个MRA的精确陈述将在5.1节中给出。尺度函数的典型 例子是m阶基数B-样条Nm,其中m是个任意的正整数。更确 切地说,阶基数B样条N1是单位区间[0,1)的特征函数,而对 于m≥2,N。是用(积分)卷积递推定义: Am-I(r-t)N,(t)dt Nm-1(x…-t)dt (1.5,7) 为了描述N灬生成空问V我们需要下述记号 m.表示至多x次的所有多项式的集合 C”表示使f,f2,…,f处处连续 (.5.8) 的所有函数f的集合。还有CC0 用Nm生成的F由这样的函数f组成:所有函数f∈Cm-2∩ 72(R),且每个函数f限制任一区间[,k+1),k∈况,属于丌n-1, 也就是 ∈丌 ∈Z 由MRA的性质(5°),我们现在能够识别所有的其它子空间v,即: ∫∈Cn-2∩D2(R):∫杜+∈ 因为样条函数只是逐段多项式函数,所以很容易在计算机上实现 事实上,图形显示样条曲线和用B-网(或 Bernstein- Bezier系数)精 确地计算多项式段的算法是极有效的。另外,因为B·样条具有最 小可能的攴撑,所以由任一希望的样条子空间逼近在C∩L2(R) 中函数的局部插值方法也是可用的。所有上述论及的算法能够在 实时中实现。细节问题第四章中研究。 由样条子空间V的嵌套序列我们有正交补子空间W,即 ∈Z (.5.9) 23
这些子空间W,是相互正交的并且是像公式(1.4.7)与(1,4.8)描 述的L2(R)的正交被加项。正像B样条N是{}的最小支撑生 成子一样.我们感兴趣的是,求最小支撑v∈W,它生成在公式 (1.43)意义上相互正交的子空间W,而在公式(1.4.3)中用 φn,代替约,其中 的m八(x)=2n(2x-),,∈Z(].5.10) 这些紧支撑函数帜将被称为n阶“B小波”。在第六章中,将导出 所有φ及其对偶v的显式,m=1,2…或许把B样条与B-小波 的“支撑”比较是有意义的。所谓在某个有界区间外边为零的一个 连续函数f的支撑是指f在外面恒等于零的最小闭集。标准的记 号supf。我们将看到,对于所有m=1,2, supp im=[O,m] (1.5.11) supp i',m [0, 2m-1 除了具有最小支撑外,B小波φ享有许多另外的重要性质。我们 在这里只叙述其中的三条性质。首先,由公式(1.5,9)可见,每个 v是一个半正交小波。其次,计算φ和所有它的导数的有效算法 是可得到的。最后,B小波φ对于偶数m是对称的而对于奇数m 是反对称的,即 yn(x)=孙m(2m-1-x),对偶数m (1.5.12) aPm(r) yn(2m-1-x),对奇数m 在信号分析的应用中,小波函数的对称性和反对称性是很重要的。 例如,在压缩数据的重构中为避免失真,它们是需要的。这将在第 五章中讨论。灬的其它有意义的性质将在第六章中研究。 1.6小波分解与重构 重新考虑公式(1,5.1)中讨论过的多分辨分析和小波的一般
结构,其中{}用某个尺度函数∈L(R)生成而W用某个小波 v∈l(R)生成。在此情形下,根据性质(2),每个L(R)中的函数 ∫能够对某个N∈Z,用-个∫∈Fy非常接近地逼近。因为 =F2-+W1对于任何∈Z成立,具有唯一的分解 ∫x=∫x 其中∫-∈[x-和gs1∈环y-1。重复这个过程,则有 ∫x=gx-1+gx-2 gx-M+f-M(1.6.I) 其中对于任何j∈和g∈W并且M选取得使fN是充分 模糊的”。公式(1.6.1)中的唯一“分解”称为“小波分解”;并且“模 糊”借助于fyM的“变化”(或者,更确切地说,频率或每单位长周 期的数目)来测量。一个不十分有效的“暂停准则”是要求∫、x5 比某个阈值小。下面,我们讨论把fx表示为它的分量gx-1, gw-与∫w的一种直接和并由这些分量复原f的一种算法途 径 因为尺度函数d∈V和小波φ∈W都属于v1而且是用 d.(x)=22的(2x-),k∈Z生成的,所以存在两个序列2}与 {qx}∈P使 o(x)=∑n4a(2x-k) (1.6.2) z)=q,0(2x-k) 对于所有x∈R成立。公式(1.6.2)与(⊥.6.3)分别称为尺度函数 与小波的“两尺度关系”。另一方面,因为d(2x)与2x-1)都属于 且V1=v+W,所以存在四个序列,表示为{a-},{ba}, a1-x}与b-21},k∈Z,使 25
o(2)=[-(x-k)+b-x(x一k)] (2zx-1)=∑[a1-a1(x-k)+b2-2(2-A) 对于所有x∈R成立:两个公式(1.6.4)与(1.6.5)能够组合成 个公式: d(2x-)=>[a1-ab(x-k)+b-x(x-k)] ∈Z (l.6.6 这称为d与φ的“分解关系”。现在,我们有两对序列({2},{})与 ({a},{b}),它们全部是唯一的,这应归于直接和关系V1=1+环0 这些序列常用公式表示下列重构和分解算法。因此,{2}与{}称 为重构序列,而{}与{b}称为分解序列 为了描述这些算法,我们首先回忆f∈F,和g∈W都具有唯 级数表示 J(x)=4(2h-6) (1.6.7) }∈ 和 lilr d22(2x-k) (1.6.8) 4}∈t2 其中我们有意识地隐藏了规范化系数22。写出φ(2x-k)与 中(2x-E)以代替使用的与的…,为的是省掉在算法中不必要的 倍数√2。在下述分解和重构算法中,函数f与g用公式 26
(1.6.7)与(16.8)所定义的序列c与4表示。 (i)分解算法 应用公式(1.6.6)~(1.6.8)则有 正 d d 图1.6.1小被分解 注意到,c-'和d-都是由c'使用分解序列作为“权”的“移 动平均”方法得到,除了那些移动平均只在偶整数点抽样外。这称 为向下抽样。因此,图1.6.1中的每个箭头都指出在偶指标向下 抽样时的移动平均 )重构算法 应用公式(上.6.2),(1.6.3),(1.6.7)与(1.6.8),则有 Pe 十qt (1.6.10) 图1.6.2小被再构造 这里,c由c-2与d-4使用重构序列作为“权”的两个移动平 均得到,除了在进行移动平均之前需要向上抽样外,更确切地说