例5.1.13（广告效益的推算）某种啤酒A的广告改变了 广告方式，经调查发现买A种啤酒及另外三种啤酒B,C,D的 顾客每两个月的平均转换率如下（设市场中只有这四种啤酒）： A→A(0.95)B(0.02)C(0.02)D(0.01) B→A(0.30)B(0.60)C(0.06)D(0.04) C→A(0.02)B(0.01)C(0.07)D(0.00) D→A(0.20)B(0.20)C(0.10)D(0.50) 27/113 假设目前购买A,B,C,D四种啤酒的顾客的分布为(25%，30%， 35%,10%),试求半年后啤酒A的市场份额， GoBack FullScreen Close Quit
27/113 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ~ 5.1.13 (2wÃÌé),´ñÀA2wUC 2wê™ß²NuyÔA´ñÀ9, n´ñÀB,C,D êz¸á²˛=Ü«Xe(½|•êk˘o´ñÀ): A → A(0.95) B(0.02) C(0.02) D(0.01) B → A(0.30) B(0.60) C(0.06) D(0.04) C → A(0.02) B(0.01) C(0.07) D(0.00) D → A(0.20) B(0.20) C(0.10) D(0.50) b8c ÔA,B,C,Do´ñÀê©Ÿè(25%, 30%, 35%, 10%)ߣ¶åcñÀA½|°.
解：令P为转移矩阵，则显然有 液 0.950.020.020.01 0.300.600.060.04 P= 0.200.100.700.00 0.200.200.100.50 应 4=(1,2,3,4)=(0.25,0.30,0.35,0.10) 28/113 计算经过半年后顾客在这四种啤酒上的转移概率P3, 0.91450.0350.03520.0153 0.047 P2= 0.4850.380.088 0.36 0.134 0.5 0.006 0.370.2340.136 0.26 GoBack FullScreen Close Quit
28/113 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit )µ-Pè=£› ßKw,k P = 0.95 0.02 0.02 0.01 0.30 0.60 0.06 0.04 0.20 0.10 0.70 0.00 0.20 0.20 0.10 0.50 - µ = (µ1, µ2, µ3, µ4) = (0.25, 0.30, 0.35, 0.10) Oé²Låcê3˘o´ñÀ˛=£V«P3 , P2 = 0.9145 0.035 0.0352 0.0153 0.485 0.38 0.088 0.047 0.36 0.134 0.5 0.006 0.37 0.234 0.136 0.26
花 0.88940.04580.04660.01820 P3= 0.601750.25590.09880.04355 0.48340.13880.365840.01196 0.50090.21340.142640.14306 我们关心啤酒A半年后的市场占有率，即从A,B,C,D四种啤 酒经3次转移后转到A的概率，求得A的市场占有率变为 29/113 0.8894 0.60175 v=(0.25,0.3,0.35,0.10) ≈0.624 0.4834 0.5009 可见啤酒A的市场份额由原来的25%增至62.4%，新的广告 方式很有效益， GoBack FullScreen Close Quit
29/113 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit P3 = 0.8894 0.0458 0.0466 0.01820 0.60175 0.2559 0.0988 0.04355 0.4834 0.1388 0.36584 0.01196 0.5009 0.2134 0.14264 0.14306 ·Ç'%ñÀAåc½|”k«ß=lA,B,C,Do´ñ À²3g=£=AV«ß¶A½|”k«Cè v = (0.25, 0.3, 0.35, 0.10) 0.8894 0.60175 0.4834 0.5009 ≈ 0.624 åÑñÀA½|°d525%Oñ62.4%ß#2w ê™ÈkÃ.
65.2 状态的分类及性质 本节我们首先来讨论一下Markov链各个状态之间的关 系，并以这些关系将状态分类，最后来研究它们的性质】 定义5.2.1称状态可达状态j(亿，j∈S),若存在n≥ 0使得p>0,记为i→j.若同时有j→，则称与j互 通，记为i分j. 30/113 定理5.2.1互通是一种等价关系，即满足： (1)自返性：i>i; (2)对称性：i分，则j→： (3)传递性：i分j,jk,则i分k. GoBack FullScreen Close Quit
30/113 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit §5.2 G©a95ü !·Çƒk5?ÿòeMarkovÛàáGÉm' Xßø±˘ 'XÚG©aßÅ5ÔƒßÇ5ü. ½¬ 5.2.1 °GiåàGj(i, j ∈ S)ße3n ≥ 0¶p (n) ij > 0ßPè i → j. e”ûkj → ißK°iÜjp œßPè i ↔ j. ½n 5.2.1 pœ¥ò´ d'Xß=˜vµ (1)gà5µi ↔ i¶ (2)È°5µi ↔ jßKj ↔ i¶ (3)D45µi ↔ j, j ↔ k, Ki ↔ k
证明：从互通的定义可知(1)(2)是显然的，只证(3) 由互通定义可知需证1→k且k,j.首先，由i→ j,j→k知道存在m,n≥0，使得 pm）>0,pk n) >0.再 由C-K方程知道p+W=∑sPp≥pp (m)(n) > 0, 故2→k.同理可证k→i,即有i→k. 我们把任何两个互通状态归为一类，由上述定理可知， 同在一类的状态应该都是互通的，并且任何一个状态不能同 31/113 时属于两个不同的类 定义5.2.2若arkov链只存在一个类，就称它是不 可约的；否则称为可约的. GoBack FullScreen Close Quit
31/113 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit y²µlpœ½¬å(1)(2)¥w,,êy(3). dpœ½¬åIyi → kÖk → j. ƒkßdi → j, j → k3m, n ≥ 0߶ p (m) ij > 0, p (n) jk > 0.2 dC-Kêß p (m+n) ik = P l∈S p (m) il p (n) lk ≥ p (m) ij p (n) jk > 0ß i → k.”nåyk → iß=ki ↔ k. ·Çr?¤¸ápœG8èòaßd˛„½nåß ”3òaGAT—¥pœßøÖ?¤òáGÿU” û·u¸áÿ”a. ½¬ 5.2.2 eMarkovÛê3òáaß“°ß¥ÿ 嶃K°èå