22绡唑系统的复频域模型 微分性质 片城寻性若:)-=F(S)则y(n1-(s-/) d"f(t) d=sF(s)-s(0)-s20(0)-…=-0-(0) 如果:f(0)=f(0)=…=∫(0)=0则: d"f( S FS) 频城导戴性质设:(0=Fs)则:2m(0)=s ds 北京料敦大学自歌学院盲动化系
2021年2月5日11时20分 北京科技大学自动化学院自动化系 26 2.2 线性系统的复频域模型 微分性质 时域导数性质 s s ( ) = − − ( ) 0 ( ) F f dt df t 若： f (t)= F(s) 则 频域导数性质 设： [ f (t)] = F(s) s s d dF tf t ( ) 则： [− ( )] = ( ) (0) (0) (0) ( ) −1 −2 (1) ( −1) = − − − − n n n n n n s F s s f s f f dt d f t ( ) ( ) s F s dt d f t n n n = 如果：f (0) = f (1) (0) == f (n−1) (0) = 0则：
2.2线性系统的复频域模型 积分性质 设:f(切)=F(S)则:Umf()dl=-F(s) 延迟性质 设:￡|f()=F(s) 时城延迟则:f(-t=eF(s) 在肘间城的平移变换在复教城有对应的衰减变换。 频城迟」F(S+a)=L|e"f( 肘间信号f)在间蜮的指教衰减,其拉氏变换在 复数城有对应的坐标平移。 北京料敦大学自歌学院盲动化系
2021年2月5日11时20分 北京科技大学自动化学院自动化系 27 积分性质 设： [ f (t)] = F(s) ( ) 1 [ ( ) ] 0 F s s f t dt t 则： − = 延迟性质 设： [ f (t)] = F(s) [ ( )] ( ) 0 0 f t t e F s − s t 则： − = F(S ) L[e f (t)] t − 频域延迟 + = 时域延迟 在时间域的平移变换在复数域有对应的衰减变换。 时间信号f(t)在时间域的指数衰减，其拉氏变换在 复数域有对应的坐标平移。 2.2 线性系统的复频域模型
2.2线性系统的复频域模型 初值定理时城函数的初值,可以卤变换城求得。 df(t (和的拉氏变换存在, limS(S)也存在, S→0 则 f(0)=lim f(t=lim SF(S) t→0 s→0 终值定理城函数的终值,也可以由叟换城求得。 df(t) f()和 的拉氏变换存在,,im∫()存在时 t→)∝ 弄且除在原点处唯一的极点外,SF(S)在包合jω轴 的右半平面是解析的(即t→≯∞附,f()为常教), 则f(∞)=limf(t)=imSF(S) 北京料敦大学自歌学院盲动化系
2021年2月5日11时20分 北京科技大学自动化学院自动化系 28 (0 ) lim ( ) lim ( ) 0 f f t SF S s t→ → + = = + ( ) lim ( ) lim ( ) 0 f f t SF S t→ s→ = = 初值定理 f(t)和 的拉氏变换存在， 也存在， 则 dt df (t) lim ( ) s SF S → 终值定理 lim f (t)存在时 t → f(t)和 的拉氏变换存在， ， 并且除在原点处唯一的极点外，SF(S)在包含jω轴 的右半平面是解析的（即t→∞时，f(t)为常数）， 则 dt df (t) 时域函数的初值，可以由变换域求得。 时域函数的终值，也可以由变换域求得。 2.2 线性系统的复频域模型
22线唑系统的复频域模型 侧22)已知微分方程如下,试求初值皆为零时输 出量的拉氏变换与綸入的拉氏变换之此。 y/(t)+an1y""(t)+…+any()=bnl(m()+…+bu() 解)初值皆为零有y0)=y"(0) (n-1) (0)=0 由微分性质对微分方程作拉氏变换得: s"Y(s)+an-1s"Y(s)+…+aoY(s)=bns"U/(s)+…+bU(s) Y(s)bnS"+bn、"1+…+bo U(s)s"+an1s"+…+ao 北京料敦大学自歌学院盲动化系
2021年2月5日11时20分 北京科技大学自动化学院自动化系 29 2.2 线性系统的复频域模型 例2.2.1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( 1) 1 ( ) y t a y t a y t b u t b u t m m n n n + + + = + + − − 已知微分方程如下，试求初值皆为零时输 出量的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。 解 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 s Y s a s Y s a Y s b s U s b U s m m n n n + + + = + + − − 0 1 1 0 1 ( ) ( ) s a s a b s b s b U s Y s n n n m m m m + + + + + + = − − − (0) (0) (0) 0 (1) ( 1) = = = = n− 初值皆为零有 y y y 由微分性质对微分方程作拉氏变换得：
22线唑系统的复频域模型 拉普拉斯反变换的求法 ction ()*定义f(r)= F(se ds (2)对简单形式的F(S)可以查拉氏变换表得原函教(P28) f(t) F(S f(t) F() Sin ot S-+ 1/s Cos ot (s2+o2) (s+a)2+o2 s+a 1/(+a) at e cos ot (S+a)2+O 北京料敦大学自歌学院盲动化系
2021年2月5日11时20分 北京科技大学自动化学院自动化系 30 2.2 线性系统的复频域模型 拉普拉斯反变换的求法 (1)按定义 F s e ds πj f t s t c j c j ( ) 2 1 ( ) + − = (2)对简单形式的F(s)可以查拉氏变换表得原函数(P28) f(t) F(s) f(t) F(s) δ(t) 1 Sinωt 1(t) 1/s Cosωt t 1/(s+a) 2 1 s at e − ( ) 2 2 s + ( ) 2 2 s + s e t at sin − e t at cos − 2 2 ( ) s + a + 2 2 ( + ) + + s a s a