《线性代数》课程教学资源（学习指导）矩阵及其初等变换

线性代数学习指导 多项式有p(A)=Pp(A)P- 四.分块矩阵 1用若干条横线和纵线将矩阵分成若干小块，称为柜阵的子块以子块为元素形式上的炬 阵称为分块矩阵 2.分块矩阵的运算 (1)加（减）法 设m×n矩阵A、B按相同的分块法分成， A±B.A土B 则A士B= （A±B.A±Bn (2)数乘 设m×n矩阵A分成A= :,k∈R,则4= 4.A (3)乘法 设A为m×I矩阵，B为n矩阵按A的列的分法与B的行的分法相同分成 A1A）B.B】 A= (4.An（B.B 则AB=C=(C,)其中 Cg=AB,+A2B2+.+AB,i=1,2.,rj=1,2,., (4转者 3.分块对角矩阵 -6

线性代数学习指导 - 6 - 多项式.有 1 ( ) ( ) −  A = P  P . 四.分块矩阵 1.用若干条横线和纵线将矩阵分成若干小块,称为矩阵的子块;以子块为元素形式上的矩 阵称为分块矩阵. 2.分块矩阵的运算 (1)加(减)法 设 mn 矩阵 A、B 按相同的分块法分成 11 1 11 1 1 1 , s s r rs r rs A A B B A B A A B B         = =             , 则 11 11 1 1 1 1 s s r r rs rs A B A B A B A B A B        =         . (2)数乘 设 mn 矩阵 A 分成 11 1 1 s r rs A A A A A     =       , k R,则 11 1 1 s r rs kA kA kA kA kA     =       . (3)乘法 设 A 为 ml 矩阵, B 为 l n 矩阵.按 A 的列的分法与 B 的行的分法相同分成 11 1 11 1 1 1 , t s r rt t ts A A B B A B A A B B         = =             , 则 AB = C = Cij rs ( ) ,其中 C A B A B A B i r j s ij i j i j it tj 1,2, , ; 1,2, , = 1 1 + 2 2 ++ =  =  . (4)转置 设 11 1 1 s r rs A A A A A     =       ,则 11 1 1 T T r T T T s rs A A A A A     =       . 3.分块对角矩阵

线性代数学习指导 (A (1形如A= 的分块矩阵称为分块对角矩阵（或准对角矩阵），其中 。 A0=1,2,.,r）为方阵 (2)性质 )4=444 (2)A= A A (3)若4,=1,2，.，r）都可逆则A= 注意] A 4-1 五。矩阵的初等变换 定义1下面对矩阵的三种变换称为矩阵的初等行（或列）变换： (1)对调矩阵任意两行（或列）：（分别简记为，）”：C)C,) (2)以数k≠0乘矩阵某一行（或列）中所有元素；（分别简记为，×k:C,×k) （3)将矩阵的某一行（或列）乘以数k加到另一行（或列）上去。（分别简记为 万+5×k:G+C,×k) 矩阵的初等行与列变换统称为矩阵的初等变换。初等变换都是可逆的，且其逆变换为同 类的初等变换。 定义2若矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B则称矩阵A与B等价记作A→B。 .7-

线性代数学习指导 - 7 - (1)形如               = Ar A A A  2 1 的分块矩阵称为分块对角矩阵(或准对角矩阵),其中 A (i 1,2, ,r) i =  为方阵. (2)性质 (1) A A1 A2  Ar =  ; (2)               = k r k k k A A A A  2 1 ; (3)若 A (i 1,2, ,r) i =  都可逆,则               = − − − − 1 1 2 1 1 1 Ar A A A  . [注意]               =               − − − − 1 1 1 2 1 1 2 1 A A A A A A r r   . 五．矩阵的初等变换 定义 1 下面对矩阵的三种变换称为矩阵的初等行（或列）变换： （1）对调矩阵任意两行（或列）；（分别简记为 ; i j i j r r c c   ） （2）以数 k  0 乘矩阵某一行（或列）中所有元素；（分别简记为 ; i j r k c k   ） （3）将矩阵的某一行（或列）乘以数 k 加到另一行（或列）上去。(分别简记为 ; i j i j r r k c c k +  +  ) 矩阵的初等行与列变换统称为矩阵的初等变换。初等变换都是可逆的，且其逆变换为同 类的初等变换。 定义2 若矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与 B等价，记作 A→ B

线性代数学习指导 矩阵等价具有反身性、对称性及传递性 定义3若矩阵非零行的第一个非零元素的列标随若行标的增加而严格增加，称该矩阵 为行阶梯形矩阵。注意矩阵的行阶梯形矩阵不唯一， 若行阶梯形矩阵非零行的第一个非零元素为1，而该元素所在列的其他元素全为0，称 该矩阵为行最简形矩阵。注意矩阵的行最简形矩阵是唯一的。 物合8）的E芬为泥的际准联生套妇库的你准彩是鞋的。 定理1任何一个矩阵经有限次初等行变换可以变成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵；再 经过有限次初等列变换可化成标准形。 六。初等矩阵 1.初等矩阵的概念与基本性质 定义4由单位矩阵E经过一次初等变换所得到的方阵，称为初等矩阵。共有三类初等 矩阵：E(,八、E(k)、E,jk). 定理2(1)初等矩阵均可逆，且其逆矩阵为同类的初等矩阵，即 E亿，)=E,）,E(k》=E(》,E-,k)》=E6,-k)》. (2)在A的左（或右)边乘以一个m(或n)阶的初等矩阵，相当于对A作相 应的初等行（或列）变换。 2.重要结论 定理3An→Bn一存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使得B=PAQ。 定理4n阶矩阵A可逆一A可表示成有限个初等矩阵的乘积，即 A=PB.P 其中P0=1,2,.,s)为初等矩阵。 推论n阶矩阵A可逆台A→E(或AE .8-

