2.1线性系统的时城模型 EG2图2表示一个含有弹簧、运动部件、阻尼器的机械位移装置。 其中k是弹簧系数,m是运动部件质量,u是阻尼器的阻尼系数;外 力f(t)是系统的输入量,位移y(t)是系统的输出量。试确定系统的 微分方程。 解根据牛顿运动定律,运动部件在外力作用下克服弹黉拉力 dy(t) ky(、阻尼器的阻力W将产生加速度力 dt 1(0所以系统的运动方程为 d-y dy(t) + +ky(t)=f(t) 图2机械阻尼器 比较表达式EG1和EG2可以发现,两个不同的物理系统 具有相同形式的运动方程,即具有相同的数学模型 xtwang@mailxidian.edu.cn XIDIAN UNIVERSITY
2.1 线性系统的时域模型 xtwang@mail.xidian.edu.cn • EG2.图2表示一个含有弹簧、运动部件、阻尼器的机械位移装置。 其中k是弹簧系数, m是运动部件质量,μ是阻尼器的阻尼系数;外 力f(t)是系统的输入量,位移y(t)是系统的输出量。试确定系统的 微分方程。 m f(t) k y(t) 图2 机械阻尼器 解 根据牛顿运动定律, 运动部件在外力作用下克服弹簧拉力 ky(t)、阻尼器的阻力 , 将产生加速度力 dt dy(t) 2 2 ( ) dt d y t m 所以系统的运动方程为 ( ) ( ) ( ) 2 2 k y t f t dt dy t dt d y m + + = 比较表达式EG1和EG2可以发现, 两个不同的物理系统 具有相同形式的运动方程, 即具有相同的数学模型
2.1线性系统的时城模型 EG3电气系统:图2-4是一个由理想运算放大器组成的电容负反馈 电路电压和(分别表示输入量和输出量试确定这个电路 的微分方程式。 理想运算放大器 (t) R 正反相输入端电位相同 输入端电流为零i=0 R 图2-4电容负反馈电路 根据基尔霍夫电流定律有2+l3=0 (1),dun( +C 0 R 整理后得RCa( l() 阶系统 xtwang@mailxidian.edu.cn 历毛技大 XIDIAN UNIVERSITY
△ ∞ ＋ － ui (t) C uo (t) R R 2.1 线性系统的时域模型 • EG3 电气系统：图2-4是一个由理想运算放大器组成的电容负反馈 电路,电压ui (t)和uo (t)分别表示输入量和输出量, 试确定这个电路 的微分方程式。 xtwang@mail.xidian.edu.cn 图 2-4 电容负反馈电路 理想运算放大器 • 正反相输入端电位相同 • 输入端电流为零 根据基尔霍夫电流定律有 0 ( ) ( ) + = dt du t C R u t i o 整理后得 ( ) ( ) u t dt du t RC i o = − 一阶系统 1 i 2 i3 i 1 i = 0 2 3 i i + = 0
2.1线性系统的时城模型 ·在工程实际中大多数系统是非线性的。 比如,弹簧的刚度与其形变有关系,因此弹簧系数k实际上是其位移 的函数,而并非常数;电阻、电容和电感等参数值与周围的环境(温度 湿度、压力等及流经它们的电流有关,也并非常值;电动机本身的摩擦、 死区等非线性因素会使其运动方程复杂化而成为非线性方程。 非线性系统的分析一般比线性系统复杂。 但是当控制系统在围绕平衡点附近的小范围内动作时通常采用泰勒 级数展开的方法可将非线性系统线性化为平衡点附近的线性系统 从而使问题简化 xtwang@mailxidian.edu.cn XIDIAN UNIVERSITY
2.1 线性系统的时域模型 xtwang@mail.xidian.edu.cn •在工程实际中,大多数系统是非线性的。 • 比如, 弹簧的刚度与其形变有关系, 因此弹簧系数k实际上是其位移 的函数, 而并非常数; 电阻、电容和电感等参数值与周围的环境(温度、 湿度、压力等)及流经它们的电流有关, 也并非常值;电动机本身的摩擦、 死区等非线性因素会使其运动方程复杂化而成为非线性方程。 • 非线性系统的分析一般比线性系统复杂。 但是当控制系统在围绕平衡点附近的小范围内动作时,通常采用泰勒 级数展开的方法,可将非线性系统线性化为平衡点附近的线性系统, 从而使问题简化
2.1线性系统的时城模型 线性常系数微分方程的求解 °用微分方程求解,需确定积分常数,阶次高时 麻烦;当参数或结构变化时,需重新列方程求 解,不利于分析系统参数变化对性能的影响。 微分方程式F(Q求解微分方程式 时域解C( L R(S) ((s)求解代数方程 s的代数方程 s域解C(s) xtwang@mailxidian.edu.cn XIDIAN UNIVERSITY
2.1 线性系统的时域模型 xtwang@mail.xidian.edu.cn • 线性常系数微分方程的求解 • 用微分方程求解，需确定积分常数，阶次高时 麻烦；当参数或结构变化时，需重新列方程求 解，不利于分析系统参数变化对性能的影响。 微分方程式 r(t) c(t) 求解代数方程 时域解c(t) L s的代数方程 R(s) C(s) 求解微分方程式 s域解C(s) L -1
22传递函数 线性常系数微分方程的求解 用微分方程求解,需确定积分常数,阶次高时麻烦;当参数 或结构变化时,需重新列方程求解,不利于分析系统参数变 化对性能的影响。 用拉氏变换求解微分方程的一般步骤: 1)对微分方程两边进行拉氏变换。 )求解代数方程,得到微分方程在域的解。 3)求s域解的拉氏反变换,即得微分方程的解。 xtwang@mailxidian.edu.cn XIDIAN UNIVERSITY
2.2 传递函数 • 线性常系数微分方程的求解 xtwang@mail.xidian.edu.cn 用微分方程求解，需确定积分常数，阶次高时麻烦；当参数 或结构变化时，需重新列方程求解，不利于分析系统参数变 化对性能的影响。 用拉氏变换求解微分方程的一般步骤： 1)对微分方程两边进行拉氏变换。 2)求解代数方程，得到微分方程在s 域的解。 3)求s 域解的拉氏反变换，即得微分方程的解