费曼物理学讲义(篱三卷 §3-4全同粒子 下面我们要描述一个显示出量子力学的美妙结论的实验.这个实验也涉及这样的物理 过程,一件事能以两种不能区别的方式发生,因此有振幅的干涉—在这样的悄况下这总是 正确的.我们将要讨论的是在比较低的能量下,一个原子核在另一个原子核上的散射.我 们先考虑a粒子(即你们所知道的氦原子核)轰击,譬如说轰击氧原子,为使我们对这个反 应的分析较为容易起见,我们在质心坐标系中进行观察在这个坐标系中氧原子核和a粒子 的速度在碰撞以前具有相反方向,在碰撞以后也具有完全相反的方向,参看图3-7(a),(因 为质量不同,速度的大小当然是不同的,)我们还要假定能量是守恒的,并且碰撞的能量足够 低既不发生粒子碎裂,也不会使粒子跃迁到激发态,两个粒子之所以彼此发生偏转,其原因 当然是由于两者都带有正电荷,按照经典的说法,当它们互相经过时,存在静电斥力.散 射将以不同的几率在不同的角度发生,我们要讨论的是这种散射的角度依赖关系,(当然 可以按照经典物理学来计算这个关系,因为量子力学对这个问题的解答和经典的结果完全 样.这是量子力学中最意外的巧合之一,对于这一点很难理解,因为除了平方反比定律以 外对其他力的情况就不是这样—所以 D它确实是一种巧合 不 同方向的 散射几率 可 以用图3 位登2的计数器设计成只检测氧原子 核一这第二个探测器仅仅用来作为核 对.(在实验室系统中,探测器不会在框 图3-7在质心系中观察粒子在氧原子核上的散射 反的方向上,但在质心系中,它们在相反 的方向上)我们的实验包括测量在不同方向上的散射几率.令∫(6)为探测器放在6角度 上粒子散射到探测器中的振幅;那么,1∫()|就是我们由实验测待的几率 我们还可设计另一个实验,其中所用的探测器既能对a粒子作出反应,也能对氧原子核 作出反应.这样我们就可得到在我们不需要区别所计数的是哪一种粒子的情况下所发生的 过程.当然,假如我们在角的位置上接收到一个氧原子,在相反的位置角度为(-0)上必 然会换收到一个a粒子,如图37(b)所示.所以,如果∫()是a粒子散射到6角的振幅,则 ∫(m-6)是氧原子散射到θ角的振幅.于是,在位置1接收到基种粒子的几率是 在D1中接收到某种粒子的几率一f(6)}2+lfw-6)2 (3.14) 注意,这两个状态原则上是可以区别的、即使在这个实验中我们不去区别这两种状态,但我 们是能够区别它们的按照以前的讨论我们必须把几率相加而不是把振幅相加. 上述结果对于各种靶核都是正确的—a粒子在氧原子核上的散射,在碳、铍、氢等等 原子核上的散射.但是对于a粒子在a粒子上的散射,这个结果就不对了.对于两个粒子 完全相同的情况,实验得出的数据和式(3,14)所预言的不一致,例如在90°角的散射几率 1)一般地讲,散射方向当然应该用两个角度来描写极角卓以及方位角6那么我们说氧原子核在(,就是说a 粒子在(-8,φ丌)。然而,对于库仑散射(以及对于其他许多情况)散射振幅不依赖于∮于是在方向得到 一个氧原子核的振幅和在(x-)方向行到一个a粒子的振幅是相同的
第3章几率振幅 正好是上述理论所预言的两倍并且与这些粒子是“氦”原子核无关,如果靶是He,而入射 粒子是a粒子(He4),那么实验结果就和上述理论相符合了,只有当粑是He4—其原子核 和入射的∝粒子全冋时粒子的散射以其独特的方式随角度变化 或许你们已能看出对这个现象的解释,使a粒子进入计数器有两种方式:使轰击的 粒子以角散射,或者使它散射到(x-6)角度上.我们怎么能够辨别进入计数器的粒子是 施轰粒子还是靶粒子呢?回答是不能,在a粒子对c粒子的情况下,有两个无法区别的情 况,这里我们必须把几率振幅相加使之相干,在计数器中找到a粒子的几率是两个振幅和 的平方 a粒子进入D1的几率=|f(6)+f(-0)|3 (3.15) 这个结果和式(3.14)完全不同.我们可取角度w/2作为一个例子,因为这很容易计 算.对于6=m/2,显然f(6)=f(π一6),所以式(3,15)的几率变为(/2)+f(ax/2) 4f(w/2) 另一方面,如果它们不发生干涉,式(3,14)的结果只给出2f(m/2)|2.所以90°角的 散射是我们所预料的两倍.