§34角动量守恒定律 一、角动量 1定轴转动的角动量 如图示,刚体绕定轴z以角速度ω转动, 它的角动量在轴上的投影为 L=∑(×p)=∑m 0 ∑rAmO=∑ Am ro 式中:r是质元Mm到轴的距离, ∑mr2=是刚体对z轴的转动惯量。于 是 按照定义动量的方法,刚体绕定轴转动时,把转动惯量和角速度的乘积称为刚 体对定轴的角动量,用符号L表示 即刚体的角动量等于刚体的转动惯量与角速度之积 在S中,角动量的单位是千克二次方米每秒,符号为kgm2s 二、角动量定理 1角动量定理 根据转动定律 M=1a=0=2( 式中 L=lo 则 dl Mdt=dL 刚体绕定轴转动时,在给定的时间内,作用于刚体的合外力矩的冲量矩,等于
§ 3.4 角动量守恒定律 一、角动量 1 定轴转动的角动量 如图示，刚体绕定轴 z 以角速度ω转动， 它的角动量在轴上的投影为 z i i i i i ( ) i i z L R p r m v = = 2 i i i i i i i r m r m r = = 式中： i r 是质元 mi 到轴的距离， 2 i i i m r I = 是刚体对 z 轴的转动惯量。于 是 L I z = 按照定义动量的方法，刚体绕定轴转动时，把转动惯量和角速度的乘积称为刚 体对定轴的角动量，用符号 L 表示 即刚体的角动量等于刚体的转动惯量与角速度之积。 在SI中，角动量的单位是千克二次方米每秒，符号为 二、角动量定理 1 角动量定理 根据转动定律 式中 则 刚体绕定轴转动时，在给定的时间内，作用于刚体的合外力矩的冲量矩，等于 2 1 kg m s− ( ) d d d M I I I t dt = = = d d L M t = L I = M t L d d =
刚体对该定轴的角动量的增量。这一规律称为刚体定轴转动的角动量定理 2刚体转动角动量定理的积分形式 由上式有Ma=dL2=d(lo),积分得 d=「d2=L-L=lo-1o 式中「Md外力矩对定轴的冲量矩,等于始、末状态的转动惯量与角速度乘积 的差值 角动量守恒定律 当所有质点均以同一角速度绕定轴转动的质点系,若对轴的合外力矩∫M=0 时,有 lO=lOo 当作用于物体的合外力矩等于零时,物体的角动量保持不变,即角动量守恒。 这一规律称为角动量守恒定律。 讨论 1)守恒条件M=0 若I不变,不变,则L不变;若I变化,变化,L仍不变 2)内力矩不改变系统的角动量。 问题:角动量守恒的例子 1、直升飞机在未发动之前总角动量为零,发动以后旋翼在水平面内高速转动, 角动量守恒,机身必产生反向旋转。为了避免这种情况,在机尾上安装一个在竖 直面内旋转的尾翼,以此产生水平面的推力来阻碍机身的旋转。 2、前进中的自行车
刚体对该定轴的角动量的增量。这一规律称为刚体定轴转动的角动量定理。 2 刚体转动角动量定理的积分形式 由上式有 M dt dL d I z z = = ( ) ，积分得 0 0 0 t l z z o t l M dt dL L L I I = = − = − 式中 0 t z t M dt 外力矩对定轴的冲量矩，等于始、末状态的转动惯量与角速度乘积 的差值。 三、角动量守恒定律 当所有质点均以同一角速度绕定轴转动的质点系，若对轴的合外力矩 0 t z t M dt ＝0 时，有 0 I I = 当作用于物体的合外力矩等于零时，物体的角动量保持不变，即角动量守恒。 这一规律称为角动量守恒定律。 讨论 1） 守 恒条件 若 I 不变， 不变，则 L 不变；若 I 变化， 变化， L 仍不变。 2） 内力矩不改变系统的角动量。 问题：角动量守恒的例子 1、直升飞机在未发动之前总角动量为零，发动以后旋翼在水平面内高速转动， 角动量守恒，机身必产生反向旋转。为了避免这种情况，在机尾上安装一个在竖 直面内旋转的尾翼，以此产生水平面的推力来阻碍机身的旋转。 2、前进中的自行车 M = 0
例3-5质量为m、半径为R的转台,可绕过中心的竖直轴转动,如图 所示。质量为m的人站在台的边缘。最初人和台都静止:后来,人在台的边 缘开始跑动。设人的角速度(相对地面)为;求转台的转动角速度(忽略转轴 处的摩擦力矩和空气阻力)。 解:人和转台系统不受外力矩作用,其角动量守恒。 开始时刻,人、台系统的角动量=0 后来,人的角动量为L=mR2 台的角动量为L台=mRo L,+L=0 则 负号说明转台沿与人相反方向转动
m 解: 人和转台系统不受外力矩作用，其角动量守恒。 开始时刻，人、台系统的角动量 0 L = 0 后来，人的角动量为 2 L mR 人 ＝ ω 1 2 2 台的角动量为 L m R 台 = ω 2m ω ω m = − 负号说明转台沿与人相反方向转动。 例3-5 质量为 、半径为R 的转台，可绕过中心的竖直轴转动，如图 所示。质量为m 的人站在台的边缘。最初，人和台都静止；后来，人在台的边 缘开始跑动。设人的角速度(相对地面)为 ；求转台的转动角速度(忽略转轴 处的摩擦力矩和空气阻力)。 L L 人 + = 台 0 则