Ko-a0gu-oawku-bmavk -jfotmxdo] -aane-eane+4saawg (aae io 2amcin) 2od)ain(anom e2 codmT)sin()_as sin(,D(+e)+2∫，ocos(o)ed 0m2 由上式解得 X()2mcos)sin(oT)2,sin(,T)cos(T) a2-6 o2-6 nteot-c 会o+%nt0a-a川 =ro+e☑+rma-a (@-@,)T =Tsinc[T(o+月+Tsinc[T(o-,月 可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形窗函数的频谱一分为二，各向左右移动@，同时谱线高度减小 一半，然后叠加而成，如题2-5解答图2所示。也说明，单一频率的简谐信号由于被截断导致频谱变得无 限宽。 X(@) AAAA 0 AA/ a 题25解答图2被截断的余弦函数频端 2-6求指数衰减振荡信号x)=e“sina(a>0,≥0)的频谱
( ) jj j 0 0 j j 0 0 jj j 0 0 0 0 0 0 j j 2 0 1 ( ) ( )e d cos( )e d cos( )de j 1 cos( )e e d cos( ) j 1 cos( )e cos( )e sin( )e d j cos( ) e e sin( j (j ) T T tt t T T T T t t T T T TT t T T T X xt t t t t t t T T t t T t ωω ω ω ω ωω ω ω ω ω ωω ω ω ω ω ω ω ωω ω ω ω ω ω ω ∞ −− − −∞ − − − − − − − − − − = = = − = − − = − + − = − + ∫∫ ∫ ∫ ∫ ( ) j 0 0 j j 2 0 0 0 0 jj j 2 0 0 0 0 0 0 0 j j 0 2 2 0 )de 2cos( )sin( ) sin( )e e dsin( ) 2cos( )sin( ) sin( )e sin( )e cos( )e d 2cos( )sin( ) sin( ) e e cos( T t T T T t t T T T TT t T T T T T t t T T T T t t TT T ω ω ω ωω ω ω ω ω ωω ω ω ω ω ω ωω ω ω ωω ω ω ω ωωω ω ω ωω ω − − − − − − − − − − = − − = − + − =− + + ∫ ∫ ∫ j 0 2 0 0 0 0 2 2 )e d 2cos( )sin( ) 2 sin( )cos( ) ( ) T t T t t TT T T X ω ω ω ω ωω ωω ω ω ωω − − =− + ∫ 由上式解得 { } { } 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 0 2 cos( )sin( ) 2 sin( )cos( ) ( ) sin[( ) ] sin[( ) ] sin[( ) ] sin[( ) ] sin[( ) ] sin[( ) ] sin[( ) ] sin[( ) ( ) TT T T X TT TT T T T T T T T ωω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ωω ωω ωω ωω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ωω ωω ω ω = − − − = ++ − − +− − − − − + = ++ − − − + − = + + 0 0 0 ] ( ) sinc[ ( )] sinc[ ( )] T TT TT ω ω ωω ωω − = ++ − 可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形窗函数的频谱一分为二，各向左右移动 ω0，同时谱线高度减小 一半，然后叠加而成，如题 2-5 解答图 2 所示。也说明，单一频率的简谐信号由于被截断导致频谱变得无 限宽。 2-6 求指数衰减振荡信号 0 ( ) e sin at xt t ω − = （a＞0，t≥0）的频谱。 0 ω X(ω) 题 2-5 解答图 2 被截断的余弦函数频谱 T ≈ω0 ≈-ω0
AA店 题2-6图指数衰减振荡信号 【解答】 解法1：利用傅里叶变换的频移特性和叠加性。 由欧拉公式得 sin()) 所以 0=eew-ew）eew-e。） 令x)=e“(a>0,≥0)，则x)的频谱密度函数为 o=f0w-feewe[ s6enel-ewa%0-0 1 1 a0 根据傅里叶变换的频移特性和叠加性得： o=Ko-axoa小d-a+0 1a++-+o-】 j2 [a+io-)a+i+ a+j@-a+ja+a】 KolG+o-ar+o*a可 a-mcma-cm 解法2：利用傅里叶变换的卷积特性。 x()=e“(a>0,≥0)的频谱密度函数为 X.()-F[e]-aj 1 正弦函数的频谱密度函数为 X:(@)=F[sin(@t)]=jx[6(@+0)-6(@-0)] 根据傅里叶变换的卷积特性和脉冲函数的卷积特性得
