4势能 保守力与非保守力 功是过程量,一般而言与路径有关。但有些力做功与路径无关,按照力做功 的特点,可把力分为保守力与非保守力。 保守力:做功仅与始、末位置有关,而与路径无关的力。即对于保守力 有 ∫F+∫F山b=∫F,d-Fuh=0 若绕闭合路径L保守力做功必然为零 因为系统的始末状态相同。 Fedr=0 上两式均为保守力的定义。可见,要求保守力做功,可以选取最方便的路径进行 积分 2几种保守力的功 ①地球附近的重力的功 质量为m的物体在重力场中由h0点移到h点,重力所做的功为 A=dA= mg.dr h (mgh-mgho)
§2.4 势能 一、 保守力与非保守力 功是过程量，一般而言与路径有关。但有些力做功与路径无关，按照力做功 的特点，可把力分为保守力与非保守力。 1 保守力：做功仅与始、末位置有关，而与路径无关的力。即对于保守力 有 ① 若绕闭合路径 L 保守力做功必然为零， 因为系统的始末状态相同。 ② 上两式均为保守力的定义。可见，要求保守力做功，可以选取最方便的路径进行 积分。 2 几种保守力的功 ① 地球附近的重力的功 质量为 m 的物体在重力场中由 h0 点移到 h 点，重力所做的功为 ( ) 0 0 cos D B D B D r B r r r h h A dA mg dr mgdr mgdh mgh mgh = = = = − = − − ( 1 2 ) ( ) C C B L B L A F dr F dr = = 0 L F dr = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 1 1 0 B C C c L B L B L C B C C B L c L B L B L F dr F dr F dr F dr F dr F dr F dr = − = − + = − =
②弹力的功 A=F=(=(2-k ③平方反比力的功 万有引力F=-Gmm和电荷间的库仑力F=-194都称为平方反比力,可 写成 k 对于万有引力k=Gmm2、库仑力 =-992,平方反比力的功为 ke 这些力所做的功与路径无关,是保守力。 二、势能 这些力所做的功均可表示为某个函数的末态量与初态量之差的负值,称这个 函数为势能函数或简称为势能。 保守力做功与势能的关系式 用E表示末状态的势能,用EP表示初状态的势能,则保守力做功可写为 F…cF 1)保守力做功在量值上等于系统势能的减少。而根据动能定理,保守力做功 将使系统的动能增大,即保守力做功是使系统的势能转化为等值的动能
② 弹力的功 0 2 2 0 1 1 ( ) 2 2 D x C x A F dr kx dx kx kx = = − = − − ③ 平方反比力的功 万有引力 1 2 2 m m F G r = − 和电荷间的库仑力 1 2 2 0 1 4 q q F r = − 都称为平方反比力，可 写成 2 r k F e r = − 对于万有引力 1 2 k Gm m = 、库仑力 1 2 0 4 q q k = − ，平方反比力的功为 0 2 2 0 D D r r C c r ke dr A F dr dr k r r k k r r = = − = − = − − − − 这些力所做的功与路径无关，是保守力。 二、 势能 这些力所做的功均可表示为某个函数的末态量与初态量之差的负值，称这个 函数为势能函数或简称为势能。 保守力做功与势能的关系式 用 EP 表示末状态的势能，用 EP0 表示初状态的势能，则保守力做功可写为 ( ) 0 0 r P P r F dr E E = − − 1） 保守力做功在量值上等于系统势能的减少。而根据动能定理，保守力做功 将使系统的动能增大，即保守力做功是使系统的势能转化为等值的动能
