第3章测试装置的基本特性 3-1进行某动态压力测量时，所采用的压电式力传感器的灵敏度为90.9 nC/MPa,.将它与增益为0.005V/nC 的电荷放大器相连，而电荷放大器的输出接到一台笔式记录仪上，记录仪的灵敏度为20mmV。试计 算这个测量系统的总灵敏度。当压力变化为3.5MPa时，记录笔在记录纸上的偏移量是多少 【解答】若不考虑负载效应，则各装置串联后总的灵敏度等于各装置灵敏度相乘，即 S=90.9(nC/MPa)x0.005(V/nC)x20(mm/V)=9.09mm/MPa 偏移量：y=S×3.5(MPa)=9.09(mm/MPa)x3.5(MPa)=31.815mm。 3-2用一个时间常数为0.35s的一阶装置去测量周期分别为1s、2s和5s的正弦信号，问稳态响应相对幅 值误弟将是多少？ 【解答】设该一阶装置为典型一阶系统，静态灵敏度为1，则其传递函数为 H(8=5+1035s+1 频响函数为 H@)=1+j0.350 幅频特性为 ()+(0350 -0s-河 式中T是输入的正弦信号的周期。 通频带内的理想增益（即理想幅频特性值）为 40)+035x0y 稳态响应的相对幅值误差为 6=o-0x100%=4）x10%-[ A(0) -1x100% +0.7/y 将己知周期代入上式得 当=1s时 V1+(0.35π/1y -1×100%=-58.6% 当T=2s时 +05x72T-1小10%-327% 1 当=5s时 6= 1 V1+(0.35π/5y -1100%-8,46% 33求周期信号0=05cos10+02co10-459通过传递函数为H6)产0035中的装置后得到的稳态 响应。 【解答】频响函数为 1 Ho)=1+j0.0050 幅频特性为
第 3 章 测试装置的基本特性 3-1 进行某动态压力测量时，所采用的压电式力传感器的灵敏度为 90.9 nC/MPa，将它与增益为 0.005 V/nC 的电荷放大器相连，而电荷放大器的输出接到一台笔式记录仪上，记录仪的灵敏度为 20 mm/V。试计 算这个测量系统的总灵敏度。当压力变化为 3.5 MPa 时，记录笔在记录纸上的偏移量是多少？ 【解答】若不考虑负载效应，则各装置串联后总的灵敏度等于各装置灵敏度相乘，即 S = 90.9 nC/MPa 0.005 V/nC 20 mm/V 9.09 mm/MPa ( ) × ( ) × = ( ) 偏移量： y S =× = × = 3.5 (MPa) 9.09 (mm/MPa) 3.5 (MPa) 31.815 mm 。 3-2 用一个时间常数为 0.35 s 的一阶装置去测量周期分别为 1 s、2 s 和 5 s 的正弦信号，问稳态响应相对幅 值误差将是多少？ 【解答】设该一阶装置为典型一阶系统，静态灵敏度为 1，则其传递函数为 1 1 ( ) 1 0.35 1 H s τ s s = = + + 频响函数为 1 ( ) 1 j0.35 H ω ω = + 幅频特性为 2 22 111 () () 1 (0.35 ) 2π 0.7π 1 0.35 1 A H T T ω ω ω = = = = + +× + 式中 T 是输入的正弦信号的周期。 通频带内的理想增益（即理想幅频特性值）为 2 1 (0) 1 1 (0.35 0) A = = + × 稳态响应的相对幅值误差为 2 ( ) (0) ( ) 1 1 100% 100% 1 100% (0) 1 1 (0.7π / ) AA A A T ω ω δ − − = × = × = −× + 将已知周期代入上式得 当 T=1 s 时 2 1 1 100% 58.6% 1 (0.35π / 1) δ = − × ≈− + 当 T=2 s 时 2 1 1 100% 32.7% 1 (0.35π / 2) δ = − × ≈− + 当 T=5 s 时 2 1 1 100% 8.46% 1 (0.35π / 5) δ = − × ≈− + 3-3 求周期信号 xt t ( ) 0.5cos10 0 = + −° .2cos 10 ( 0 4 t 5 ) 通过传递函数为 1 0.005 1 H( )s s = + 的装置后得到的稳态 响应。 【解答】频响函数为 1 ( ) 1 j0.005 H ω ω = + 幅频特性为