线性代数学习指导 - 8 - 矩阵等价具有反身性、对称性及传递性。 定义 3 若矩阵非零行的第一个非零元素的列标随着行标的增加而严格增加，称该矩阵 为行阶梯形矩阵。注意矩阵的行阶梯形矩阵不唯一。 若行阶梯形矩阵非零行的第一个非零元素为 1，而该元素所在列的其他元素全为 0，称 该矩阵为行最简形矩阵。注意矩阵的行最简形矩阵是唯一的。 形如 E O r O O       的矩阵称为矩阵的标准形。注意矩阵的标准形是唯一的。 定理 1 任何一个矩阵经有限次初等行变换可以变成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵；再 经过有限次初等列变换可化成标准形。 六．初等矩阵 1.初等矩阵的概念与基本性质 定义 4 由单位矩阵 E 经过一次初等变换所得到的方阵，称为初等矩阵。共有三类初等 矩阵： E(i, j)、 E(i(k)) 、 E i j k ( , ( )) 。 定理 2 （1）初等矩阵均可逆，且其逆矩阵为同类的初等矩阵，即 ( , ) ( , ) 1 E i j = E i j − ， )) 1 ( ( )) ( ( 1 k E i k = E i − ， ( , ( )) ( , ( )) 1 E i j k = E i j −k − 。 （2）在 Amn 的左（或右）边乘以一个 m （或 n ）阶的初等矩阵，相当于对 Amn 作相 应的初等行（或列）变换。 2.重要结论 定理 3 Amn → Bmn  存在 m 阶可逆矩阵 P 和 n 阶可逆矩阵 Q ，使得 B = PAQ 。 定理 4 n 阶矩阵 A 可逆  A 可表示成有限个初等矩阵的乘积，即 A = P1P2 Ps 其中 P (i 1,2, ,s) i =  为初等矩阵。 推论 n 阶矩阵 A 可逆  A E r → （或 A E c → ）

线性代数学习指导 3.初等行变换的应用—求可逆矩阵的逆矩阵及解矩阵方程 1设n阶矩阵A可逆，求A的逆矩阵A'的方法是： (4E)E) 即利用初等行变换将矩阵(AE)变成行最简形，则E的位首就是A~ 2.设n阶矩阵A可逆，求解矩阵方程AX=B的方法是 (A|B)(E1X) 即利用初等行变换将矩阵(A|B)变成行最简形，则B的位置就是X。 七。矩阵的秩 1.基本概念 定义5在A,中任取k行k列(k≤mn{m,m)交叉处的k2个元素，不改变原来 的顺序所构成的k阶行列式称为矩阵A的k阶子式。 定义6若矩阵A中存在一个r阶子式不为零，而所有的r+1阶子式（如果存在的话） 全为零，则该不为零的r阶子式称为矩阵A的最高阶非要子式：矩阵A的最高阶非零子式 的阶数称为矩阵A的秩，记为R(A),规定零矩阵的秩为零，即R(O)=0, 定义7设A为n阶矩阵，若R(A)=n,则称A为满秩阵；若R(A)<n,则称A为降 秩阵。 显然A为可逆矩阵一A为非奇异矩阵一A为满秩矩阵。 2.矩阵秩的计算 求R(A)的方法： A→行阶梯形矩阵 则R(A)=行阶梯形矩阵B的非零行的行数 3.矩阵秩的性质 下面是矩阵秩的一些常用性质： .9

线性代数学习指导 - 9 - 3.初等行变换的应用——求可逆矩阵的逆矩阵及解矩阵方程 1.设 n 阶矩阵 A 可逆，求 A 的逆矩阵 1 A − 的方法是： 1 ( | ) ( | ) r A E E A n n → − 即利用初等行变换将矩阵 (A | E) 变成行最简形，则 E 的位置就是 −1 A 。 2.设 n 阶矩阵 A 可逆，求解矩阵方程 AX = B 的方法是： (A | B) (E | X ) r → 即利用初等行变换将矩阵 (A | B) 变成行最简形，则 B 的位置就是 X 。 七．矩阵的秩 1．基本概念 定义 5 在 Amn 中任取 k 行 k 列（ k  min{ m,n} ）交叉处的 2 k 个元素，不改变原来 的顺序所构成的 k 阶行列式称为矩阵 A 的 k 阶子式。 定义 6 若矩阵 A 中存在一个 r 阶子式不为零，而所有的 r +1 阶子式（如果存在的话） 全为零，则该不为零的 r 阶子式称为矩阵 A 的最高阶非零子式；矩阵 A 的最高阶非零子式 的阶数称为矩阵 A 的秩，记为 R(A) 。规定零矩阵的秩为零，即 R O( ) 0 = 。 定义 7 设 A 为 n 阶矩阵，若 R A n ( ) = ，则称 A 为满秩阵；若 R A n ( )  ，则称 A 为降 秩阵。 显然 A 为可逆矩阵  A 为非奇异矩阵  A 为满秩矩阵。 2．矩阵秩的计算 求 R(A) 的方法： A r → 行阶梯形矩阵 B 则 R(A) = 行阶梯形矩阵 B 的非零行的行数。 3．矩阵秩的性质 下面是矩阵秩的一些常用性质：