2)势能属于相互作用的系统所有,即势能储存于传递物体间相互作用的场中, 而不属于某个质点所有。势能之差是个绝对量,于参考系的选取无关。 若取某个点P为计算势能的参考点,即选取E=0,则任意一点的势能值E 为 3)势能曲线势能随物体间相对位置 变化的曲线。 重力势能Ep=mgh 势能零点h=0 弹性势能EP=k 势能零点x=0 平方反比势能En=k 势能零点ra 双原子分子势能曲线 r=ro是势能曲线的极值 点,对应保守力为零,在其E 它区域保守力均指向ro,系 统的总能量E=Ek+E<0
2） 势能属于相互作用的系统所有，即势能储存于传递物体间相互作用的场中， 而不属于某个质点所有。势能之差是个绝对量，于参考系的选取无关。 若取某个点 P0 为计算势能的参考点，即选取 0 0 EP = ，则任意一点的势能值 EP 为 3） 势能曲线 势能随物体间相对位置 变化的曲线。 重力势能 E mgh P = 势能零点 h=0 弹性势能 1 2 2 E kx P = 势能零点 x=0 平方反比势能 P k E r = − 势能零点 r=∞ 双原子分子势能曲线 r = r0 是势能曲线的极值 点，对应保守力为零，在其 它区域保守力均指向 r0，系 统的总能量 E=Ek+Ep＜0。 0 0 P P P P P E F dr F dr = − =
把势能曲线的下凹部分称为势阱,上凸部分称为势垒。当分子总能量E小 于势阱深度时,分子只能在势阱中运动;当分子总能量E大于势阱深度而小于 边势垒高度时,分子就不能穿过势垒,只能在势垒的一侧运动:在微观世界里, 粒子可以以一对的概率穿过势垒,称为隧道效应。 三、由势能函数求相应的保守力 设系统内两物体沿其连线运动,在物体间保守力F作用下彼此间的距离增大dr, F的方向沿连线方向,由「Fd=-(Ep-E0) 由 Fodr'= Fdu F 保守力的大小等于势能曲线在该点的斜率的负值,其方向沿着势能减小的方向。 上式对应于一维空间,在三维空间中上式可一般地推广为 引入梯度算符grad=,在直角坐标系中 grae “O 则有 F=-gradEP=-VEr 个标量的梯度势一个矢量,它的方向沿该标量空间增加率最大的方向,它 的数值就等于这个最大变化率。 四、非保守力的功 非保守力做功与路径有关,势能的概念就失去了意义。 质量为m的物体,在粗 糙的水平面上从C点移到D 点,动摩擦因数为μ,则摩擦 力所做的功为 A=Fds =mgAL 非保守力的功显然与路径的长度有关,CD间路径最短
把势能曲线的下凹部分称为势阱，上凸部分称为势垒。当分子总能量 E 小 于势阱深度时，分子只能在势阱中运动；当分子总能量 E 大于势阱深度而小于 一边势垒高度时，分子就不能穿过势垒，只能在势垒的一侧运动；在微观世界里， 粒子可以以一对的概率穿过势垒，称为隧道效应。 三、 由势能函数求相应的保守力 设系统内两物体沿其连线运动，在物体间保守力 F 作用下彼此间的距离增大 dr， F 的方向沿连线方向，由 ( ) 0 0 r P P r F dr E E = − − 由 F dr Fdr dE = = − P 则 P dE F dr = − 保守力的大小等于势能曲线在该点的斜率的负值，其方向沿着势能减小的方向。 上式对应于一维空间，在三维空间中上式可一般地推广为 E E E P P P F i j k x y z = − + + 引入梯度算符 grad ，在直角坐标系中 grad i j k x y z = + + 则有 F gradE E = − = − P P 一个标量的梯度势一个矢量，它的方向沿该标量空间增加率最大的方向，它 的数值就等于这个最大变化率。 四、 非保守力的功 非保守力做功与路径有关，势能的概念就失去了意义。 质量为 m 的物体，在粗 糙的水平面上从 C 点移到 D 点，动摩擦因数为 ，则摩擦 力所做的功为 非保守力的功显然与路径的长度有关，C D 间路径最短。 A F ds mg L i i = =