1 A(o)= 1+(0.005o 相频特性为 (@)=-arctan(0.005m) 该装置是一线性定常系统，设稳态响应为y.(),根据线性定常系统的频率保持性、比例性和叠加性得 到该装置的稳态响应为 y (t)=Yo cos(10+)+Y cos(100r-45+) 根据幅频特性、相频特性的物理意义得 %-MoL.-7+0m5x100509刚 1 %=p(ol-o=-arctan(0.005×10)=-2.8624°=-0.0500rad +(0.05x100*0201789 1 Ye=Aa儿-mXa= =-arctan(0.005×100)≈-26.5651°￥-0.4636rad 所以稳态响应为 .0=0.4994c0s101-0.0500)+0.1789c0s1001-/4-0,4636) =0.4994c0s101-0.0500)+0.1789c0s(1001-1.2490) 34气象气球携带一种时间常数为15s的一阶温度计，以5ms的上升速度通过大气层。设温度按每升高 30m下降0.15℃的规律而变化，气球将温度和高度的数据用无线电送回地面。在3000m处所记录的 温度为一℃。试问实际出现℃的真实高度是多少？ 【解答】该温度计为典型一阶系统，其传递函数设为H)=5,式中K为静态灵敏度。大气温度 随高度的增加而成比例降低，对温度计来说相当于输入了一个斜率为负的斜坡信号x),而典型一阶系统 对斜坡输入信号的稳态响应为y()=Kx(-15)(推导过程略)，滞后时间为时间常数t=15s,如果不计无 线电波传送时间，则温度计的稳态输出实际上是15s以前的温度，所以实际出现-1℃的真实高度是 H=3000-5r=3000-5×15=2925m 3-5想用一个一阶系统做100z正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在5%以内，那么时间常数应取多 少？若用该系统测量50z正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？ 【解答】设该一阶系统为典型一阶系统，其频响函数为 HUD=1+2x了 式中K是静态灵敏度，并设K>0,是时间常数。 则幅频特性为 =+2rT 相频特性为 f)=-arctan2πrf) 通颜带内的理想增益为 40)-+2xrx0厚K 稳态响应的相对幅值误差为
2 1 ( ) 1 (0.005 ) A ω ω = + 相频特性为 ϕ ω( ) arctan(0.005 ) = − ω 该装置是一线性定常系统，设稳态响应为 ss y t( ) ，根据线性定常系统的频率保持性、比例性和叠加性得 到该装置的稳态响应为 ss 01 1 02 2 yt Y t Y t ( () ( ) ) cos 10 cos 100 45 = + + − °+ ϕ ϕ 根据幅频特性、相频特性的物理意义得 01 10 01 2 1 ( ) 0.5 0.4994 1 (0.005 10) YA X ω ω = = = × ≈ + × 1 10 ( ) arctan(0.005 10) 2.8624 0.0500 rad ω ϕ ϕω = = =− × ≈− °≈− 02 100 02 2 1 ( ) 0.2 0.1789 1 (0.005 100) YA X ω ω = = = × ≈ + × 2 100 ( ) arctan(0.005 100) 26.5651 0.4636 rad ω ϕ ϕω = = =− × ≈− °≈− 所以稳态响应为 ss ( ) 0.4994cos(10 0.0500) 0.1789cos(100 π / 4 0.4636) 0.4994cos(10 0.0500) 0.1789cos(100 1.2490) y t t t t t = − + −− = −+ − 3-4 气象气球携带一种时间常数为 15 s 的一阶温度计，以 5 m/s 的上升速度通过大气层。