例5.1.6(Wright-Fisheri遗传模型)遗传的要素是染色 体.遗传性质的携带者称为基因，它们位于染色体上基因控 制着生物的特征，它们是成对出现的控制同一特征的不同 基因称为等位基因，记这对等位基因为A和a,分别称为显 性的与隐形的.在一个总体中基因A和a出现的频率称为基因 频率，分别记为p和1一p. 设总体中的个体数为2N,每个个体的基因按A型基因的 基因频率的大小，在下一代中转移成为A型基因因此，繁殖 12/113 出的第二代的基因型是由试验次数为2W的Bernoullii试验所 确定的，即如果在第n代母体中A型基因出现了次，而a型基 因出现了2N-次，则下一代出现A型基因的概率为p:=六， 而出现a型基因的概率为1一P. GoBack FullScreen Close Quit
12/113 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ~ 5.1.6 (Wright-Fisher¢D .)¢DáÉ¥/⁄ N.¢D5ü눰胜ßßdžu/⁄N˛.ƒœõ õX)‘AßßÇ¥§È—y.õõ”òAÿ” ƒœ°è †ƒœßP˘È †ƒœèA⁄aß©O°èw 5ܤ/.3òáoN•ƒœA⁄a —y™«°èƒœ ™«ß©OPèp⁄1 − p. oN•áNÍè2NßzááNƒœUA.ƒœ ƒœ™«åß3eòì•=£§èA.ƒœ.œdßÑà —1샜.¥d£gÍè2NBernoulli£§ (½ß=XJ31nì1N•A.ƒœ—y igß a.ƒ œ—y 2N−igßKeòì—yA.ƒœV«èpi = i 2Nß —ya.ƒœV«è1 − pi.
记Xn为第n代中携带A型基因的个体数，则易知{Xn}是 一个状态空间为S={0,1,2,·,2N}的时齐Markov链，其 转移概率矩阵为P=(P),其中 Pij=P{Xn+1=jlXn i}CiNp(1-pi)2N- 2N-j =c(2)'(1-六) 13/113 GoBack FullScreen Close Quit
13/113 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit PXnè1nì•ëA.ƒœáNÍßK¥{Xn}¥ òáGòmèS = {0, 1, 2, · · · , 2N}û‡MarkovÛߟ =£V«› èP = (pij)ߟ• pij = P{Xn+1 = j|Xn = i} = C j 2N p j i (1 − pi) 2N−j = C j 2N i 2N j 1 − i 2N 2N−j
下面我们再给出几个所谓“嵌入Markov链”的例子， 在这些情况下模型的Markov"性不是明显的 例5.1.7(M/G/1排队系统)假设顾客依照参数为λ的 Poisson:过程来到一个只有一名服务员的服务站，若服务员 空闲则顾客就能立刻得到服务，否则排队等待直至轮到他.设 每名顾客接受服务的时间是独立的随机变量，有共同的分 布G,而且与来到过程独立.这个系统称为M/G/I排队系统， 14/113 字母M代表顾客来到的间隔服从指数分布，G代表服务时间 的分布，数字1表示只有1名服务员. GoBack FullScreen Close Quit
14/113 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit e°·Ç2â—A᧢/i\MarkovÛ0~fß 3˘ ú¹e .Markov5ÿ¥²w. ~ 5.1.7 (M/G/1¸ËX⁄) bêùÏÎÍèλ PoissonLß5òáêkò¶—÷ —÷’ße—÷ òsKê“U·è—÷, ƒK¸Ë ñÜñ”¶. z¶ê…—÷ûm¥’·ëÅC˛,k”© ŸGß ÖÜ5Lß’·.˘áX⁄°èM/G/1¸ËX⁄ß i1MìLê5mÖ—lçÍ©ŸßGìL—÷ûm ©ŸßÍi1L´êk1¶—÷
若以X(t)表示时刻t系统中的顾客人数，则{X(t),t≥ 0}是不具备Markov性的，因为若己知t时刻系统中的人数， 要预测未来，虽然可以不用关心从最近的一位顾客到来又过 去了多长时间（因过程无记忆，所以这段时间不影响下一位 顾客的到来)，但要注意此刻在服务中的顾客己经接受了多 长时间的服务（因为G不是指数的，不具备“无记忆性”，所 以已经服务过的时间将影响到他何时离去). 我们可以这样考虑，令X表示第n位顾客走后剩下的顾 15/113 客数，n≥1.再令Yn记第n+1位顾客接受服务期间到来的 顾客数，则 Xn+1= 文-1+ 若Xn>0 Yn: 若Xn=0 (5.1.4) 可见Xn+1可由Xn和Yn得到，那么Yn是否会依赖于Yn-l, Yn-2,.呢？我们要证明Y,n≥1都是相互独立的. GoBack FullScreen Close Quit
15/113 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit e±X(t)L´ûètX⁄•ê<ÍßK{X(t), t ≥ 0}¥ÿ‰Markov5ßœèeÆtûèX⁄•<Íß á˝ˇô5ßè,å±ÿ^'%lÅCò†ê5qL ıûm(œLßÃP£ß§±˘„ûmÿKèeò† ê5)ßá5ødè3—÷•êƲ… ı ûm—÷(œèGÿ¥çÍßÿ‰“ÃP£50 ߧ ±Æ²—÷LûmÚK趤ûl). ·Çå±˘ƒß-XnL´1n†êrêe êÍßn ≥ 1.2-YnP1n + 1†ê…—÷œm5 êÍßK Xn+1 = ( Xn − 1 + Yn, eXn > 0 Yn, eXn = 0 (5.1.4) åÑXn+1ådXn⁄Ynß@oYn¥ƒ¨ù6uYn−1, Yn−2, · · · Qº ·Çáy² Yn, n ≥ 1—¥Ép’·.
事实上，因为Yn,n≥1代表的是在不相互重叠的服务时 间区间内来到的人数，来到过程又是Poisson过程，这就很 容易证明了Y,n≥I的独立性，并且还是同分布的. P==eyc.j=0.1,2 (5.1.5) 由(5.1.4)、(5.1.5)式得{Xn,n=1,2,…}是Markov链，转 移概率为 16/113 p0= e() G(x),j≥0 0 ！ Pis= e-Xa_(Az)j-i+1 (1-i+1) dG(x),j≥i-1,i≥1 pi=0, 其他 GoBack FullScreen Close Quit
16/113 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit Ø¢˛ßœèYn, n ≥ 1ìL¥3ÿÉpU—÷û m´mS5<Íß5Lßq¥PoissonLßߢ“È N¥y² Yn, n ≥ 1’·5ßøÖÑ¥”©Ÿ. P{Yn = j} = Z ∞ 0 e −λx(λx) j j! dG(x), j = 0, 1, 2, · · · (5.1.5) d(5.1.4)!(5.1.5)™{Xn, n = 1, 2, · · · }¥MarkovÛß= £V«è p0j = Z ∞ 0 e −λx(λx) j j! dG(x), j ≥ 0 pij = Z ∞ 0 e −λx (λx) j−i+1 (j − i + 1)!dG(x), j ≥ i − 1, i ≥ 1 pij = 0, Ÿ¶