《高等数学》课程教学资源：第十章 曲线积分（10.4）Stokes 公式

根椐格林公式 PIx,y,f(x, y)ldxdy=PIx, y,f(x, y)ldx 即∫hk aP dxdy=k Plx, y, f(x, y)kx42i ∑Cx 平面有向曲线 aP aP 2a吃h dxdy=AP(x, 3, z a 空间有向曲线

根椐格林公式   =   − c D P x y f x y dxdy P x y f x y dx y x y [ , , ( , )] [ , , ( , )] dxdy P x y f x y dx y P dzdx z P  c =   −    即 [ , , ( , )] 平面有向曲线 2 dxdy P(x, y,z)dx, y P dzdx z P    =   −   空间有向曲线

同理可证 00 -2小h=x,,3的, ∫的h-d=上R(x,y, aR 80 OP OR x O1 )dzdx + ae_)dx xdy ay az ax ax a ∫Pa+gd+R故有结论成立

同理可证 dydz Q(x, y,z)dy, z Q dxdy x Q    =   −   dzdx R(x, y,z)dz, x R dydz y R    =   −   dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ( ) ( ) ( )   −   +   −   +   −       = Pdx + Qdy + Rdz.. 故有结论成立

便于记忆形式 dydz dzdx dxa小 600 Ox ay az Ptx+Q小y+Rtz P R 另一种形式 cosa cosB cos r 00 d=Px+Q小y+Rz ax y az P 2 R 其中n={cosa,c0sB,c0sy}

便于记忆形式    = + +       Pdx Qdy Rdz P Q R x y z dydz dzdx dxdy 另一种形式    = + +       ds Pdx Qdy Rdz P Q R x y z cos cos  cos n = {cos,cos  ,cos }  其中

Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系 (当Σ是xoy面的平面闭区域时) 斯托克斯公式特殊情形「格林公式

Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系. (当Σ是xoy面的平面闭区域时) 斯托克斯公式 特殊情形 格林公式

二、简单的应用 例1计算曲线积分zc+xdy+yh, 其中r是平面x+y+z=1被三坐标面所截成的 三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧 的法向量之间符合右手规则. 解按斯托克斯公式,有 「zdc+xzd+yhk dydz + dzdx dxdy

二、简单的应用 例 1 计算曲线积分 zdx + xdy + ydz  , 其 中是平面 x + y + z = 1被三坐标面所截成的 三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧 的法向量之间符合右手规则. 解 0 Dxy x y z n 1 1 1 按斯托克斯公式, 有 zdx xdy ydz  + +   = dydz + dzdx + dxdy