2-21 矩阵分解法 2.2矩阵分解法 2.2.1矩阵LU分解 2.2.2列主元Gauss消去法与PLU分解 2.2.3 Cholesky分解与平方根法 2.2.4三对角线性方程组 2.2.5 带状线性方程组 https://math.ecnu.edu.cn/~jypan/Teaching/NA
2-2 矩阵分解法 2.2 矩阵分解法 2.2.1 矩阵 LU 分解 2.2.2 列主元 Gauss 消去法与 PLU 分解 2.2.3 Cholesky 分解与平方根法 2.2.4 三对角线性方程组 2.2.5 带状线性方程组 https://math.ecnu.edu.cn/~jypan/Teaching/NA
2-2-1矩阵LU分解 换个角度看Gauss消去过程 每次都是做矩阵初等变换，因此也可理解为不断地左乘初等矩阵.将所有这些初等矩阵 的乘积记为i,则可得A=U,其中U是一个上三角矩阵.记L兰-1，则 A=LU, 这就是著名的矩阵LU分解 http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 16/52
2-2-1 矩阵 LU 分解 换个角度看 Gauss 消去过程 每次都是做矩阵初等变换, 因此也可理解为不断地左乘初等矩阵. 将所有这些初等矩阵 的乘积记为 L˜, 则可得 LA˜ = U, 其中 U 是一个上三角矩阵. 记 L ≜ L˜−1 , 则 A = LU, 这就是著名的矩阵 LU 分解. 矩阵分解 将矩阵分解成若干具有简单结构的矩阵的乘积, 是矩阵计算中一个很重要的技术. 假定 Gauss 消去过程能顺利进行, 则 U 一定是非奇异上三角矩阵, L 有什么特殊结构? http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 16/52
2-2-1 矩阵LU分解 换个角度看Gauss消去过程 每次都是做矩阵初等变换，因此也可理解为不断地左乘初等矩阵.将所有这些初等矩阵 的乘积记为立，则可得iA=U,其中U是一个上三角矩阵.记L工一1，则 A=LU, 这就是著名的矩阵L·分解 矩阵分解 将矩阵分解成若干具有简单结构的矩阵的乘积，是矩阵计算中一个很重要的技术。 http://nath.ecnu.edu.cn/-jypan 16/52
2-2-1 矩阵 LU 分解 换个角度看 Gauss 消去过程 每次都是做矩阵初等变换, 因此也可理解为不断地左乘初等矩阵. 将所有这些初等矩阵 的乘积记为 L˜, 则可得 LA˜ = U, 其中 U 是一个上三角矩阵. 记 L ≜ L˜−1 , 则 A = LU, 这就是著名的矩阵 LU 分解. 矩阵分解 将矩阵分解成若干具有简单结构的矩阵的乘积, 是矩阵计算中一个很重要的技术. 假定 Gauss 消去过程能顺利进行, 则 U 一定是非奇异上三角矩阵, L 有什么特殊结构? http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 16/52
2-2-1阵LU分解 换个角度看Gauss消去过程 每次都是做矩阵初等变换，因此也可理解为不断地左乘初等矩阵.将所有这些初等矩阵 的乘积记为i,则可得A=U,其中U是一个上三角矩阵.记L兰-1，则 A=LU, 这就是著名的矩阵LU分解 矩阵分解 将矩阵分解成若干具有简单结构的矩阵的乘积，是矩阵计算中一个很重要的技术 多假定Gauss消去过程能顺利进行，则U一定是非奇异上三角矩阵，L有什么特殊结构 http://nath.ecnu.edu.cn/-jypan 16/52
2-2-1 矩阵 LU 分解 换个角度看 Gauss 消去过程 每次都是做矩阵初等变换, 因此也可理解为不断地左乘初等矩阵. 将所有这些初等矩阵 的乘积记为 L˜, 则可得 LA˜ = U, 其中 U 是一个上三角矩阵. 记 L ≜ L˜−1 , 则 A = LU, 这就是著名的矩阵 LU 分解. 矩阵分解 将矩阵分解成若干具有简单结构的矩阵的乘积, 是矩阵计算中一个很重要的技术. 假定 Gauss 消去过程能顺利进行, 则 U 一定是非奇异上三角矩阵, L 有什么特殊结构? http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 16/52
工的结构 考察第k步的情形，即Ak+1)与A)之间的关系式.由Gauss消去过程可知 A(k+1)=LkA(k), 1 (k) 其中Lk= -lk+1,k1 lik= i=k+1,,n. http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 17/52
L 的结构 考察第 k 步的情形, 即 A(k+1) 与 A(k) 之间的关系式. 由 Gauss 消去过程可知 A (k+1) = LkA (k) , 其中 Lk = 1 . . . 1 −lk+1,k 1 . . . . . . −ln,k 1 , lik = a (k) ik a (k) kk , i = k + 1, . . . , n. 令 k = 1, 2, . . . , n − 1, 并将所有 Gauss 消去过程结合在一起即可得 A (n) = Ln−1Ln−2 · · ·L1A ⇐⇒ A = (Ln−1Ln−2 · · ·L1) −1A (n) ≜ LU http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 17/52