设温度按每升高 30 m 下降 0.15 ℃的规律而变化，气球将温度和高度的数据用无线电送回地面。在 3000 m 处所记录的 温度为−l ℃。试问实际出现−l ℃的真实高度是多少？ 【解答】该温度计为典型一阶系统，其传递函数设为 ( ) 15 1 K H s s = + ，式中 K 为静态灵敏度。大气温度 随高度的增加而成比例降低，对温度计来说相当于输入了一个斜率为负的斜坡信号 x(t)，而典型一阶系统 对斜坡输入信号的稳态响应为 ss y Kx t ( )t = − ( 15)（推导过程略），滞后时间为时间常数τ =15 s ，如果不计无 线电波传送时间，则温度计的稳态输出实际上是 15 s 以前的温度，所以实际出现−l ℃的真实高度是 z H = − = −× = 3000 5 3000 5 15 2925 m τ 3-5 想用一个一阶系统做 100 Hz 正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在 5%以内，那么时间常数应取多 少？若用该系统测量 50 Hz 正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？ 【解答】设该一阶系统为典型一阶系统，其频响函数为 ( ) 1 j2π K H f τ f = + 式中 K 是静态灵敏度，并设 K＞0，τ是时间常数。 则幅频特性为 2 ( ) 1 (2π ) K A f τ f = + 相频特性为 ϕ τ ( ) arctan(2 f f = − π ) 通频带内的理想增益为 2 (0) 1 (2π 0) K A K τ = = + × 稳态响应的相对幅值误差为
s:4no-42.uww-[d-小ko 令18≤5%，∫=100Hz,代入上式解得 t≤523u5。 如果f=50H2,并取r=523s,则 相对幅值误差为 1 1×100%= +2万 i+2x23x10x0100%-13% 相角差为 p(50)=-arctan(2xf,-o=-arctan(2r×523x10-×50)=-9.33°=-919y50' 3-6试说明二阶装置阻尼比多采用0.6~0.7的原因。 【解答】可以在频率域上或在时间域上分析说明 在频域上，通过对二阶装置的频率特性与不失真测量条件的比较来分析说明。 在时域上，通过对阶跃响应的稳、准、快三方面来分析说明。 频域上：设该二阶装置为典型二阶系统，其传递函数为 Ko H)=7+260,5+d 频响函数为 日号 设K>0,则幅频特性为 A() -gjs】 相频特性为 260 arctan- 1 ≤， o.) = arctan- 7-180°，o>, 根据上述幅频、相频特性表达式可以绘制出该典型二阶装置的频响特性图如题3-6解答图1 所示
2 ( ) (0) ( ) 1 100% 100% 1 100% (0) 1 (2π ) Af A Af K A K f δ τ − − = × = × = −× + 令|δ| ≤ 5%，f = 100 Hz，代入上式解得 τ ≤523 µs。 如果 f = 50Hz，并取τ = 523 µs，则 相对幅值误差为 2 6 2 1 1 1 100% 1 100% 1.3% 1 (2π f ) 1 (2π 523 10 50) δ τ − = −× = − × ≈− + +×× × 相角差为 6 50 (50) arctan(2π ) arctan(2π 523 10 50) 9.33 9 19 50 f ϕ τ f − = = − =− × × × ≈− °=− ° ′ ′′ 3-6 试说明二阶装置阻尼比ζ多采用 0.6~0.7 的原因。 