幅值谱密度函数为 KU+T设4o0 A 相位谱函数为 a a 频谱图如题2-3解答图2所示。 9(rad Ala 元/2 01 fz π2 题23解答图2单边指数衰减信号频谱图 2-4求符号函数（见图2-25a)和单位阶跃函数（见图2-25b)的频谱。 sgn() 0 1 0 07 a)符号函数 b)阶跃函数 图2-25题2-4图 【解答】a)求符号函数的频谱 0-m0-8 0处可不予定义，或规定sgn(O0 该信号不满足绝对可积条件，但傅里叶变换存在。直接按傅里叶变换定义求解困难，可按如下方法求 解。即借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号x()的 频谱，然后取极限得出符号函数x)的频谱。 令 0=ea0=20a x)的波形图如题24解答图1所示
幅值谱密度函数为 2 2 ( ) (2π ) A X f a f = + （设 A＞0） 相位谱函数为 0 2π 2π ( ) arctan arctan arctan f f f Aa a ϕ = − =− （设 A＞0） 频谱图如题 2-3 解答图 2 所示。 2-4 求符号函数（见图 2-25a）和单位阶跃函数（见图 2-25b）的频谱。 【解答】a）求符号函数的频谱 1 0 ( ) sgn( ) 1 0 t xt t t + > = = − < t=0 处可不予定义，或规定 sgn(0)=0。 该信号不满足绝对可积条件，但傅里叶变换存在。直接按傅里叶变换定义求解困难，可按如下方法求 解。即借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号 x1(t)的 频谱，然后取极限得出符号函数 x(t)的频谱。 令 1 e 0 ( ) e sgn( ) e 0 at at at t xt t t − − = = − ＞ ＜ ，式中 a＞0 1 x t( ) 的波形图如题 2-4 解答图 1 所示。 题 2-3 解答图 2 单边指数衰减信号频谱图 f /Hz |X(f)| A/a 0 φ(f)/rad 0 f /Hz π/2 -π/2 t sgn(t) 0 1 -1 t u(t) 0 1 图 2-25 题 2-4 图 a）符号函数 b）阶跃函数
-1 题2-4解答图1x0=e"sgn(0 x()=sgn(t)=limx,(t) x()的频增密度函数为 X()=()edr=e"e'dr+e"e-'dr =-c"e-ur p (a-) 1-0 0-1 a-p时a+2网 =a-2时*a+卫可 4元f =-小a+2对7 当f≠0时 =en}-号0 当f=0时 0四-，-引。 4元r X(O)=0说明X(f)不包含直流分量，这是因为sg)的直流分量（即平均值）等于0。 幅值谱密度函数为 IxO=VRe xO+[mxo= 0,f=0 相位谱函数为 )arctan Imx( Rex(f) arctan- 0 频谱图如题2-4解答图2所示
则 1 0 ( ) sgn( ) lim ( ) a xt t x t → = = 1 x t( ) 的频谱密度函数为 0 j2π j2π j2π 1 1 0 0 j2π j2π 0 2 2 ( ) ( )e d e e d e e ee e e ( j2π ) ( j2π ) 10 01 j2π j2π 1 1 j2π j2π 4π j (2π ) f t at f t at f t at f t at f t X f x t t t dt af af a fa f a fa f f a f ∞ ∞ − − − − −∞ −∞ ∞ − − − −∞ = =− + = − + − −+ − − =− − − + =− + − + = − + ∫ ∫∫ 当 f ≠ 0 时 [ ] 1 22 2 0 0 4π 4π 1 ( ) sgn( ) lim ( ) lim j j j ( 0) a a (2π ) (2π ) π f f Xf F t X f f → → af f f = = = − =− =− + ≠ 当 f = 0 时 1 2 2 2 0 0 0 0 0 4π 0 0 (0) lim (0) lim j lim j lim j 0 a a (2π ) a a 0 2 f f X X → → a f → → a = = = − = − = −= + + X (0) 0 = 说明 X f ( ) 不包含直流分量，这是因为sgn( )t 的直流分量（即平均值）等于 0。 幅值谱密度函数为 [ ] [ ] 2 2 2 1 1 0 0 ( ) Re ( ) Im ( ) π π 0 0 f Xf Xf Xf f f f +− = ≠ = += = ， ， 相位谱函数为 1 π rad 0 Im ( ) π 2 ( ) arctan arctan Re ( ) 0 π rad 0 2 f X f f f X f f ϕ − + = = = − ＜ ＞ 频谱图如题 2-4 解答图 2 所示。 题 2-4 解答图 1 t /s x1(t) 0 1 -1
