(3)若x()是周期的，则y2()也是周期的。 (4)若y,(t)是周期的.则x(t)也是周期的。 对于以上每一种说法判断是否对。若对，确定这两个信号基波周期之间的关系：若不对，给出一个反例 解：每一种说法判断都对 (1)x(t)的周期为T,则y1()的周期为T2. (2)y1(t)的周期为T,则x()的周期为2T. (3)x()的周期为T,则y2()的周期为2T (4)2()的周期为T,则x()的周期为T2 1.33设xn是一个离散时间信号，并令 n间-B网且为m-a:为餐聚 信号y]和y]分别代表x的一种加速和减慢形式。然而，应该注意在离散时间下的加速和减慢与连续 时间下相比有一些 微的差别。考虑以下说法： (1)若xn]是周期的，则ynl也是周期的 (2)若y是周期的，则x也是周期的。 (3)若xn是周期的，则yn也是周期的。 (4)若y2是周期的，则x也是周期的。 对以上每 种说法判断是否对。若对，确定这两个信号基波周期之间的关系：若不对，给出一个反例 D对.圆=n+,ya=n+N1,其中=N/2N为偶数 N。=N.N为奇数 (2)不对。ym是周期的，并不能说明x也是周期的。令x川=gn+hM川，其中 0,n为偶数 -6肉资致= 2 ,n为奇数 令y川=2n川，y是周期的，而xn不是周期的 (3)对，n+W]=xn,yn+Nol=y,n川，其中N。=2N。 (4)对。y,n+N]=y,Im,n+Nl=xn川l,其中N。=N/2 134在本题中要研究奇偶信号的几个性质。 (a)证明：若xnl是一个奇信号，则 芝ml=0 (b)若xnl是一个奇信号，xnl是一个偶信号，证明：x[nlxa[n]是一个奇信号 (c)x为一个任意信号，其偶部和奇部分别记为 xeln]=Ev(x[nl) 利 xoln]Od(xin]) 证明：
芝ml芝+芝m (d)虽然以上(a)至(Q)都是针对离敢时间信号的，相类似的性质对连续时间信号也成立，为此证明： roau=0ar+a0an 其中x1(t)和2(t)分别为x()的偶部和奇部。 证明： (a)2x=0)+2xm)+X(-】 若x(n)为奇信号，则x(m)+x(-n)=0,因此 ∑xm)=0 命题得证。 (b)令yn)=x,m)x,(m),则有 y(-n)=x,(-m）x2(-m)=-x,(m)x(m=-ynm) 因此y(n)=x [n]x2[n]是一个奇信号，命题得证。 (c 之ro=2cm+on =22om)+2x20+2∑xmx,m 1- 由(b)中的结论可知x,(m)x,(m)是一个奇信号，又由(a)中的结论可知2∑x,(m)x(m)=0,因此有 ∑rm=∑xm)+∑m 命题得证。 (d∫roh=∫xoh+了xodt+2∫x,0x0d 因为x0)x0是奇信号，则2∫x)x)d=0,因此 Sx@dt=Jx.Odr+Jx.Odt 1.35考虑周期离散时间指数时间信号 x川=eJjm2awn 证明该信号的基波周期是
No N/gcd(m,N) 其中gcd(m,N)是m和N的最大公约数(greatest common divisor),也就是将m和N都能约成整数的最 大整数，例如 gcd2,3)=1,gcd2,4)=2.gcd(8.12)=4 注意：若m,N无公因子，则N=N 证明：需找一个最小的N使得m(2π/N)N。=2πk即N。=kW1m(k为整数) 若八o必须为整数，则N必须是mk的倍数，且mk必须是整数， 因此mk是m和N的公约数。若要得到No的最小值，mk应是m和N的最大公约数 No =N/gcd(m,N) 命题得证 1.36设x()是连续时间复指数信号 x(t)=ejaor 基波频率为w0,基波周期 n=2/ 将x()取等间隔样本，得到一个离散时间信号 x川]=x(nT)=elao7 (a)证明：仅当TTa为一个有理数，x才是周期的，也就是说，仅当采样间隔的某一倍数是x()周期 的倍数时，xn才是周期的。 (b)假设x是周期的，即有 -号 (P1.36-1) 其中P和q都是整数。x的基波周期和基波频率是什么？将基波频率表示成wT的分式。 ()仍假设TT。满足式(P1.36-1),确定需要多少个x()的周期才能得到xn的一个周期的样本。 解： （a)证明：若xm是周期的，则caNT=c7,%=2x1T, 故有 2艺M-2t 即 无片为个有理数 命题得证。 若号一号则网=e,基锁是q/edn0,墨数级车为 2r gcd(p.)2r pgcd(p.) p g cd(p.) p (c)需要p/gcd(p,q)个周期x()才能得到xn的一个周期的样本
1.37很多通信系统应用中的一个重要的概念是两个信号之间的相关(correlation)。在第2章的习题中将更 多地提到这一问题，并给出一些实际应用。现在，我们只对相关函数及其有关性质进行简单介绍。设x()和y ()是两个信号，相关函数(function)定义为 0=+n 函数p,()通常称为信号x()的自相关函数(autocorrelation function),而pe()则称为互相关函数 (cross-correlation function). (a)p.()和p.(t)之间是什么关系 (b)p。()的奇部 (c)假设y(t)=x(t+T)将()和p()用p()来表示 解： (a)由题目中的定义可知， 4,)=∫xt+ry(r)dr =「y(-t+xx(r)dr =4.(-) (b)由(a)可知，)=.(-)，表明，()是实函数，故其奇部为0 (c)克v(0)=0-T),克n0=克) 1.38本题将讨论单位冲激函数的几个性质 (a)证明 62m=560 提示：老察8()，如图1-16所示 (b)1.4节将连续时间单位冲激定义成信号8()的极限，现在根据考察()的性质来定义8()的几 性质。例如，因为信号 us()=8a(T)dr 收敛于单位阶跃 u(r)=lim ua(r) (P1.38-1) 于是就可通过如下方程： u(t)=8(r)dr 来解释8(t),或者把8(t)看成u(t)的导数 这种讨论方式很重要，因为事实上我们是想通过它的性质而不是给出在每一1时的值来定义6()的。第 章将给出单位冲激行为的 种很简单的特性，而这个特性在线性时不变系统的研究中是极其有用的。然而，目 重点关注应用单位冲激的重要概念是为了明白它是如何表现的。为此，考虑图116中的6个信号，证明：其中 每一个信号随△→0时的“表现都像一个冲激”，条件是如果令 (=r()dr 那么 im44(0=u)
在每一种情况下，画出信号山，()，并给以标注。注意 0)=0)=0.所有的△ 因此，定义8()或把8()想成一0时为零，=0时为无穷大是不够的，而宁肯用一些性质来定义冲激，诸 如式(P1.38-1)那样的性质。2.5节将定义称为奇异函数(singularity function)的一类信号，而这些信号都是与 单位神激有关的，而且都是用它们的性质而不是它们的值来定义的。 图1-16 解： (a)由26(2)=62()可得 im6.(2)=2im5.0 因此有 2)=80 (b)每个信号(t)如图1-17所示 图1-17 1.39u(),δ()及其他奇异函数在线性时不变系统的研究中所起的作用是一种物理现象理想化的作用。 我们将会看到，利用这些理想化会使这样的系统得到一种极其重要而又非常简单的表示。然而，在应用奇异函数 时要特别小心。 尤其是必须记住它们是理想化了的。因此，每当利用它们来完成 一计算时，都隐含若假设：这 个计算所代表的是对理想化了的信号特征的精确描述。为了说明这一点，考虑下式： x(t)8(1)=x(0)8(t) (P1.39-1) 该式基于如下观察：