§12-6薛定谔方程 德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后,薛定谔作了一个关于物质波的报 告。报告后,德拜(P. Debye)评论说:有了波,就应有一个波动方程。几个月后 薛定谔果然提出了一个波方程,这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。薛 定谔方程是量子力学的动力学方程,象牛顿方程一样,不能从更基本的方程推导 出来,它是否正确,只能由实验检验。 、薛定谔方程 1一维薛定谔方程 1)一维自由运动粒子(无势场) 设:一维自由运动粒子,无势场,不受力,动量不变。 一维自由运动粒子的波函数(前已讲) 4(x,1)=We12nm)(B-m 由此有 ay==pv ax h 再利用g=P2可得 h ay, h ay 8 x2 2r ar 此即一维自由运动粒子(无势场)的含时薛定谔方程 2)若粒子在势场U(x,t)中运动 由 E=r+ 2m Ep h a 8I m ax +E,=l 此即一维自由运动粒子在势场中的含时薛定谔方程 3)定态薛定谔方程 若粒子在恒定势场U=U(x)中运动,微观粒子的势能仅是坐标的函数,与时 间无关,可把上式中的波函数分成坐标函数与时间函数的乘积,即 y(x,1)=(x)f(t)=(x)e
1 §12－6 薛定谔方程 德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了一个关于物质波的报 告。报告后， 德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有一个波动方程。几个月后， 薛定谔果然提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。薛 定谔方程是量子力学的动力学方程，象牛顿方程一样，不能从更基本的方程推导 出来，它是否正确，只能由实验检验。 一、薛定谔方程 1 一维薛定谔方程 1）一维自由运动粒子(无势场) 设：一维自由运动粒子，无势场，不受力，动量不变。 一维自由运动粒子的波函数(前已讲) (x, t) = 0 e -i(2/h) (Et − px) 由此有 再利用 可得 此即一维自由运动粒子(无势场)的含时薛定谔方程。 2）若粒子在势场 U (x, t) 中运动 由 有 此即一维自由运动粒子在势场中的含时薛定谔方程。 3）定态薛定谔方程 若粒子在恒定势场 U = U (x)中运动，微观粒子的势能仅是坐标的函数，与时 间无关，可把上式中的波函数分成坐标函数与时间函数的乘积，即 2 2 2 2 i p x h p x h = = − 2 2 p E m = 2 2 2 2 8 2 h h i m x t − = 2 2 p p E E m = + 2 2 2 2 8 2 p h h E i m x t − + = 2 ( , ) ( ) ( ) ( ) i Et h x t x f t x e − = =
式中=y(x,t)是粒子在势场U=U(x,t)中运动的波函数 将y=y(x,t)=y(x)7(t)代入 h2 a2 h a a2+e,y 8T m ax 得一维定态薛定谔方程 d2(x),82m d x2 hn (E-En)(x)=0 式中ψ=y(x)是定态波函数,它所描写的粒子的状态称作定态,是能量取确值 的状态 定态的概率密度 y(x,t)(x,t)=v(x)*(x) 定态下的概率密度和时间无关 在量子力学中用薛定谔方程式加上波函数的物理条件,求解微观粒子在一定 的势场中的运动问题(求波函数,状态能量,概率密度等)。 二、一维无限深方势阱中的粒子 粒子在一种简单的外力场中做一维运动,求解定态薛定谔方程;即给定势函 数U(x),求解能量和波函数(结构问题); 1一维无限深方势阱中的粒子 U(x) 0=00 0=00 U→ 极 E U=0 限 金属 0 无限深方势阱 (potential well) 一维无限深方势阱 2
2 式中 = (x, t)是粒子在势场 U = U (x, t)中运动的波函数。 将 = (x, t) = (x)T(t)代入 得一维定态薛定谔方程 式中 = (x)是定态波函数，它所描写的粒子的状态称作定态，是能量取确值 的状态。 定态的概率密度 (x,t) *(x,t) = (x) *(x) 定态下的概率密度和时间无关。 在量子力学中用薛定谔方程式加上波函数的物理条件，求解微观粒子在一定 的势场中的运动问题(求波函数，状态能量，概率密度等)。 二、一维无限深方势阱中的粒子 粒子在一种简单的外力场中做一维运动，求解定态薛定谔方程；即给定势函 数 U(x)，求解能量和波函数(结构问题)； 1 一维无限深方势阱中的粒子 a 金属 U(x) U=U0 U=U0 E U=0 x 极 限 U=0 E U→∞ U→∞ U(x) 0 a x 无限深方势阱 (potential well) 一维无限深方势阱 0 2 2 2 2 ( ) 8 ( ) ( ) 0 p d x m E E x dx h + − = 2 2 2 2 8 2 p h h E i m x t − + =
势阱是一种简单的理论模型。自由电子在金属内部可以自由运动,但很难逸 出金属表面。这种情况下,自由电子就可以热那是处于以金属表面为边界的无限 深势阱中。在粗略地分析自由电子的运动(不考虑点阵离子的电场)时,就可以 利用无限深势阱模型 (x) 1)势函数 0(0<x<a) E 粒子在0<x<a范围内自由运动, 但不能到达x≤0或x≥a范围。 例:金属内部自由电子的运动 2)定态薛定谔方程 因为势能仅是坐标的函数,与时间无关,所以是定态问题。 势阱内E=0,代入定态薛定谔方程a2o(x),8z2m (E-EDo(x)=0 有 d2o(x).8丌m h2o(x)=0 令 8丌2mE 令 则阱内方程 d p(x)+k(x)=0 3)分区求通解 阱外:y(x)=0 阱内:二阶常系数齐次线形微分方程的通解为 y(x)= A sink +B coskx A、B:待定常数 4)由波函数物理条件定具体解 由边界连续条件: 当x=0时,y(0)=0;只有B=0才能满足y(0)=0 方程化简为 y(x)= A sink