/rad 0 f/Hz 0入 f/z -2 题24解答图2符号函数的频谱图 b)求阶跃函数的频谱 w6ed 在跳变点1=0处函数值未定义，或规定0)=1/2。 阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，直接求其傅里叶变 换较困难，可采用如下方法求解。 解法1：利用符号函数的频谱。 因为 0=分0 所以 d0+0=5dD f=0 Un=uo小-r片oo- n*》 ∫40 fan r-o ( (2m7f*0 )=arctan Im 时o 0rad f=0 Rex(f) 0 结果表明，单位阶跃信号0)的频谱在∫=0处存在一个冲激分量，这是因为)含有直流分量(12)， 在预料之中。同时，由于)不是纯直流信号，在1=0处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。单 位阶跃信号0的频谱图如题24解答图3所示。 I001 /rad 2 (12) f/Hz -/2 f/z 题24解答图3单位阶跃信号的频谱
b）求阶跃函数的频谱 1 0 ( ) 0 0 t u t t > = < 在跳变点t = 0 处函数值未定义，或规定u(0) 1 / 2 = 。 阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，直接求其傅里叶变 换较困难，可采用如下方法求解。 解法 1：利用符号函数的频谱。 因为 1 1 ( ) sgn( ) 2 2 u t = + t 所以 [ ] [ ] 1 1 () 0 () 0 1 1 2 2 ( ) ( ) sgn( ) 2 2 1 11 1 () j j 0 2 2 π 2π ff f U f ut t f f f f δ δ δ + = = = =+ = + − =− ≠ FFF 1 () 0 2 ( ) 1 0 2π f f U f f f δ = = ≠ π rad 0 2 Im ( ) ( ) arctan 0 rad 0 Re ( ) π rad 0 2 f X f f f X f f ϕ + = = = − ＜ ＞ 结果表明，单位阶跃信号u t( ) 的频谱在 f = 0 处存在一个冲激分量，这是因为u t( ) 含有直流分量（1/2）， 在预料之中。同时，由于u t( ) 不是纯直流信号，在t = 0 处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。单 位阶跃信号u t( ) 的频谱图如题 2-4 解答图 3 所示。 题 2-4 解答图 2 符号函数的频谱图 f /Hz φ(f) /rad 0 π/2 0 f /Hz |X(f)| -π/2 题 2-4 解答图 3 单位阶跃信号的频谱 f /Hz |U(f)| 0 f /Hz φ(f) /rad 0 π/2 -π/2 （1/2）
解法2：利用冲激函数6)的频谱和傅里叶变换的积分特性。 因为 w-a0o:-6 所以根据傅里叶变换的积分特性得 U()=F[6()dr “2可A4n+400 - 540f=0 2可f0 8n1=0 lUf= 27f￥0 1 nd f<o Imx(f) 0rad f=0 rad 2-5求被截断的余弦函数c0s,/(见图2-26)的傅里叶变换。 x04 图2-26题2-5图 【解答】 解法1：利用傅里叶变换的频移特性和线性叠加特性求解。 函数x)可以看成是余弦函数与矩形窗函数（如题2-5解答图1所示）的乘积，即 x(t)=wt)Cos包.1) 式中，0=T为矩形窗函数。 0≥T
