∫(u):=(∫)() (1.2.1) 表示这个信号的频谱。在信号分析中,模拟信号在时域中确定,而 这些信号的频谱信息在频域中给出。为了便于表示,我们暂时允许 有负的频率。因此,无论是时域还是频域都是实直线I。类似于 Fourier级数的 Parseval恒等式,描述在2()中函数与它们的 Fouriet变换之间关系的 Parseval恒等式用 f9>=,<J,9>f,9∈L(R)(1.2.2) 给出。在这里,使用了在公式(L.1.9)中引入的内积记号,并且在下 章将会看到, Fourier变换使I2(IR)映射到它本身。作为公式 (1·2.2)的一个推论,我们发现,一个模拟信号的能量与它的频谱 的含量成正比例,更确切地说 ‖f‖2f∈L2(R V LiT 然而,只有 Fourier变换公式 f(o)=e-“f(o)dt (I.2.4) 对于大多数应用来说是很不够的。首先,为了用这个公式从模拟信 号f(t)中提取频谱信息f(a),就要取无限的时间量,使用过去的 和将来的信号信息只为计算单个频率ω的频谱。此外,公式 (12.4)甚至没有反映出随时间变化的频率。实际上需要的是,人 们怎样能够确定时间间隔,使在任何希望的频率范围(或频带)上 产生频谱信息。另外,因为个信号的频率与它的周期长度成正 比,由此得到,对于高频谱的信息,时间间隔要相对地小以给出比 较好的精度;对于低频谱的信息,时间间隔要相对地宽以给出完全 的信息。换句话说重要的是要有一个灵活可变的时间頻率窗,使 8
在高“中心频率”时自动变窄,而在低中心频率时自动变宽。幸好 公式(1.1.18)中引入的关于某个“基小波”的积分小波变换具有 这个所谓的移近和远离的伸缩能力。 更具体地说,φ及其 Fourier变换ψ都必须有足够快的衰减, 这样他们就能作为“窗函数”。为使U(R)的函数v能作为一个窗 函数,它必须能确定如下定义的“中心”与“宽度” 定义1.2非平凡函数∈2(R)称为一个窗函数,如果c(x)也 是属于2(]R)的。一个窗函数的中心t与半径、定义分别 l}‖ aa(r) (1.2.5) (r-t')2|w(x)dx (1.2.6) 而窗函数如的宽度由2气确定。 我们现在还没有从形式上定义一个“基小波”,而且在下节也 不做这件事。基本小波的一个例子是像在前节已经讨论的任一正 交小波。在任何情况下,我们都会看到,任一基小波窗函数必须满 足 l (rdx= o (i.2,7) 这样,它的图形是一个小的波。 假定φ是任一基本小波使妒及其 Fourier变换都是分别用 t∵,a°,给出中心与半径的窗函数。那么,首先很显然的是公 式(1.1.18)引入的一个模拟信号的积分小波变换 (W)(b,a)=|a oo/(Pcb )dt
把信号限制在“时间窗”的范围内,即 [6+at'-a1,,b+at*+a1,] 其中窗的中心在b+”,而窗的宽度由2△,给出。在信号分析中 这称为“时间局部化”。其次,如果我们设 7():=φ+a) (1.2.9 那么还是一个具有中心在0且半径由怎给出的窗函数,并且根 据 Parseval恒等式(1.2.2),公式(1.2.8)中的积分小波变换成为 (WO(,a)= ala f(o)e"。(a( cdc 因此除了倍数aa|-+/2x和用时间窗的位移量决定的一个线性 相位位移e之外,同拌的量(Wn)(b,ω)还给出了具有一个“频率 [ + 的信号f()的频谱f()的局部信息,这个窗的中心在o/a而宽 用2/a给出,这称为“频率局部化”。使公式(1.2.8)与(1.2.10) 相等,对于使用关于基小波φ而窗条件如上描述的积分小波变换 的时问-频率分析,则有一个“时间-频率窗 Lb+ A,,t at A 几点说明是必要的:首先,因为最终必须考虑正频率,基小波 φ应该选取使φ的中心是一个正数。实际上,这个正数与正尺
度参数a·道以这样…·种方式选择:ω'/a是所研究的“频带” [∞-,+1小的“中心频率”于是,中心频率与频带宽之 比为 (1.2.2) 2A b1十 at 图1.2.1b问-须率窗 它是与中心频率的位置无关的。这称为“常数Q”频率分析。吋间 频率窗公式(1.2.11)的重要性是,对于大的中心频率a/a,窗变 窄;对于小的中心频率a“a,窗变宽(参看图12.1),虽然窗的面 积是用4给出的常数。这正是在时间-频率分析中最希望的 详细情况在第三章中研究。 1,3反演公式和对偶 积分小波变换(W)(b,4)给出了f变化位置(用b+a)、“速
率”(用a)和量(用(Wf)(b,a)的值度量),而且具有伸缩的能力。这 个信息在时间-频率分析的许多应用中是极有价值的。例如,在数 据压缩中,(环)(b,a)的值在某个容许的电平下移动,而且在低通 滤波器中,对于小的a值,(W,∫)(b,a)用零代替。在任何情况,(新 的和修改过的)函数f必须由(Wf)(a,b)的值重构。用(Wf)(a,b) 表示每个f∈L2(R)的任何一个公式都称为是一个“反演公式”, 并且在这个公式中使用的(核)函数φ称为基小波p的一个“对 偶”。因此,在实践中,只要反演公式存在,p就可作为一个基小 波 下面,我们按照W信息域的限制次序来研究四种不同情况。 (1°)由(Wf)(a,b),a,b∈R,重新复原 为了由W重构∫,我们需要知道常数 C do< 这个常数的有限性限制了在积分小波变换的定义中能够作为“基 小波”的2(R)函数φ的类。持别是,如果φ必须也是一个窗函 数,那么妒必须属于孙〔R),即 所以φ是R中的一个连续函数(见第二章定理2.2),因此,由公 式(1,3.1)得到在原点必定为零,即 2(x)dx=0 (1.3.2) 这样,一个基小波φ的图象是一个小的波。包括常数C,在内,我们 有下述重构公式 12