的一个推论是
Schwarz不等式 ∫‖≤‖∫‖2g (2.1.3) 因此,观察公式(2,1.3),我们可以定义“内积” ≤∫,>={(x)9(x)dx,J,g∈(R) (2.1.4) 赋予这个内积后, Banach空间2()变成了一个 Hilbert空间。显 然有 <f, f ∫2,f∈L(IR)(2 下面,我们首先集中注意力于(R)中的函数。通常(对于 个数学家来说),虚数单位用表示。在全书中,电子工程师可以想 象用j代替讠。 定义2.1函数∫∈L(R)的Fω urer变换定义为 (o)=(∫)(ω):=|e-f(x)dx(2.1.6) 对于每个f∈L(R),f(ω)的灬些基本性质概括如下。 定理2.2令长∈以R)。那么它的 Fourier变换∫满足 (i)f∈I"(职R)并且if‖x≤if‖; (i)∫在呎上是一致连续的; (证)如果∫的导数∫也存在并且属于D(R),那么 (2.1.7) (ⅳv)当ω*∞或-∞时,f(a)→0。 证明论断(1)是显而易见的。为了证明(i),令是任意选取的 并且考虑
sups(o+o-f(o) sup e-“(e-"-1)f(x)d 1 If(e)dr 现在,因为e--1||f(x)|≤2f(x)i∈(I),并且当b-0时 e-m-1|→0。 Lebesgue控制收敛定理就推出,当b-0时,上述的 量趋于零。 为了建立《i),我们简单地把 lebesgue积分理论中另一标准 定理应用公式(2.1.6)的分部积分,并使用事实:当了→士∞时 ∫(x)→0。 最后,(ⅳ)中的陈述通常称为“ Riemann- Lebesgue引理”。为了 证明它,我们首先注意,如果f存在并且属于L(R),那么用(ⅲi 和(i),的确有,当a士c时 f(o)i f()≤‖f 通常,对于任一给定的E>0,我们能够求得一个函数g使g、y∈ 且‖f-g:<e。于是由(i),我们有 ∫(a)}≤()-9(a)|+|9() l-9lI+lg(o)<e+ig( 这就完成了(iⅳv)的证明。 对于每个f∈(IR),当ω-士∞时,虽然f(a)→0,但它并不 意昧着∫必须属于(R)。为了用一个反例来证明这个结论,我 们需要“ Heaviside单位阶跃”函数: 1,对x≥a 0,对x<a 32