解法 2：利用冲激函数δ ( )t 的频谱和傅里叶变换的积分特性。 因为 1 0 ( ) ( )d 0 0 t t u t t δτ τ −∞ = = ∫ ＞ ＜ 所以根据傅里叶变换的积分特性得 ( ) ( )d 1 1 ( ) (0) ( ) j2π 2 1 1 () j 2 π 1 () 0 2 1 j 0 2π t Uf F f f f f f f f f f δτ τ δ δ δ −∞ = = ∆ +∆ = − = = − ≠ ∫ 1 () 0 2 ( ) 1 0 2π f f U f f f δ = = ≠ π rad 0 2 Im ( ) ( ) arctan 0 rad 0 Re ( ) π rad 0 2 f X f f f X f f ϕ + = = = − ＜ ＞ 2-5 求被截断的余弦函数 0 cosω t （见图 2-26）的傅里叶变换。 0 cos ( ) 0 ttT x t t T ω = ＜ ≥ 【解答】 解法 1：利用傅里叶变换的频移特性和线性叠加特性求解。 函数 x(t)可以看成是余弦函数与矩形窗函数（如题 2-5 解答图 1 所示）的乘积，即 0 xt wt t ( ) ( )cos( ) = ω 式中， ( ) 1 0 t w t T T t = ＜ ≥ 为矩形窗函数。 图 2-26 题 2-5 图 -T T t /s x(t) 0 1 -1
01 题2-5解答图1矩形窗函数 根据欧拉公式得 cos(aw）=(ew+ew） 所以 )r(e 矩形窗函数w)的傅里叶变换为 wao-0em=em=b[ae-） 2aon小名oan-n2.nso 根据傅里叶变换的频移特性和叠加性得： Xo)=号W(o-a)+W(@+a) =Tsine[T(o-,+Tsinc[T+a】 解法2：利用傅里叶变换的卷积特性 函数x)可以看成是余弦函数与矩形窗函数（如题25解答图1所示）的乘积，即 x0)=w)cos(o,w）) 矩形窗函数()的傅里叶变换为 W(@)=2Tsinc(To) 余弦函数的傅里叶变换为 F[cos(o,】=[6(o+)+o-o】 根据傅里叶变换的卷积特性和脉冲函数的卷积特性得 X(@)=F[w(t)cos(] =W(@)*F[cos()] =2元×2 Tsind(小{[do-a)+do+a -Tsinc(Ta))+Tsind(T) =Tsine[T(a-o%月+Tsine[T(a+a月 解法3：直接按傅里叶变换定义积分
根据欧拉公式得 ( ) 0 0 j j 0 1 cos( ) e e 2 t t t ω ω ω − = + 所以 0 0 1 1 j j ( ) ( )e ( )e 2 2 t t xt wt wt ω ω − = + 矩形窗函数 w(t)的傅里叶变换为 ( ) [ ] j j 1 j 1 j j ( ) ( )e d 1 e d e e e j j 1 2 sin( ) j2sin( ) sin( ) 2 2 sinc( ) j T T t t t T T T T W wt t t T T TT T T T ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ωω ω ∞ − − − − −∞ − − = =⋅ = = − − − =− = = = − ∫ ∫ 根据傅里叶变换的频移特性和叠加性得： 0 0 0 0 1 1 () ( ) ( ) 2 2 sinc[ ( )] sinc[ ( )] XW W TT TT ω ωω ωω ωω ωω = −+ + = −+ + 解法 2：利用傅里叶变换的卷积特性 函数 x(t)可以看成是余弦函数与矩形窗函数（如题 2-5 解答图 1 所示）的乘积，即 0 xt wt t ( ) ( )cos( ) = ω 矩形窗函数 w(t)的傅里叶变换为 W TT ( ) 2 sinc( ) ω ω = 余弦函数的傅里叶变换为 F t [cos( ) ω δω ω δω ω 0 00 ] = ++ − π[ ( )( )] 根据傅里叶变换的卷积特性和脉冲函数的卷积特性得 [ ] [ ] [ ] { [ ]} 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( )cos( ) 1 ( ) cos( ) 2π 1 2 sinc( ) π ( )( ) 2π sinc( ) ( ) sinc( ) ( ) sinc[ ( )] sinc[ ( )] X F wt t WF t T T TT TT TT TT ω ω ω ω ω δω ω δω ω ω δω ω ω δω ω ωω ωω = = ∗ =× ∗ − + + = ∗ −+ ∗ + = −+ + 解法 3：直接按傅里叶变换定义积分。 题 2-5 解答图 1 矩形窗函数 -T T t /s w(t) 1 0