3 势阱是一种简单的理论模型。自由电子在金属内部可以自由运动，但很难逸 出金属表面。这种情况下，自由电子就可以热那是处于以金属表面为边界的无限 深势阱中。在粗略地分析自由电子的运动（不考虑点阵离子的电场）时，就可以 利用无限深势阱模型。 1）势函数 0 (0 < x < a) Ep = (x 0，x a) 粒子在 0 < x < a 范围内自由运动， 但不能到达 x 0 或 x a 范围。 例：金属内部自由电子的运动。 2） 定态薛定谔方程 因为势能仅是坐标的函数，与时间无关，所以是定态问题。 势阱内 Ep＝0，代入定态薛定谔方程 有 令 令 则阱内方程 3） 分区求通解 阱外： (x) = 0 阱内： 二阶常系数齐次线形微分方程的通解为 (x) = A sinkx + B coskx A、B：待定常数。 4）由波函数物理条件定具体解 由边界连续条件： 当 x=0 时， (0) = 0 ；只有 B = 0 才能满足 (0) = 0； 方程化简为 (x) = A sinkx V(x) o a x 2 2 2 2 ( ) 8 ( ) ( ) 0 p d x m E E x dx h + − = 2 2 2 2 ( ) 8 ( ) 0 d x m E x dx h + = 2 2 2 8 mE k h = 2 2 2 ( ) ( ) 0 d x k x dx + =
当x=a时,y(a)=0;因为A≠0,所以 sinka=0; 有 (k≠0) 则 k=m/a,(n=1,2,3,…) 5)将k=m/a代入波函数y(x)= A sink 有 p(x)=As 6)将k=m/a代入 8丌2mE h E=n2 8ma2(n=1,2,3,…) 能量量子化:能量只能取特定的分立数值,称为能量量子化。式中,n称为量子 数,表明能量只能取离散的值。 当n=1时,能量取得最低值,(零点能)大小 Er 当n=2,3,4,5…时,能量分别为4E,9E,…。即E=n1 能量由一系列能级组成 7)波函数 ①波函数的空间部分 阱内区域 y(x=A sin(m/a) (n=1,2,3,…) 由归一化条件|y(x)|dx=1 d x=1 又 d x=-A 联立得 于是,波函数(空间部分) d(x)
4 当 x=a 时， (a) = 0 ；因为 A 0，所以 sinka = 0 ； 有 ka = n ， (k 0) 则 k = n/a， (n = 1,2,3,…) 5）将 k = n/a 代入波函数 (x) = A sinkx 有 (n = 1,2,3,…) 6) 将 k = n/a 代入 得 (n = 1,2,3,…) 能量量子化：能量只能取特定的分立数值，称为能量量子化。式中，n 称为量子 数，表明能量只能取离散的值。 当 n=1 时，能量取得最低值，(零点能)大小 当 n=2,3,4,5…时，能量分别为 4E1,9 E1,…。即 E=n2 E1 . 能量由一系列能级组成。 7)波函数 ①波函数的空间部分 阱内区域： n(x) = A sin(n/a)x (n = 1,2,3,…) 由归一化条件 - |n(x)|2 dx = 1 又 联立得 于是，波函数(空间部分) (n = 1,2,3,…) ( ) sin n x A x a = 2 2 2 8 mE k h = 2 2 2 8 h E n ma = 2 1 2 8 h E ma = 2 0 sin 1 a n A xdx a = 2 2 0 1 sin 2 a n A xdx A a a = 2 A a = 2 ( ) sin (0 ) n x x x a a a =
这是以x=0和x=a为节点的一系列驻波解。 阱外区域: =0 这些波函数的空间部分称作能量本征函数( energy eigenfunction)。 ②全部波函数(包括空间、时间部分) v(x,1)=(x)f(1)=1sin-x·e 8)概率密度 O2(x)=|y(x)|2=(2/a)sin2(m/a)x(n=1,2,3,…) 下图是无限深势阱中,粒子在前四个能级的波函数和概率密度的分布情况,从图 中可见,粒子在势阱中各处的概率密度并不是均匀分布的 E、v(x).|(x)2 n很大 量子→经典 当量子数n=1时,粒子在势阱中部(即x=a/2附近)出现的概率最大,在两端 出现的概率为零;随着n的增大,概率密度分布曲线的峰值个数逐渐增多,而髙 度减小,相邻峰值间的间距减小。当n很大时,,能量变得很大,曲线将趋于平 坦,即粒子在势阱中各处出现的概率相同。 一维势垒
5 这是以 x = 0 和 x = a 为节点的一系列驻波解。 阱外区域： n = 0 这些波函数的空间部分称作能量本征函数(energy eigenfunction)。 ②全部波函数(包括空间、时间部分) 8）概率密度 n(x) = |n(x)|2 = (2/a)sin2 (n/a)x (n = 1,2,3,…) 下图是无限深势阱中，粒子在前四个能级的波函数和概率密度的分布情况，从图 中可见，粒子在势阱中各处的概率密度并不是均匀分布的。 当量子数 n=1 时，粒子在势阱中部（即 x=a/2 附近）出现的概率最大，在两端 出现的概率为零；随着 n 的增大，概率密度分布曲线的峰值个数逐渐增多，而高 度减小，相邻峰值间的间距减小。当 n 很大时，，能量变得很大，曲线将趋于平 坦，即粒子在势阱中各处出现的概率相同。 三、一维势垒 o a x E、(x)、| (x)|2 n = 2 n = 1 n = 3 | 2 n| En 0 a n 很大 量子 →经典 2 2 ( , ) ( ) ( ) sin i Et h n x t x f t x e a a − = =