0mg2>-:0,对所有m≠n 而公式(].1.3)中的“内积¨定义为 9n+9 2 gm(a)g,(adx (1.1.i 公式(1.1.3)成立是一个重要的结论,然而简单的事实 f2(z):=e 1,0,1 (1.1.5 是1(0,2x)的…个正交基。 Fourier级数表示公式(L.1.1)的第二 个独特的性质是,正交基(可用…个单个函数 的“膨胀”生成。也就是说,对所有的整数》,t,(x)=v(n).这种膨 胀称为整数膨胀。我们概括…·下这个值得注意的事实:每个2x鬧 期平方可积函数都可用基函数(x)="的整数膨胀釣“叠加”来 生成 我们还注意到,虫{m,的正交性质, Fourier级数表示公式 (!.上.I)也满足所谓的 Parseval恒等式 2 l∫(x)12dx=) (.1.7) 令表示所有双无限平方可和序列的空间,即{,}∈2如且仅如 CX 那么如果把公式(1,1.7)左边的量的平方根作为对于L2(0,2n) 中函数度量的“范数”,同样地把公式(1.(.7)右边的量的平方根 作为对于P2的范数,那么函数空间12(0,2)与序列空间P2彼此是 “同构的”。现在返回到对上述 Fourier级数表示公式(1.1.)的观
察,还可以说,每个2周期平方可积函数是基函数(x)=e"的整 数膨胀的一种2的线性组合 需要再次强调,基函数 (x) 是一个“正弦波”,它是要求生成所有2x周期平方可和函数的单 独函数。对于具有大的绝对值的任何整数n,波m,(x)=(x)有高 的“颗率”,而对于具有小的绝对值的整数n波()具有低的频 率。所以.在2(0,2x)中的每个函数由具有各种频率的波组成 下面考虑定义在实直线R上的可测函数f的空间2(R),函 数∫满足 l∫(x);dx 很明显,两个函数空间I2(0,2x)和D2)是完全不同的。特别是 因为:(R)中每个函数(的局部平均值)在士∞必须“衰减”到零; 所以正弦(波)函数m不属卡L(R)。事实上如果我们寻找产生 72(I)的“波”,那么这个波就在土x衰减到零;并且对于所有的实 际应用,哀减应该是很快的。即,我们寻找小的波,或“小波”以生成 7()。像在1.2(0,2x)中的情况,那里一个单个函数(x)e生 成整个空间,我们还希望有一个单个函数妒来生成整个L2(R)。但 是,如果小波φ具有很快的衰减,它怎么能够覆盖整实直线呢? 明显的方法是沿R移动 令表示整数的集合 Z={…,-1,0,1,…} 对于φ,矍盖全体R的最简单方法是考虑φ的所有整数平移,即 2(a k∈Z 像在正弦波情形那样,下面还必须考虑具有不同频率的波。由于种
种原因,读者马上就会清楚,我们不希望考虑“单频率”的波,而宁 思考虑频率划分为连续“倍频程”(或频带)的波。为了计算的有效 性,我们对于频率划分将使用2的整数幂;也就是说,我们现在考 虑小波 孕(2 ∈Z 可以看出,φ(2x-k)可由一个单个“小波”函数(x)通过一个二进 膨胀(即2的膨胀)和一个(k/2的)二进位移得到。 这样,我们就对“小波”的函数φ感兴趣,的二进影胀和二进 位移足以表示I(珉)中的所有函数。为了简单,我们首先考虑用φ 产生的一个正交基。在本章后面(见1.4节),我们将引入更一般 的“小波级数”。 在整个这本书中,我们使用下述记号表示空间L(R)的内积 与范数 ∫,9> 9 f‖:=<∫,∫>t2 (1.1.10) 其中∫g∈I(R)。注意,对于任何,∈Z,有 ∫。(6 =22‖f‖2 因此,如果-个函数∈D(R)具有单位长度,那么,用 的,(x):=22y(2x-k)1,k∈Z(1.1 定义的所有函数,(x)也具有单位长度,即 ;:‖z=‖2‖z=1,j,∈Z(1.1.12) 在本书中,定义在ZXZ上的 Kronecker符号 5
(1.1.!3冫 0对氵≠ 经常使用。 定义1.1一个函数妒∈()称为是一个正交小波,如果公式 (.I.1)中所定义的族,是(R)的一个规范正交基·即 的,x,m>=5,·6,m,小k,,m∈Z(11.14 而且每个f∈L?()能写成 pj (1.1.5) 其中公忒(.1廴5)肀的级数收敛是在Ⅰ()中的收敛·即 lim 1,;N,J,N,→c 5--M2E=-&1 正交小波的最简单例子是用 ↑对0≤x<1/2 对1/2≤x<1(1.1.16 0 其它 定义的Har函数。在!.5和].6节中,我们将给出这个函数一个 简洁的讨论。其它的正交小波将在第七章中详细研究。 公式(1,1.15)中f的级数表示称为小波级数。类似于在公式 (1.1.2)中 Fourier系数概念,小波系数由 Cy,k=<∫,的 (1.⊥.7) 给出。即,如果我们定义在2()上的一个积分变换环为
f(r)p( ∫∈L(R (1.1.18) 那么,公式(1.1.15)和(!.1.17)中的小波系数就变成 1 (.,19) 线性变换W,称为关于“基小波”φ的“积分小波变换”。因此,f的 第(k个小波系数由f的积分小波变换在具有二进膨胀a=2- 的二进位賢b一k/2计算给出,其中相同的正交小波φ常用来生 成小波级数公式(1.1.15)和定义积分小波变换公式(1.118) 积分小波变换的重要性在下节中讨论。在这里,我们只说明 这个积分变换人大地增强了(积分) Fourier变换的价值,>可 定义为 e"(x)dx,∫∈L2(R) (l.1.20) 这个变换的数学描述在下章进行。众所周知, Fourier变换是 Fourier分析的一个重要组戒部分。因此,注意 Fourier分析的两个 组成部分是有意义的,即: Fourier级数与 Fourier变换,它们基本上 是不相关的;而小波分析的两个相应的组成部分,即:小波级数公 式(1.1.15)与积分小波变换公式(1.1.18),具有如公式(1.1.19) 所描述的密刃的关系。 l.2积分小波变换和时间-频率分析 公式(1.1.20)所定义的 Fourier变换不只是一个很有力的 数学工具,而且在应用中还具有重要的物理解释。例如,如果一个 函数∫∈2(R)被看作是由它的范数!f‖2定义的具有有限能量 的一个模拟信号,那么∫的 Fourier变换