当然,在其他角度结果也是不同的,于是,你们得到了一个不寻 常的结论:在粒子是全同的情况下,发生了在粒子是可以区别的情况下未曾发生过的某种新 的情况.在数学描述中必须把可选择的各种过程的振幅相加,在这种过程中,粒子只是简 单地交换它们的位置,并且存在着干涉 当我们用电子对电子散射,或者质子对质子散射进行同样类型的实验时,甚至会出现更 为错综复杂的情况.此时以上两个结论都不正确!对于这些粒子,我们还必须引用一条新的 法则,一个最为独特的法则,这个法则是这梯的:当来到某一点的电子本身和另一个电子相 交换时,在这种情况中新的振幅以相反的位相与旧的振相干涉,这确确实实是干涉,只是 带有一个负号,就a粒子而言,当把a粒子交换进入计数器时,相千的振幅以正号相千涉 就电子而言,交换千涉的相干振幡以负号相干涉.除了下面将要谈到的另一细节外,在与图 3-8所示相类似的实验中,适合电子的方程为 电子到达D1的几率=|f(6)-f(-6)2 (3.16 对上面的陈述还必须加以跟制,因为 我们还没有考虑到电子的自旋(a粒子没有 自旋向 自旋向上 自旋).可以认为,电子的自旋相对于散射电子 平面来说,不是“向上”就是“向下”,如果自旋向上 餐之分趣 实验的能量足够低,由于电荷运动所产生 的磁力很小因而自旋不受到影响我们假∞自龄向上 自旋向上 定现在分析的就是这种情况,所以在碰撞图38电子对电子的散射。如果来到的这两个肉予 的时候,自旋方向不会改变.不管电子具有具有互相行的自皰,过程(a)和(b)是不能区别的 什么方向的自旋,它总是不变的.你们可以看到,这里有几种可能性.施袭粒子和靶粒子的 旋都向上,或者都向下,或者它们的自旋方向祁反.假定两者的自旋都向上,如图38所 不(或者假定它们的自旋都向下).反冲粒子的自旋情况也将这样,而且这个过程的振幅等 于图8-8(a)和(b)所表示的两种可能过程的振幅之差.于是在D2中探测到电子的几率由 式(3.16)给出 假如施轰”敉子的自旋向上而“靶”粒子的自旋向下,进入计数器1的电子自旋可以向
32 费曼物理学讲义(第三卷 上也可以向下,通过对电子自旋的测量,我们就能够说出这个电子是来自施轰粒子束还是 来自靶粒子東了.这两种可能性表示在图39的(a)和(b)中,原则上它们是可以区别的,因 而互不于涉—只不过是两者的几率相加.如果原来的自旋方向都反了过来—就是说, 左边的自旋向下而右边的自旋向上—同 自旋向.上 自向>样的论证仍然成立 电子 现在如果我们随意选取电子—例如 电子。电 子 e电子 自旋向上 自旋向下自旋问上 >拉同下钨丝发射的电子是完全非极化的一那 么发射的任一特定电子其自旋向上还是向 日旋奇下 自旋向上 下的机会是五十对五十.如果我们在实验 中不去测量电子在任何地点的自旋,这就 图39自旋反平行的两个电子的散射 是所谓的非极化的实验.这个实验的结果 最好用这样的方法来计算:把所有的各种可能性都排列成表就像我们在表3-1中所做的那 样,对各个可以区别的不同情况分别求出它们的几率,总的几率就等于所有各个几率的和 注意,对于非极化粒子東,6=z/2的结果是对互不依赖的粒子按经典理论求出的结果的 半.全同粒于的行为具有许多有趣的结论,我们将在下一章更为详细地讨论它们 表3非化自旋为二分之一的发子的散射 各种惰况}粒子1的|粒子2的到达D2中 到达D2中 的比率 自旋 自旋 粒子的自璇 粒子的自旋 向上 向上 向上 向上 f(6)-f(-9) 向下 向下 向下 f()-f(m-6)13 向下 向下 f()2 向上 向下 向 向上 f(m-6)2 向上 向下 f(-6)3 向下 向上 下 向上 ∫()|2 率-(()-f(x-2f(),2+zf(如x-6)12