【解答】可以在频率域上或在时间域上分析说明。 在频域上，通过对二阶装置的频率特性与不失真测量条件的比较来分析说明。 在时域上，通过对阶跃响应的稳、准、快三方面来分析说明。 频域上：设该二阶装置为典型二阶系统，其传递函数为 2 n 2 2 n n ( ) 2 K H s s s ω ζω ω = + + 频响函数为 2 n 2 2 2 n n n n ( ) j2 1 j2 K K H ω ω ω ω ζω ω ω ωζ ω ω = = − + − + 设 K＞0，则幅频特性为 2 2 2 n n ( ) 1 2 K A ω ω ωζ ω ω = − + 相频特性为 n 2 n n n 2 n n 2 arctan 1 ( ) 2 arctan 180 1 ωζ ω ω ω ω ω ϕ ω ωζ ω ω ω ω ω − − = − − ° − ， ≤ ， ＞ 根据上述幅频、相频特性表达式可以绘制出该典型二阶装置的频响特性图如题 3-6 解答图 1 所示
=0 5K 3 /rad-s- -60 -120 -150 1800 n frad-s 题3-6解答图1典型二阶系统H(9)=K0/(s2+25®，3+0)的频响特性图 由幅频、相频特性表达式和频响特性图可知，在<时，幅频特性A(@户K=常数：相频特 性(oF-2g@1oa,与近似成线性关系。即频响特性在低频段近似满足不失真测量条件，所以典型 二阶装置工作在低频段，其上限工作频率取决于无阻尼固有频率@，和阻尼比。 从幅频特性可知，在周有频率和允差一定的情况下，阻尼比不同，上限工作频率不同。只有 阻尼比在0707左右时，上限工作频率才最大，工作频带最宽。 从相频特性曲线可知，当阻尼比在0.707左右时，低频段相频特性曲线接近直线段最宽。 综合上述分析可得，典型二阶装置阻尼比多选在0.707左右。 时域上：典型二阶系统对单位阶跃输入信号的响应为（设K=1) 欠阻尼时)=1- 7w4子 临界阻尼时0=1-1+o.ew(0,S=1) 过阻尼时02+-Wcw 2g-F-iwe心weu 无阻尼时0)=1-c0s(a,)(≥0,5=0) 根据以上响应表达式可画出典型二阶系统的单位阶跃响应曲线如题3-6解答图2所示
由幅频、相频特性表达式和频响特性图可知，在ω<<ωn 时，幅频特性 A(ω)≈K=常数；相频特 性ϕ(ω)≈−2ζω/ωn，与ω近似成线性关系。即频响特性在低频段近似满足不失真测量条件，所以典型 二阶装置工作在低频段，其上限工作频率取决于无阻尼固有频率ωn 和阻尼比ζ。 从幅频特性可知，在固有频率和允差一定的情况下，阻尼比不同，上限工作频率不同。只有 阻尼比在 0.707 左右时，上限工作频率才最大，工作频带最宽。 从相频特性曲线可知，当阻尼比在 0.707 左右时，低频段相频特性曲线接近直线段最宽。 综合上述分析可得，典型二阶装置阻尼比ζ多选在 0.707 左右。 时域上：典型二阶系统对单位阶跃输入信号的响应为（设 K=1） 欠阻尼时 n 2 d 2 e 1 ( ) 1 sin( arctan ) ( 0 1) 1 t y t t t ζω ζ ω ζ ζ ζ − − = − + − ≥ ，0＜ ＜ 临界阻尼时 n n ( ) 1 (1 )e ( 0 1) t y t t t ω ω ζ − =− + ≥ ， = 过阻尼时 2 2 n n ( 1) ( 1) 2 2 2 2 1 1 ( ) 1 e e ( 0 1) 2( 1) 1 2( 1) 1 t t y t t ζζ ω ζζ ω ζ ζζ ζ ζζ ζ −+ − −− − = + − +− − −− − ≥ ， ＞ 无阻尼时 n y t( ) 1 cos( ) ( 0 ) = − = ω ζ t t≥ ， 0 根据以上响应表达式可画出典型二阶系统的单位阶跃响应曲线如题 3-6 解答图 2 所示。 0 0 K 2K 3K 4K 5K 6K ω /rad∙s-1 0 -180 -150 -120 -60 -30 0 -90 ζ = 0 ζ = 0.1 ζ = 0.3 ζ = 0.5 ζ = 0.7 ζ = 1 ζ = 2 题 3-6 解答图 1 典型二阶系统 的频响特性图 ω /rad∙s ω -1 n ωn A(ω) ϕ(ω) /°
