般来说答案是否定的。 例如,令n∈D(R)是在定义1.1中引入的任一正交小波。对 于每个具有|x|<1的复数z,考虑函数 2(x):=孙2(x):=n(x) 27(2x)(1.4.1) 那么很明显,公式(1.3,12)中定义的族{吵,}是I2(IR)的一个 Riesz基现在,我们考虑关于{的,}的对偶基{y4}特别是,容易证 明 (x) n-4,o(2) (1.4.2) 4:1(x)=m0,1(x) 如果能够求得某个函数ψ=∈12(R)使(!.3.16),(1.3.17)成 立,那么有 2)(x (x+1) 0, (x+1) v,(x+1) 或者 △n-;0()z=0 因为这是明显荒谬的,除在<中z的值至多是有限数个外,其 中0<<1是任意的。我们断定φ=v一般不存在。 上述讨论诱导出“小波”的下述定义。 定义1.5一个绵函数(R)称为一个小波(或小波)。 如果存在一个函数φ∈l(呎),使公式(13.12)与(1.3.17)中定义 18
的{的,}与{}是D2(R)的对偶基。如果φ是一个小波,那么 妒称为是一个桕应于φ的对偶小波。 很明显,一个对偶小波φ是唯一的并且它本身就是一个 索·小波。更确切地说,一对(砂)在下述意义上是对称的:y也是 的对偶小波。为了方便,我们简单称φ是一个“小波”和西是φ的 对偶”。正如我们已经在1.3节中注意到的,如果妒是一个正交 小波,那么它在意义推三p上是自对偶的。 重要的是再一次强调,每个小波φ正交的或不正交的,生成 任何f∈2(R)的一个“小波级数”表示,即: f(x)= 其中每个都是关于φ的对偶φ的∫的积分小波变换在时间 尺度的坐标 k 22 上求得 令是任一小波并且考虑它生成的 Riesz基{列,}。对于每个 ∈Z,令环表示{,:k∈}的线性张成的闭包,即 clos:mR)<约,:∈亚 (1,4.3) 那么很明显,U2(R)能够分解为空间W的直接和: L(IR) W:…+W-+W+W1+ 在这个意义上,每个f∈I(R)都有…个唯一的分解 f(x)=…+g-1(x)+90(x)+g1(x)+…(1.4.5) 19
其中9∈W对于所有j∈Z成立。公式(1.4.4)中求和与加号上 的黑点表示“直接和”。 如果φ是一个正交小波,那么L2(R)的子空间W相互是正交 的、即 >=0,j≠ 其中9,∈W;与9∈W4 在此情况下,我们使用记号 ⊥W,j≠l 结果,公式(14.4)中的直接和变成了正交和 ④W-1W④W 其中公式(14.8)中围绕加号的圆圈表示“正交和”。公式(14.8) 的分解通常称为L(R)的一种正交分解。这个意思是,任 f∈D2(R)分解为函数g∈W的(无限)和不仅是唯一的,而且像公 式(1.4.6)所描述的f的分量还悬相互正交的 所以,一个正交小波产生B(R)的一种正交分解。然而,我 们没有使用{的,A的所有正交性质,即,对于每个j正交性条件 <的x的>=0在公式(1.4.8)中没有反映。这意味着,有一大类 小波能够用于生成Ⅰ(R)的正交分解。这种可用的灵活性对于构 造具有某些需要性质的小波是重要的。对于具有这个灵活性的紧 支撑小波,人们能够得到的最重要的性质是“对称”或“反对称”。细 节问题将在第5,6章中研究。 定义1.6一个在L()中的小波φ称为是一个半正交小波,如 果它生成满足 <的,,m>=0,≠l;1,,m∈互 1.4.9) 20
的 Riesz基。 显然,每一个半正交小波生成12(R)的一种正交分解公式 (1.4.8),并且每个正交小波还是一个半正交小波。一个小波(或者 更确切地说,一个-小波)φ称为是一个非正交小波—如果它 不是一个半正交小波。然而,既然是一个塑-小波,它就具有一个 对偶,并∏…对(,列满足双正交性质: 上 t ∈Z(1.4.10) 1.5多分辨分析、样条及小波 任何小波,半正交的或非正交的,都产生2(R)的一和直接和 分解公式(1.4.4)。对于每个jZ,我们考虑I(R)的闭空间 =…+W-2+W-1,j∈Z(1.5.1) 这些子空间明显具有下述性质: 1^0C11C (2°)clos:?(∪I)==l2() ∈z (3°)∩={0} (42)F2+1=F+Wj∈Z (5°)∫∈|∫(2x)∈1+1,∈Z 因此,与满足 W∩ 0} ≠t 的空间环大不相同。像(1°)描述的那样,子空间,的序列是嵌 套的,并且其有性质:像在(2°)中描述的,L2(R)中的每个函数f 能够用它在V中的投影Pf非常接近希望的逼近。但另一方面, 像在(3°)中所保证的,通过减小j投影Pf能够具有任意小的能 量。(1°)~(3)没有描述的这些空间最重要的内蕴性质是当 21·
∞时,P,f更大的“变化”板除去。事实上,这些变化是逐层剥 离.即按变化“速率”(最好称为“频带”)减小顺序剥离,并且存放在 像(4°)的补子空间W中。这个过程能够使用性质(5°)非常有效地 做到。 事实上妇果参考子空间卬用单个函数∈2()在意义 0= clos,取,<的,:k∈Z> (1.5.2) 上生成,其中 (x):=2p(2x-k) (15.3) 那么,所有的子空间v也用同一个生成(正像子空问W在公式 (1.4.3)中用生成一样),即: 1= clos,歌)<的*:∈亚>,j∈Z(1.5.4) 因此,由v到环-,环-2…,开,-的剥离过程能够有效地完成。在 下节,我们转到这个题日。 定义1.7一个函数∈Ⅰ2(呎)被认为生成一个多分辨分析 (MRA),如果它生成在公式(1.5.4)意义上满足(1°),(2°),(3°)和 (5°)的闲子空间的一个嵌套序列,使{如,}形成V的一组 Riesz 基。这里,类似于定理1.4,如}是巧的一个 Riesz基,必须存在 两个常数A与B,且0<A≤B<∞,使 A{c}3≤‖∑co:≤B‖{cs(.5.5) 对于所有双无限平方可和序列{c},即: ‖{c}1≥= (l.5 成立。如果的生成一个MRA,那么称为是一个“尺度西数”。 22·