4 全同粒子 §4-1玻色子和费密子 在上一章里,我们开始考虑了发生在两个全同粒子相互作用的过程中振幅干涉的特殊 法则.所谓全同粒子是指像电子那样的无法将它们彼此区别开来的粒子.如果在某一个过 程中包含两个全同的粒子,将原来到达计数器的粒子与另一粒子互相调换一下,这样调换后 的状态与原来的状态是不能区别的,而且—像所有其他不能区别的情况一样—调换后 的状态与原来的状态相干涉.于是事件的振幅就是两个相干振幅之和,但是,令人感到有趣 的是,在某些情况下两个振幅以相同的位相相干涉,而在另一些情况下,振幅以相反的位相 相千涉 假设如两个粒子邸和b相互碰撞,其 中a散射到方向1而b散射到方向2,如 图4-1(a)所示.令f(6)为这一过程的振 幅,于是,观察到这个事件的几率P正比 于|(6)|2.当然也可能发生另一种过程 即粒子b散射到计数器1中而粒子a进入 41在两个全同粒予的散射过程中, 计数器2中,如图4-1(b)沂示.假设不存 (a)和(b)两个过程不能区粤 在由自旋之类所定义的特殊方向,这一过程的几率就是(-8),因为这正好等于在第 过程中把计数器1移到π-θ角处、你们也许会想到,第二个过程的振幅正巧等于∫(τ一 0).但它并不一定是这样,因为还可以有一个任意的位相因子.这就是说振幅可以是 这个振幅同样绘出几率P2等于(-6)| 现在让我们来一看,如果a和b是全同粒子的话,将会出现些什么情泥.这时我们就 不能区别图4-1中的两个图所表示的不同过程.对于无论a还是b进入计数器1而同时另 个进入计数器2的情形,我们有一个派幅.这个过程的振是图41所示的两个过程的 振軀之和.假使我们把第一个过程的振幅叫倣∫(6),那么第二个就是ef(-6).现在,位 相因子就很重要了,因为我们要把两个振幅相加,假没当我们把这两个粒子交换时,我们必 须在振幅上乘以某个位相因子,如果我们把这两个粒子再交换一次,我们应该再次乘以同样 的因子,可是这样一来,我们又回到了第一过程.位相因子应用两次必袋回到原来的状态 位相因子的平方必定等于1.这只存在着两种可性:等于+1或者等于-1.两 个粒子交换前后的振幅要么是有相同的符号,要么具有相反的符号.这两种情况在自然界 中都存在,它们分别对应于不同种类的粒子.以正号相干的粒子称为玻色子,以负号相干的 粒子称为费密子,光子介子和引力子都悬玻色子,电子、介子、中微子、核子和重子都是 费密子.于是,我们得到全同粒子的散射振幅是 玻色子
84 费受物碧学讲义(第三卷 (道接的振幅)+(变换后的振幅) 费密粒子 (直接的振幅)一(交换后的振幅) 对于具有自旋的粒子一如电子一还有一个另外的复杂情况.我们不仅要详细说明 粒子的位置,还要说明它们自旋的方向.只对于具有相同自旋状态的全问粒子相互交换,振 幅才相互于涉.如果考虑非极化射束—这是不同自旋状态的混合物——的散射,还有某 些特别的汁算, 当两个或更多的粒子紧紧地束缚在一起的时候,将引起一个有趣的问题.例如,一个a 粒子里面有四个粒子一一两个中子和两个质子,当两个a粒子相互散射时,有几种可能性 在散射过程中,可能有一定的振幅使一个中子从一个a粒子跳到另一个a粒子中,同时在另 个a粒子中有一个中子跳过来和它交换位置,于是散射以后的&粒于已经不是原来的粒 孑了—已经交换了一对中子.见图42.交换一对中子的散射振幅和没有这种交换的散 射振幅相于涉,由于这里有一对费密子相互交换,干涉必定具有负号,另一方面,如果两个 a粒子的相对能量是如此之低,使得它们保持相当的距离——譬如说由于库仑斥力—那 么就不可能有交换任何内部粒子的几率,于是我们可以把a粒子当作结构单一的客体而不 必去考虑它的内部细节.在这种情形下,只有两种情况对散射振輻有所贡献,在散射过程中 要么没有粒子交换,要么四个粒子都交换.因为a粒子中的质子和中子都是费密粒子,任意 对粒子的交换都要改变散射振幅的符号.只要在a粒子之间没有内部粒子的交换,交换 两个α粒于和交换四对费密子是同样的,对于每一对费密粒子的交换都要改变符号,其结 果是振幅以正号相组合.a粒子的行为像玻色予 质子 数子 中子 图42两个a粒子的散射.在(a)中两个a粒子保持原来的样子不变;在(b)中,碰撞时豆相交换一个中子 因此,关于复合粒子的法则是这样的,在复合粒子可以看成单个粒子的情况下,复合粒 子的行为像费密子还是像玻色子取决子它们包含的是奇数个费密子还是偶数个费密子 所有我们提到过的基本费密子一例如电子质子以及中子等等—具有自旋1/2 如果将几个这样的费密子放在一起组成一个复合粒子,总的自旋不是整数就是半整数.例 如,氦的普通同位素He它的原子核包含两个中子和两个质子,其自旋为零.而x正的原 子核有三个质子和四个中子,具有8/2的自旋.我们以后要学习角动量的合成规则,面现在 只提一下每一个具有半整数自旋的复合粒子就象一个费蜜子,而每一个具有整数自旋的复 合粒子就像一个玻色子