(a)y[n]=x[-n] (b)y[n]=x[n-2]-2x[n-8] (c)y[n]=nx[n] (d)y[n]=Evlx[n-1] x[n], n≥l rx[n],n≥1 (e)y[n]=0, n=0(f)y[n]={0, n=0 lx[n+1],n≤-1 lx[n],n≤-l (g)y[n]=x[4n+1] 解： (a)y[n]=x[-] (1)由于[1]=x[-1),即输出y与过去的输入x有关，故系统是记忆的。 (2)设x间=n-,l小则 [n]y[n]=x[-n]=x[-n-no] 而[n一m]=x[-n十]≠y[n],故系统是时变的。 (3)设x[n]→y[n]=x[-n],x[n]→[n]=x[-n] 令x[n]=ax[n]十ba:[n],则 r[n] x[-n]=ar[-n]+b:[-n]=ay,[n]+by:[n] 故系统是线性的。 (4)由于y[-1]=x[1],即输出y[nJ与x[nJ的将来值有关，故系统是非因果的 (5)当x有界时，y也是有界的，故系统是稳定的。 (b)nl- -2xm-81 (D由于[0]-2]-2-81即输出y取决于过去的输入对，故系统是记忆的。 (2)设x[n]=x(n-小，则 []→y[n]=x[n-2]-2x[n-8] =x[n-2-H6]一2xn一8-no] 儿n-mw]=x[n-m%-2]-2x[n-%-8]=y[n] 故系统是时不变的。 (3)设x[n]→y[n]-x[n-2]-2xm-8 []→[n]=x[n-2]-2x[n-8] 令x[n=ar[n]十n],则 x[n]→y[n]=x[n-2]-2x[n-8] =a.x1[n-2]+bx:[n-2]-2ar[n-8]-2bx[n-8] =ay[n]+by:[n] 故系统是线性的。 (4)由于y不取决于未来的x,故系统是因果的。 (5)当有界时，y也是有界的，故系统是稳定的。 (c)y(n]=nx[n] (1)可见任何时刻的输出只与当时的输人有关，故系统是无记忆的和因果的。 (2)设L门=x[n一]，则 ci[n]-y[n]=nx[n]=nr[n-no] ≠(n-m)zn-]=y[n-] 故系统是时变的。 (3)设x[n]y[n=r[n].x[n][n]=r:[n] 令x,[n]=a,[n]+ba[n],则
r[n]y[n]=n[n]=anz[n]+imz:[n]=ay [n]+by:[n] 故系统是线性的。 (4)当]=m]为有界输入时，m[n]-=imr[n]=∞，即输出无界，故系统不稳定 (d)y[n]=Ev(x[n-1]}=号x[n-1]+x[-n-1] (1)由于y[0]=号x[-1]+号x[-1]=x[-1],即输出与过去的输入有关，故系统是记忆的。 (2)设x]=”一]，则 x[别→[n别=分[n-1]+2[-n-1] =号x式n-%-1门+号[-n-%-1] 而[n-%]=之x[n-%-1门+之x[-n十-1]≠[n] 故系统是时变的。 (3)[n]→y[n]=x[n-1]+x[-n-1] x[m]→m]=号x:[n-1]+号x[-n-1] 令x[n]=a[n]+b:[],则 x[n→为[m]-号x[n-1]+号x[-n-1] =2x1[n-1]+2c[n-1]+2ax[-n-1] +2a[-n-1] =ayi[n]+by:[n] 故系统是线性的 (4)由于[-2]=之x[-3]+x[1],即ym屿未来的x有关，故系统是非因果的 (5)当x有界时，y[m也是有界的，故系统是稳定的。 (z[], 程≥1 (e)y[n]=0. n=0 x[m+1],m≤-1 由于只与当前及未来的有关，故系统是有记忆的，且是非因果的 (2) x[n],n≥1 「x[n一H0],n≥1 n=0=0， =0 x[n+1,n≤-1z[n+1-o]n≤-1 z[n-n],n-n≥1 而y[n-m]=0, n-m,=0≠y[n] (x[n+1-m],n-m0≤-1 故系统是时变的。 (3) ,n≥1 设[n]→[n]= =0 [n+1门，n≤-1
x:[n],n≥1 x[n]→[n]=0, n=0 x[n+1],n≤-1 令x[n=ar[n]+[n],则 x小 n≥1 x[n]→y[]= 7=0 x,[n+1],n≤-1 ar[n]+b:[n]. n≥1 = =0 ax1[n+1]+ba[n+1],n≤-1 =ay1[n+by「n1 故系统是线性的。 (4)当x有界时，y[也是有界的，故系统是稳定的。 为0 xn,n≤一1 与(e)中不同的是yn仅与当时的x有关，类似分析可知，该系统是无记忆的、时变的、线性的、因果的、 稳定的 (g)yLm]=x[4m十1] (1)由于[0]=x1]及-1=x[-3],即输出与过去和未来的输入都有关，故系统是记忆的、非因果 的。 (2)设xn]=x[n-n],则 [m]→[n1=x「4n+1门=x4n+1-m1 ],故系统是时变的 令x[w]=ar[n]+证[]，则 x[m]→[m]=x,[4n+1]=ax,[4m+1]+b2[4n+1] =ay[n]+by:[n] 故系统是线性的， (4)当xl有界时，y]也是有界的，故系统是稳定的。 l.29(a)证明输入xn]和输出ynl的关系为y[n]=Re{x[n]:的离散时间系统是可加的。若其关系变为 [n]=Reem“x[n]}仍是可加的吗？提示：此题中不要假设xn为实数。 (b)本章中讨论到一个系统的线性性质等效为既具有可加性又具有齐次性，试对下列系统确定它们的可加 性和/或齐次性。对每一性质若成立请给出证明：若不成立请给出一个反例。 0)=町 国-.0 0. x[n-1]=0 证明： (a)设[]→y[n]=Re(n},x[]→[J=Rex[n 当x[]=x[]+x[n]时，则 x[n]y[n]=Re(x[m])=Re(x:[n]+;[n]) =Re(zi[n])+Re(xa[n])=y[n]+y:Cn] 故系统Ln]=Re{z[n]是可加的。若系统输入输出关系变为Ln=Re{em“[],则系统仍具有可加性。 00-高[P了系统是次的。图当0=附，则有
但此系统是不可加的。因当输入x()二工1()十x2(t)时，则有 w0oaa士@ -oo{[些丁+2.0+[0] dr 20. ≠()+为() (i) -0.-40 0. x[n-1]=0 故系统是齐次的。因当x[]=cx[们时， = a=2-o.w-1门≠0 cE:L n-1] 0, x[n-1]=0 但此系统是不可加的。因当输入x[m]=x[n]+x[] 白-2迎，-订和-门不同时为泽 一1门和[一门同时为零 ≠[]+ 130判定下列系统的可逆性。若是，求其逆系统：若不是，请找到两个输入信号，其输出是相同的 (a))=(t-4) (b)y(t)=cos[x(t) (c）yln】=xn】 x[n-1],n≥1 (d))=.x(r)dr(e)fn]=0, n=0 (f)yn]xnlxn-11 x[nl,n≤- (g)y(n]=x[1-n] (h)y(t)=fe()dr =三（宁）利 e)= fxn+1],n≥0 (k)ta]-tin].s ())=x(2) (m)y[n]=x[2n] n2],n为偶数 (m)】={0. n为奇数 解 (a)()=x(-4)是可逆的，其逆系统为()=y(t+4)。 (b)y(t)=cosx()1不可逆。因为对x()和x()十2k]两个信号都有相同的输出，不能实现逆系统。 (c)y=nxl不可逆。因为对8和2两个信号都有相同的输出y=0,不能实现逆系统。 (d)0=r(r)dr是可逆的，其逆系统为z()-y. (c) 「x[n一1]，n≥1 0, ”=0是可逆的，其逆系统为 xn]. n≤-1 [n+1,n≥1 []=0, 程=0 y[],n≤-1 (Dy[]=x[n]x[n一1]不可逆。因为当xn=1和一1时，都有yn=1
(g)y儿n=x[1一m]是可逆的，其逆系统为]=y[1一n]。 (h)0-厂。xt是可逆的，其逆系统为t0-0+ )[-之（侵）”x1是可逆的，其逆系统为=]-n-1门. ①0=不可运，因为当x0为任意常黄时，都有y00, (k) M-a+机a≥0不可选.因为当=n和a+gn时，都有ym=lnl。 nlm≤-1 (1)y()=x(2)是可逆的，其逆系统为(0=y(/2)。 (m)y[n]=x[2]不可逆。只要两个不同序列xm和x的偶数位相同，就会产生相同的输出。 (n)y[n]= 0. 为奇数是可逆的，其逆系统为小2。 x[n/2」，n为偶数 1.31在本题中将要说明线性时不变性质的最重要结果之一，即一且知道了一个线性系统或线性时不变系统 对某单一输入的响应，或者对若干个输入的响应，就能直接计算出对许多其他输入信号的响应。本书后续绝大部 分内容都是利用这一点来建立分析与综合线性时不变系统的一些结果和方法的。 ()老成一个线性时不变系统， 它对示于图1-15(a)的信号x1()的响应y()示于图1-15(b)中， 确定并画出该系统对示于图15（©）的信号x()的响应 (b)确定并画出上述(a)中的系统对示于图1-15(d)的信号x()的响应。 n) ， 图1-15 解：此题利用LTI系统的线性特性和时不变特性求解。 a)由于x()=x1()=x1(t-2),所以2()=y1(t)-y(t-2)。Y2()的波形如图1-15(e) 所示 (b)因为x(t)=x1(t)+x(t+1),所以y(t)=y1(t+1)y3(t)的波形如图1-5()所示。 135yz《t) 图1-15 深入题 132设x(t)是一个连续时间信号，并令(0=x(2)）且2)=x2)信号y1(t)代表x(t)的一种加 速形式，即信号的持续期减了一半：而y为（①）代表x()的一种减慢形式，即信号的持续期加倍。考虑以下说 法： (1)若x()是周期的，则y1(t)也是周期的。 (2)若y()是周期的，则x()也是周期的