周期为 T=m2红=5×2红（或2×2）=元 1.求信号[n]=1+e-ePmv5的基波周期。 解：对于em,其=号尝=号为有理数，所以e7是周期信号。同样，e2ms中=号尝=专 为有理数，故e2m/5也是周期信号。又em7的基波周期N,=7,e25的基波周期N,=5,N,与N,的最小公 倍数为35，所以xm的基波周期为N=35。 112考虑离散时何信号 网=1-含-1-均 试确定整数M和a的值，以使想xn可表示为 xin]=u[Mn-no] 切-1-0m-1-胡-1-m-灯 一之刘-灯-(-n+刘 即M=-1,n=-3 1.13考虑连续时间信号 x1)=81+2)-6t-2) 试对信号 x()-x(ndr 计算E值。 解 y(0=∫[8(r+2)-r-2)]dr =[6(r+2)dr-x-2)dr =严rd-a =0+n-a-8- E=[y(eo]'d=1·dk=4 1.14考虑一个周期信号 0={2.912 周期为T=2。这个信号的导数是"冲激串”(impulse train)
80-乏60-2 周期仍为T=2。可以证明 d)Agd)+) 求A,t1,A和2的值。 解：0=∑：一2)，x（①的波形如图1H所示，把波形如图12所示 x(p) 图11 图12 9-23-2)-36-1-2] -326-2)-328:-1-2)=3g0-3g-1D 故A=3,1=0,A2=-3,2=1 1.15考虑一个系统S,其输入为x,输出为y[n,这个系统是经由系统S,和S,级联后得到的，S,和S2 的输入输出关系为 S:yi(n]2xi[n]+4xi[n-1] [m=x2n-21+)xn-3引 这里x和xn都为输入信号。 (a)求系统S的输入输出关系。 (b)若S,和S2的级联次序颠倒，即S,在后，那么系统S的输入输出关系会改变吗？ 解 (a)系统s可用框图表示，如图13所示。 时一可-0- 图1-3 如图1-3所示，y=2xn十4xn- =为[n]=x[n-2】+号x[m-3)=[m-2]+2h[n-3] =2x[n-2]+4x[n-3]+号×2x[n-3]+分×4x[n-4] =2x[n-2]+5x[t-3]+2x[m-4幻 (b)当S,和S,的级联次序颠倒时，系统S可用框图表示：如图14所示。 x]=[ 回品日一对网 图14 由图14可知， h[n]=x[n-2]+2x[n-3]
3[n=yn[n]=2x[]+4x[n-1]=2[n]+4[n-1 =2x[w-2]+2×2x[n-3]+4x[n-3]+4×2x[n-4] =2x[n-2]+5x[n-3]+2x[n-4] 由此可见，S,和S,的级联次序颠倒不会改变系统S的输入输出关系。 116考虑一个离散时间系统，其输入为x灯l,输出为yl,系统的输入输出关系为 y(n]=x[n]xin -2] (a)系统是无记忆的吗？ (b)当输入为An,A为任意实数或复数时，求系统输出。 (c)系统是可逆的吗？ 解： (a)因为[]~[o][-2,即系统在某一时刻的输出不仅与当前的输入有关，还与过去的输入有关，所以 系统是记忆系统。 (b) x[nJ=A6[n],[n-2]=A8[n-2],[n]=An] m-2]=0 (c)设x=1,对所有m,则yl=Ix1=1。若设xm=-1,对所有n,则y=(-1)×(-1)=1。 由于有两个不同的输入对应同一个输出，故系统不可逆。 117考忠一个连续时间系统，其输入x()和输出y()的关系为 y(r)=x(sin()) (a)该系统县因果的吗？ (b)该系统是线性的吗？ 解： ()令1=一r可知y(一x)=x(0)。这说明(=一π时刻的响应要由未来=0时刻的激励决定，故该系统是 非因果的。 (b)设 令z1C)+.),3n ()y()=(sin(t))=ar (sin(t))+b:(sin(t)) =ay1(e)+y:(e) 故该系统是线性的。 18考虑一个离散时间系统，其输入和输出的关系为 y(n]= 其中，n为某一有限正整数 (a)系统是线性的吗？ (b)系统是时不变的吗？ (c)若xm为有界且界定为一有限整数B,即对所有的n有x[n]1<B时，可以证明y是被界定到某一有 限数C,因此可以得出该系统是稳定的。试用B和来表示C, 解 (a)设
x[n]-[n]= 三.时-同-之因 令ax[n]+ba[n]=x[n],则 =2因+2因=+， 故系统是线性的。 (b)令x,[n]=x[n-m],则 +-艺因-2k-m]-习灯 故系统是时不变的。 (c)由题设知，当|x[n]I<B时，Iy[n]I<C.又 1网1=之<芝1 <(n+-n++1)B=(2n。+1)B C≤(2m+1)B (a)0=f- (b)n=[-2 (d)=ox(e) 醒： (a)设x()→h(0=产(t-1),x)→为)=x(t-1) 令ar1()+ba:(=x(,则 x()→y(t)=tx(t-1)=t[ar1(t-1)+c,(e-1)] =a'x(t-1)+x(t-1)=ay1()+y:(t) 故该系统是线性的。 令x4(t)=x(t-,则 x()→y()=2x(-1)=2x-1-6) ≠(1-)产x(t-。-1)=y(t-to) 故该系统是时变的。 (b)设 x1[n]+y1[n]=x[H-2] x[n]→[n]=xn-2] 令a[n]十r[=x[n]则 x[]→为[n]=x[n-2]=(ax[n-2]+br[n-2]}2 =u'xi[m-2]+2abx,[n-2]x,[n-2]+bxi[n-2] 故该系统是非线性的 令x,[n]=z[n一n],则 [n]y[n]=i[n-2]=[n-2-m]=y[n-no] 故该系统是时不变的
(c)设 x[n]→[m]=x[m+1]-x[n-1] x[m]→[n]=x[n+1]-x[n-1] 令ax[n]+a[n]=x[n],则 x→ym]=x[m十1]-x[n-1] =,++,+-,a-:a- =aa[n+1]-x[n-1]}+bx[n+1]-[n-1]》 =ay,[n]+y:[n] 故该系统是线性的。 令x,[n]=x[n-%],则 x→[n=x[n+1]-x[n-1] =x[n+1-%]-x[n-1-m]=y[n-%] 故该系统是时不变的 (d) [n]=0(x[m]}=2{z[m]-x[-n]} 设 [m]+y[n]=之x[n]-之x-n] x[n]→h[n]=2x[]-2x[-] 令u[n]+c[n]=x[n],则 [n+[]=2x[]-2[-] =2ax[n]+号br[-号ax[-n]-号bx[-] =a{x[n]-x[-nJ+b2[n]-是x[-] =ay[n]+by:[n] 故该系统是线性的。 令x[n]=x[n一]，则 x[n]→[m]=x[n]-x[-n] =2[m-]-之x[-n-%] [n-%]=号式n-]-[-n+%],[]≠y[n-] 故该系统是时变的。 1.20 一个连续时间线性系统S的输入为x(),输出为y(),有下面的输入输出关系： 0=ea三0)=e x0=e三0=ew (a)若x()=cos(2),求系统S的输出1(L) (b)若，()=cms(2(:-号)，求系统S的输出(D. (a)