0.1 -0.3 x 题3-6解答图2二阶系统Hs)=2/(s2+24)s+a)的单位阶跃响应曲线 从阶跃响应曲线可以看出，（越小，响应越快：反之，（越大，响应越慢。但在欠阻尼时，（越小，振 荡越强烈，说明相对稳定性越低：反之，（越大，振荡幅度越小，稳定程度越高。即阻尼比（对响应速度和 稳定程度的影响是矛盾的，所以设计典型二阶系统时，对阻尼比（的选择需要折中考虑，既不要选得太小， 也不要选得太大。 综合以上分析，在固有频率和允差一定的情况下，阻尼比在0.707左右时响应速度较快，超调量也 较小，趋于允差带内稳态响应的时间也较短，此时综合动态特性最好。所以二阶装置阻尼比多选在0.707 左右。 3将信号c0输入一个传递函数为H(，十的一阶装置后，试求其包括解态过程在内的输出0的 表达式。 【解答】令0=c0s0:20,则X)严？千石，所以零状态响应的拉普拉斯变换变换为 Y(s)-H(() 利用部分分式展开法可得到 1 1 1 Y()-sj 对上式做逆拉普拉斯变换得到零状态响应为 1 1 rytejore 1 20+(ro] (+orsina-(m “+mol6r-acaw1+m
从阶跃响应曲线可以看出，ζ 越小，响应越快；反之，ζ 越大，响应越慢。但在欠阻尼时，ζ 越小，振 荡越强烈，说明相对稳定性越低；反之，ζ 越大，振荡幅度越小，稳定程度越高。即阻尼比 ζ 对响应速度和 稳定程度的影响是矛盾的，所以设计典型二阶系统时，对阻尼比 ζ 的选择需要折中考虑，既不要选得太小， 也不要选得太大。 综合以上分析，在固有频率和允差一定的情况下，阻尼比在 0.707 左右时响应速度较快，超调量也 较小，趋于允差带内稳态响应的时间也较短，此时综合动态特性最好。所以二阶装置阻尼比ζ多选在 0.707 左右。 3-7 将信号 cosωt 输入一个传递函数为 1 1 H( )s τ s = + 的一阶装置后，试求其包括瞬态过程在内的输出 y(t)的 表达式。 【解答】令 x( )t = cos ( 0) ωt t≥ ，则 2 2 ( ) s X s s ω = + ，所以零状态响应的拉普拉斯变换变换为 2 2 1 () () () 1 s Ys HsXs τ ω s s = = ⋅ + + 利用部分分式展开法可得到 2 11 11 11 ( ) 1 ( ) 2(1 j ) j 2(1 j ) j 1 Y s s s s ωτ τω ω τω ω τ =− ⋅ + + + +− −+ + 对上式做逆拉普拉斯变换得到零状态响应为 [ ] [ ] 1 j j 2 jj jj 2 2 / 2 2 / 2 2 11 1 ( ) [ ( )] e e e 1 ( ) 2(1 j ) 2(1 j ) 1 e e j (e e ) e 1( ) 2[1 ( ) ] 1 e cos sin 1( ) 1( ) 1 e cos arctan( ) 1( ) 1( ) t t t t tt tt t t yt Y s t t t τ ω ω ωω ωω τ τ τ ωτ τω τω ωτ ωτ τω ω ωτ ω τω τω ω τω τω τω − − − − − − − − = = −+ + + +− +− − = − + + + = +− + + = −− + + L 题 3-6 解答图 2 二阶系统 的单位阶跃响应曲线 y(t) 0 0 1 2 t /s 允差带±5% x(t) t s t s t s t s t s t s ζ=0 ζ=0.1 ζ=0.3 ζ=0.5 ζ=0.7 ζ=0.9 ζ=1 ζ=2