【解答】 解法 1：利用傅里叶变换的频移特性和叠加性。 由欧拉公式得 ( ) 0 0 j j 0 1 sin( ) e e j2 t t t ω ω ω − = − 所以 ( ) ( ) 0 0 0 0 1 1 j j j j () e e e e e e e j2 j2 at t t at t t at x t − ω ω − − − − ω ω = −= − 令 1 ( ) e ( 0 0) at xt a t − = ＞ ， ≥ ，则 1 x t( ) 的频谱密度函数为 ( ) jj j 1 1 0 0 j 0 0 1 ( ) ( )e d e e d e e j 1 1 e e e e (0 1) j j 1 j t at t at t at t t X xt t t a a a a ωω ω ω ω ω ω ω ω ∞ ∞ ∞ − − − − − −∞ − − =∞ = = = − − = − − =− − + + = + ∫ ∫ 根据傅里叶变换的频移特性和叠加性得： [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] 1 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 11 1 () ( ) ( ) j2 j2 j( ) j( ) 1 j( ) j( ) j2 j( ) j( ) j( ) j( ) XX X a a a a a a a a ω ωω ωω ωω ωω ωω ωω ωω ωω ω ωω ωω = −− + = − +− ++ + + −+ − = +− ++ = +− ++ 0 2 22 2 0 0 ( ) () () X a a ω ω ωω ωω = +− ++ 0 0 ( ) arctan arctan a a ωω ωω ϕ ω − + = − − 解法 2：利用傅里叶变换的卷积特性。 1 ( ) e ( 0 0) at xt a t − = ＞ ， ≥ 的频谱密度函数为 1 1 ( ) e () j at X F u t a ω ω − = = + 正弦函数的频谱密度函数为 XFt 2 0 00 ( ) sin( ) j ω ω δω ω δω ω = = +− − [ ] π[ ( )( )] 根据傅里叶变换的卷积特性和脉冲函数的卷积特性得 题 2-6 图 指数衰减振荡信号 x(t) 0 t /s
oeaw小-安oro-立力fo+a)a-a 1 1 a+jo+a+j(o-%】 Ko=+o+aia+o-a月 da)-scim m-scan 频谱图如题2-6解答图所示。 LX(o) (rad wlrad-s-i -a0 Va-a olrad-s" 题2-6解答图指数衰减信号的频谱图 2-7设有一时间函数f)及其频谱如图2-27所示。现乘以余弦型振荡c0s,(@,>0)。在这个关系中， 函数f0叫做调制信号，余弦振荡cos,叫做载波。试求调幅信号f)cOs,r的傅里叶变换，示意画 出调幅信号及其频谱。又问：若®，<)时将会出现什么情况？ IF() 0 -0m 0 图2-27题27图 【解答】令x)=f)cos(o,),这是一个调幅波，波形如题2-7解答图1所示
{ [ ]} [ ] [ ] [ ][ ] [ ] 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 ( ) e sin( ) ( ) () () jπ ( )( ) 2π 2π j 1 1 1 11 1 j j () () 2 j j 2 j( ) j( ) 1 1 j( ) j( ) j2 j j 2 j( ) j( ) 2 j( ) at X F tut X X a a a a a a a aa aa ω ω ω ω δω ω δω ω ω δω ω δω ω ω ω ωω ωω ωω ωω ω ωω ωω ω ω − = = ∗ =⋅ ∗ + − − + = ∗ +− ∗ − = − + + ++ +− + − −+ + − = ⋅ = ⋅ ++ +− ++ + [ ] [ ][ ] 0 0 0 0 j( ) a a j( ) j( ) ω ω ω ωω ωω − = ++ +− 0 2 22 2 0 0 ( ) () () X a a ω ω ωω ωω = ++ +− 0 0 ( ) arctan arctan a a ωω ωω ϕ ω + − = − − 频谱图如题 2-6 解答图所示。 2-7 设有一时间函数 f t( ) 及其频谱如图 2-27 所示。现乘以余弦型振荡 0 0m cos ( ) ω ωω t > 。在这个关系中， 函数 f t( ) 叫做调制信号，余弦振荡 0 cosω t 叫做载波。试求调幅信号 0 ft t ( )cosω 的傅里叶变换，示意画 出调幅信号及其频谱。又问：若ω ω 0 m ＜ 时将会出现什么情况？ 【解答】令 0 xt f t t ( ) ( )cos( ) = ω ，这是一个调幅波，波形如题 2-7 解答图 1 所示。 0 0 |X(ω)| -π π φ(ω)/rad ω/rad∙s-1 ω/rad∙s-1 题 2-6 解答图 指数衰减信号的频谱图 图 2-27 题 2-7 图 ω |F(ω)| 0 f(t) 0 t -ωm ωm
