例1求由z=Vx2+y2c=22-x2-y2所围立体的表面 积 解两曲面的交线在xO平面上的投影为 x+y=a az 0 设E为曲面z=x2+y2介于0≤z≤a 之间的部分,马为曲面a=2n2-x2 介于a≤z≤2a之间的部分 J
例1 求由 所围立体的表面 积。 2 2 2 2 2 z = x y + = , 2 az a −x − y 解 两曲面的交线在xoy 平面上的投影为 2 2 2 2 2 2 2 2 , . 2 0 z x y x y a az a x y z ⎧⎪ = + ⎧ + = ⎨ ⎨ ⇒ = − − ⎩ = ⎪⎩ 设Σ1为曲面 介于 之间的部分，Σ2为曲面 介于 之间的部分， 2 2 z = + x y 2 2 2 az =2a − − x y 0 ≤ ≤ z a a z ≤ ≤ 2a z y x o D
则由曲面面积的计算公式,得 A=y4+(x,y+[=,(xy)△0 +4+(x,+[,(x)]△ 「2da+ 1+ 4(x+yedo √2ma2+1
则由曲面面积的计算公式，得 [ ] [ ] 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) 4( ) 2 1 2 . x y D x y D D D A z x y z x y z x y z x y x y d d a I a σ σ σ σ π = + ′ ′ + ⎡ ⎤ ∆ ⎣ ⎦ + + ′ ′ + ⎡ ⎤ ∆ ⎣ ⎦ + = + + = + ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫
1+ 4(x2+y dodo 1+4pc a 1+pdp 1+4 43 √5 A 丌a2+I=√2xa2+
( ) 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 0 0 2 4( ) 1 1 4 2 2 1 4 1 4 4 3 5 5 1 . 6 a D a a x y I d d d a a a d a a a π ρ σ θ ρ ρ ρ π ρ π ρ ρ π + = + + ⎛ ⎞ = + = ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ = − ∫∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 2 2 2 2 2 5 5 1 . 6 a A a I a π = + π π = + −
4例2求柱面x2+y2=4被z=0和z+x=2所截下部分的面积 解由对称性,只需计算被x0z平面割下的前面一半即 可。将曲面投影到xoz平面上,曲面方程为y=√4-x2故 面积为 cA=2+2:(xy)+[(x,y)]d
例2 求柱面 被z=0和z+x=2所截下部分的面积 2 2 x y + =4 解 由对称性，只需计算被xoz平面割下的前面一半即 可。将曲面投影到xoz平面上，曲面方程为 故 面积为 2 y x = 4 − x y z o z+x=2 -2 2 4 [ ]2 2 2 2 2 0 2 2 1 ( , ) ( , ) 2 2 . 4 x y D x A z x y z x y d dx dz x σ − − = + ′ ′ + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = − ∫∫ ∫ ∫
例3求球面x2+y2+(z-a)2=2(0<1<2a)位于球面 x2+y2+z2=a2内部的面积,问当t取何值时,面积最 大,最大值是多少? 解设含在x2+y2+z2=a2的球面方程为 在xOy平面上的投影为 D y a-√t2-b2)=a2-b2,→b2=t2 4a
例3 求球面 x y 2 2 + +( ) z−a 2 =t2(0<t <2a) 位于球面 2 2 2 x y + + z = a2 内部的面积，问当 t 取何值时，面积最 大，最大值是多少？ x 解 设含在 x y 2 2 + + = z 2 a2的球面方程为 2 2 2 z = a t − − x − y y z o 在xoy 平面上的投影为 t b {( ) } 222 D x = + , y x y ≤ b ( )2 4 2 2 2 2 2 2 2 , , 4t a t b a b b t a − − = − ⇒ = −