其屮a∈R。 例子2.3数 (x) 属于).但是它的 Fourier变换 不属于(R)。 证明由e= Cosco- asino,有 e casado e sinoxdx 1+ 这在∞表现如O(|a|-1),因此不属于!(R)。 如果出现∫属于!(R),那么使用如下定义的“ Fourier逆变 换”,我们通常能由∫复原”f。 定义2.4令∫∈Ⅰ(R)是某个函数∫∈!(R)的 Fourier变换,那 么∫的 Fourier迸变换定义为 (-r)(x) e"f(o)do (2.1.9) 所以,重要的问题是:什么时候f能够由f使用算子复 原,或者什么时候(-1(x)=f(x)?答案是:在∫连续的每个点 x。即,有下述定理。 定理2.5令∫∈I(R)使它的 Fourier变换∫也属于(呎)。那 ∫(x)=(-)(x) (2..10) 在∫连续的每个点x成立 33
我们把这个定理的证明推迟到下节。作为代替,我们用导出所 谓的“ Gaussian函数”的 Fouriet变换结束本节。 例子2.6令m>0,那么 e (2.1.11) 特别是, Gaussian数e-的Foui变换是√xe- 证明考虑函数 ∫(y) p 4r +ey ,y∈RR(2.1.12) 配完全平方,有 E eda (2.1.13) 现在,因为公式(2.1.12)中定义的函数∫(y)和函数 T 9(y 都能延拓为整(解析)函数,并且因为像在公式(2.1.13)中表明的 那样,他们在R上相同,所以他们必定在复数平面C上相同。特 别是,设g为-i,有 e 34
2.2连续时间卷积和b函数 令∮与是l(R)中的函数。于是f与y的(连续时间)卷积 也是一个I(R)的函数h,定义为 h(x)=(∫关g)(x): ∫(x-y)g(y)d 2.2.) 很明显,h∈L(R)并且事实上 ‖h‖≤‖」‖,‖g‖ (2.2.2) 因为 y)g(y)dydx lg(y) 9(y f(x) 在公式(2.2.1)中用积分变量变换就得到 ∫兴g=9*∫,f,g∈L(R) (2.2.3) 即,卷积运算是“可交换”的。由于∫关9属于(R),我们能够再次 取f*g与另一函数∈l(R)的卷积;即,我们可以考虑 (f*g)*谋。容易看到 ∫兴g)兴u=∫兴(9*l),∫9,∈L(R)(2.2.4) 因此,卷积运算是“可结合”的。 现在的问题是:存在某个函数d∈Il(R)使 ∫,∫∈L(R)?
答案是否定的。这个可使用 Fourier变换的论证来证明。首先,我们 给出下述 Fourier变换算子的重要性质 定理2.7令∫与g属于L(R),那么 (∫兴g)()=∫(ω)g(ω) (2.2.6) 由于这个证明是 Fubini定理的一个平凡应用,这里省略。 现在,如果一个函数d∈(取R)存在使公式(2.2.5)成立,那 么,使用定理2.7,有 f(a)d(ω)=了(o),f∈L(R) 即必须有a(0)1,而这违反在定理2.2(iv)中建立的 Riemann Lebesgue引理。 然而,我们仍然希望“逼近”在公式(2.2.5)中的,因为即使 个“卷积恒等式的近似”(或简单地说“近似恒等式”)在 Fourier 分析中也是一个很重要的工具。 l前边的讨论,我们看到,首先要求对于如此的一族 dn}<L(R)寻找当a→0时的渐近恒等式 d(o)≈ 0∈R (2.2.7) 特别是,我们可以使用规范化a(0)=1,或等价地, d, (r)da= 1 (2.2.8) 个极好的选择是 Gaussian函数族 (2.2.9) aVra 事实上,应用例子2.6中的公式(2.1.11),且a=1/4a,我们有 9a (a) (2.2.10) ·36
它显然满足公式(2.2.7)和(2.2.8)。对于a>0的一列递减值,gn 的图形表示在图2.2.!中 图2.2.1 Gaussian函数y,a=1,1/4,1/16 注意,在取一个(R)中连续函数的平均时,如果g使用作 为“权”函数那么当a0时,权集中趋近于原点,即 (x-y)g, ( ydy f(r-0)=f(e) 0 这如同 (「*g)(x)~f(x),a→0+ 更确切地说,有下述定理。 定理2.8令f∈(),那么 lm(∫米g)(x)=∫(x 在∫的每个连续点x成立。 证明令∫在x连续并且ε>0是任意给定的。我们选择>0使 )--f(x)< 37