{(W厂)(b,a)}|a1 L,,x-b、)dadb 2AC- ∫∈l2(IR) (13.3) 其中呎2=R×珉。注意,同样的核 x—b 除了复共轭外,常用于确定公式(1.1.18)中的积分小波变换和公 式(1.3.3)中的逆。因此,φ可以称为是基小波φ的一个“对偶”。当 然,我们不能期墓这个对偶的唯一性。 (20)由(Wf)(a,b),b∈R和a>0,重新复原 像前节讨论的时间频率分析那样,我们使用a1的正常数倍 表示频率。因此,因为只有正的频率是有意义的,我们需要一个重 构公式,其中积分是在R×(0,∞),而不是在R2。所以,我们现在 必须考虑基小波ψ一个比较小的类,即小波φ满足 ()do= (-) do (l.3.4) 其中C,已在公式(1.3.1)中定义。例如,任一满足公式(1.3、1)的 实值ψ能够作为在此情况下的-个基小波。对于任一满足公式 (1.3.4)的有下述重构公式 b d ∫(x) (W)(b,a) do ∫∈L2(IR)(1.3.5) 除了一个因子2以外,这个公式与重构公式(1.3.3)相同。当然 公式(1.3.5)中的基小波有更多限制。像在(1中,我们还是称
的复共轭φ为情形(2°)时基小波φ的一个“对偶”。可见没有理由 期望有-…个唯一对偶。 (3)由(W的(b,a),b∈R,a=,j∈Z,重新复原 把注意力集中于a=2-,其中j取遍所有整数,我们就能够研 究频率窗 B;=[2 2△,2u ∈Z (1.3.6) 的时何-频率局部化。特别是,如果窗函数φ的中心*选作 那么公式(1.3.6)中的频带B,Z,形成整个频率轴[0,∽)的 个不相交的划分,除了区间B的两端点外。积分小波变换公式 (1.2.8)常用于确定时间区间[b+2-2,b+24+2-,, 在这个区间上,值域B,屮的频率的信号f的频谱的含量是至关重 要的,即(环,f)(b,2-)|的值超过某一阈值。 因为只有Wf的部分信息是有用的,欲使重构公式有效,基小 波η必须再次满足比公式(1.3.1)更强的条件。我们施加给φ的 糸件恳下述所谓的“稳定性条件”, ≤>(2如)≤B 1.3.7) 其中A与B,0<A≤B<∞,是与a无关的常数。由公式(∴3.7)很 容易得到,φ还满足 0 0 ≤Bln2 1.3.8) 这是指C,位于2An2与2Hn2之间。第三章3.4节将详细讨论
如果v满足公式(1.3.7),那么基小波φ具有一个“对偶”φ,这个 和“的 Fourier变换用 孕() ∑|4(2-) 给出。使用这个对偶的重构公式可以表示如下: ∑|4<2(小)(b,2-)} j--∞ {2*(2(x-b)}d(1.3.10) ∫∈L2(R) 因为基小波对这种情况既有理论价值又有实用价值,所以赋予下 述专用名称。 定义1.3一个函数p∈Ⅰ(呎R〕称为是一个“二进小波”,如果对于 有0<A≤B<∞的某灶常数A与B及几乎所有a∈R,它满足稳 定性条件公式(1.3.7)。 将在第三章中看到,甚至二进小波一般也不具有唯一对偶。二 进小波最有意义的一些例子也许是在3.5节中引入的所谓“框 架” (4°)由(W)(b,a),b、是 jk∈Z,复原 对于确定积分小波变换和由(环∫)(b,a)重构f,为了建立有 效算法,我们只考虑离散抽样。当说到像在(3°)中那样,虽然尺度 参数a使用2的幂把频率轴剖分为频带是重要的,但更加有效的 是,当a=2-,j∈z时,只考虑在时间轴上的二进值b=k/2而不 是所有b∈珉。在许多应用中,使用这个均匀离散抽样,有很小的 损失(若有的话),像在后面将看到的,这种方法的数学理论是很有 吸引力的。 15
我们首先注意 H,)(22)=∫(2)(22=b)h <∫, 其中,像在公式(1.1,11)中 的,x(x):=22x-k),j,k∈Z(1.3.12) 然而,一般来说,我们并不要求{}像在1.1节中那样是D2(I 的一个正交基。事实上,如下述定义的一个“稳定”基就足够了。 定义1.4一个函数φ∈(R)称为是一个圆函数,如果公式 (1.3.12)中定义的{的,}在下逑意义上是L(R)的一个 Riesz基。 ,、Z,的线性张成在D2(R)中是稠密的并且存在正常数A 与B,0A≤B<∞,使 A|{c+}"3≤‖∑∑c+的+2 j=--]ok ≤B‖{e;}‖3 (1.3.13 对于所有二重双无鼠平方可和序列{1}成立,即对于 的{}成 假定φ是一个绵函数,那么存在L2()的一个唯一的Resz 基{φ2},它是在意义 ,列… ,和,lm∈Z(1.3.14) 上对于(v,+的对偶。因此,每个函数f∈(呎)具有下述(唯一)级 数表 16
∑<∫,>秒(x)(1.3.15) 然而,虽然系数是f关于的积分小波变换的值,但级数公式 (3.15)不一定是一个小波级数。作为一个合格的小波级数,必须 存在某个函数v∈I2(R),使在级数公式(1.3.15)中的对偶基 φ是由通过 y3(x)=驴,A (1.3.16) 得到。像通常那样,式中使用了记号 p,(x):=2”2(2x-k) (1.3.17) 如果{,}是2(呎)的一个正交基,像已经在公式(1.1.14), (1.1.15),(1.1.17)中讨论了的,显然公式(13.14)对于φ=的 或ψφ成立。然而,像我们将在下节看到的,通常ψ不存在。如果 选择得使存在,那么,对于在二进位置和不同的二进尺度等级 (或倍频程)上显示∫∈L2(R)的积分小波变换的值,以及对于由 它的积分小波变换的这些值复原∫,一对(中驴都是很有用的。更 确切地说,我们有 ∑<∫ <Jv,>孙,k(x)(1.318) 1.4小波的分类 令∈D(R)是一个函数;即,公式(1.3.12)中定义的 v.是L2(R)的一个 riesz基。我们面临的第一个问题是,如在公 式(L.3.14)中定义的关于{约,:}的对偶基{4},是否由公式 (1.3.16)~(1.3.17)某个函数v∈I2(取)导出的。出乎预料的是