)—包络线 题2-7解答图1调幅信号 设F(o)=Ff。因为 cos(a）=(ew+ew） 所以 0=/0ew+/oew 根据傅里叶变换的频移特性和叠加性得： X(@)=,F(@-)+,F@+a) 可见调幅信号x)的频谱是将调制信号∫)的频谱一分为二，各向左右移动载频，同时谱线高度减 小一半，然后叠加而成。当，>。时，调幅信号的幅值频谱图如题2-7解答图2所示。 a -a Wm-Wo-Wm+wp wn+w ofrad-s时 题2-7解答图20。>0时的调幅信号频谱 若风，<将发生频谱混叠，如题2-7解答图3所示。频谱产生混叠后将无法在解调中得到原信号。 X() 0■ /rad-si 题2-7解答图3，<@.时的调幅信号频谱 2-8求正弦信号x)=,sin(o1+p)的均值4，、均方值和概率密度函数px): 【解答】令正弦信号周期T=2π/。adsl。 D%=号0=6mo+po+p
设 F Fft ( ) [ ( )] ω = 。因为 ( ) 0 0 j j 0 1 cos( ) e e 2 t t t ω ω ω − = + 所以 0 0 1 1 j j ( ) ( )e ( )e 2 2 t t xt f t f t ω ω − = + 根据傅里叶变换的频移特性和叠加性得： 0 0 1 1 () ( ) ( ) 2 2 XF F ω ωω ωω = −+ + 可见调幅信号 x(t)的频谱是将调制信号 f t( ) 的频谱一分为二，各向左右移动载频 ω0，同时谱线高度减 小一半，然后叠加而成。当ω ω 0 m ＞ 时，调幅信号的幅值频谱图如题 2-7 解答图 2 所示。 若ω ω 0 < m 将发生频谱混叠，如题 2-7 解答图 3 所示。频谱产生混叠后将无法在解调中得到原信号。 2-8 求正弦信号 0 xt x t ( ) sin( ) = + ω ϕ 的均值 µx 、均方值 2 ψ x 和概率密度函数 p(x)。 【解答】令正弦信号周期 0 T = 2π /ω rad∙s-1 。 （1） 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 lim ( )d sin( )d cos( ) T T T x T x xt t x t t t TT T µ ω ϕ ω ϕ →∞ ω = = + =− + ∫ ∫ t /s x(t) f(t)——包络线 题 2-7 解答图 1 调幅信号 ω /rad∙s-1 |X(ω)| -ω0 ω0 题 2-7 解答图 2 时的调幅信号频谱 -ωm+ω0 ωm -ωm-ω0 ωm-ω0 +ω0 ω /rad∙s-1 |X(ω)| -ω0 ω0 题 2-7 解答图 3 时的调幅信号频谱 ωm -ωm-ω0 ω +ω0 m 0
ccoscos(+)co a-但r05ioa4p地=1-oa =0w-am2a+p小-0小-0小-号 (3)由题2-8解答图1中的x)的波形图可知，当-x<x<x,时，在一个周期内落在(x,x+△x)区间 的时间为 题2-8解答图1正弦信号波形图 T0=AM+△，=2M 所以 0+-阳子-受-尝 Po+=吗2无出子元+1 Ar -元ax+0和xmat 1 -a= 1 当x<-或x>x时，p()=0。 概率密度函数曲线如题2-8解答图2所示 P)4 题2-8解答图2随机正弦信号的概率密度函数图
[ ] [ ] 0 0 0 cos( ) cos( ) cos(2 ) cos( ) 0 2 2 x x ω ϕ ϕ πϕ ϕ T π π =− + − =− + − = （2） 0 0 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 cos 2( ) lim ( )d sin ( )d d 2 T T T x T x t xtt x t t t TT T ω ϕ ψ ω ϕ →∞ − + = = += ∫∫ ∫ [ ] 0 0 0 0 2 2 22 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1d cos 2( )d 0 0 2 2 22 x T T x xx T t tt t T T T T ω ϕ = − + = − = −= ∫ ∫ （3）由题 2-8 解答图 1 中的 x(t)的波形图可知，当 0 0 −x xx ＜ ＜ 时，在一个周期内落在（x，x+Δx）区间 的时间为 012 2 T tt t x =∆ +∆ = ∆ 所以 0 0 0 2 [ ( ) ] lim x x T T T t Px xt x x →∞ TT T ∆ ＜ ≤ +∆ = = = [ ] 0 0 0 00 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 22 0 00 [ () ] 2 2 d 2 1 2 1 ( ) lim lim d d d sin( ) d d 21 2 1 cos( ) 1 [sin( )] 21 1 ( ) 2π 1(/ ) π x x Px xt x x t t p x x TxTxT T x x t t t Tx t T x t x xx x xx x x ω ϕ ω ωϕ ω ω ϕ ∆ → ∆ → +∆ ∆ = = = = = ∆ ∆ + = = + − + = = − − − ＜ ≤ ＜ ＜ 当 0 x x ＜− 或 0 x x ＞ 时， p x() 0 = 。 概率密度函数曲线如题 2-8 解答图 2 所示。 x(t) 题 2-8 解答图 1 正弦信号波形图 x x+Δx Δt Δt t /s T0 -x0 p(x) x 题 2-8 解答图 2 随机正弦信号的概率密度函数图 x0 0