令 品n-管-m-0 6ah1=-20+202-w=0 解得 ,于是4，σ2的最大似然估计量为 6=2x- n台 A=X 2=2x-对 §7.2基于截尾样本的最大似然估计 在研究产品的可靠性时，需要研究产品寿命T的各种特征.产品寿命T是一个随 机变量，它的分 布称为寿命分布.为了对寿命分布进行统计推断，就需要通过产品的寿 命试验，以取得寿命数据. 一种典型的寿命试验是，将随机抽取的n个产品在时间t=0时，同时投入试验， 直到每个产品都失效.记录每一个产品的失效时间，这样得到的样本（即由所有产品 的失效时间0≤1，≤12≤.≤1，所组成的样本)叫完全样本.然而产品的寿命往往较 长，由于时间和财力的限制，我们不可能得到完全样本，于是就考虑截尾寿命试验 常用的两种截尾寿命试验： 一种是定时截尾寿命试验。假设将随机抽取的n个产品在时间t=O时同时投入试 验，试验进行到事先规定的截尾时间1。停止.如试验截止时共有m个产品失效，它们 的失效时间分别为 0≤1≤12≤.≤1m≤l0, 此时m是一个随机变量，所得的样本1,12，.，1称为定时截尾样本 另一种是定数截尾寿命试验.假设将随机抽取的n个产品在时间t=0时同时投 试验，试验进行到有m个(m是事先规定的，m<n)产品失效时停止.m个失效产 品的失效时间分别为0≤1≤12≤.≤1m,这里1m是第m个产品的失效时间.所得的 样本1,42，.，1m称为定数截尾样本. 用截尾样本来进行统计推断是可靠性研究中常见的问题。 设产品的寿命分布是指数分布，其概率密度为 e1,1>0 f)={1 ,0>0未知 10 t≤0 设有个产品投入试验，分两种截尾寿命试验讨论易得： (1)对于定数截尾样本0≤1，≤12≤.≤1m,日的最大似然估计为
令 = − + − = = − = = = n i i n i i x n L L x n 1 2 2 2 2 2 1 2 ( ) 0 2( ) 1 2 ln [ ] 0 1 ln 解得 = − = = = = n i i n i i x x n x x n 1 2 2 1 ( ) 1 ˆ 1 ˆ ,于是 , 2 的最大似然估计量为 = − = = n i Xi X n X 1 2 2 ( ) 1 ˆ ˆ §7.2 基于截尾样本的最大似然估计 在研究产品的可靠性时,需要研究产品寿命 T 的各种特征.产品寿命 T 是一个随 机变量,它的分布称为寿命分布.为了对寿命分布进行统计推断,就需要通过产品的寿 命试验,以取得寿命数据. 一种典型的寿命试验是,将随机抽取的 n 个产品在时间 t=0 时，同时投入试验， 直到每个产品都失效.记录每一个产品的失效时间，这样得到的样本（即由所有产品 的失效时间 n t t t 0 1 2 所组成的样本）叫完全样本.然而产品的寿命往往较 长，由于时间和财力的限制，我们不可能得到完全样本，于是就考虑截尾寿命试验. 常用的两种截尾寿命试验： 一种是定时截尾寿命试验。假设将随机抽取的 n 个产品在时间 t=0 时同时投入试 验，试验进行到事先规定的截尾时间 0 t 停止.如试验截止时共有 m 个产品失效，它们 的失效时间分别为 0 1 2 0 t t t t m , 此时 m 是一个随机变量，所得的样本 m t ,t , ,t 1 2 称为定时截尾样本. 另一种是定数截尾寿命试验.假设将随机抽取的 n 个产品在时间 t=0 时同时投入 试验，试验进行到有 m 个（ m 是事先规定的， m n ）产品失效时停止.m 个失效产 品的失效时间分别为 m t t t 0 1 2 ,这里 m t 是第 m 个产品的失效时间.所得的 样本 m t ,t , ,t 1 2 称为定数截尾样本. 用截尾样本来进行统计推断是可靠性研究中常见的问题. 设产品的寿命分布是指数分布,其概率密度为 = − 0, 0 , 0 1 ( ) / t e t f t t , 0 未知. 设有 n 个产品投入试验,分两种截尾寿命试验讨论易得: (1)对于定数截尾样本 m t t t 0 1 2 , 的最大似然估计为
6=s%) m 其中sm)=4+2+.+Hm+(n-m)1n称为总试验时间，它表示直至时刻1n为止n个 产品的试验时间的总和， (2)对于定时截尾样本0≤1，≤12≤.≤tm≤，0的最大似然估计为 0=5) m 其中so)=11+12+.+hm+(n-m。称为总试验时间，它表示直至时刻1，为止n个 产品的试验时间的总和。 §7.3估计量的评选标准 引例：样本X,X来自总体Na),“有四个告计量A=背X+号x, 应=X+行x房=名x+名：应=写X+写X试间哪个估计量 好？ 、无偏性 设X,X2,.,X,是总体X的一个样本，O∈⊙是包含在总体X的分布中的待 估参数，这里日是日的取值范围. 无偏性若估计量0=X1,X2,.,Xn)的数学期望E(存在，且对于任意0∈⊙ 有E()=0,则称0是0的无偏估计量. 由引例BC)=.西)=4.E0)=,a,)=号.则应，4A为 的无偏估计量 例1.设总体X的k阶矩4：=E(X(k21)存在，又设X,X2,.,Xn是总体X 的一个样本试证明不论总体服从什么分布，k阶样本矩4=】∑X是k阶的总体 n台 矩4：无偏估计量。 证X,X2,Xn与X同分布，故有 E(X5)=E(X*)=4k,i=1,2,.,n. 即有 E4)=1E(X5)=4 n台 例2样本X,名，X来自总体N以o),且Y-写+后：+Y,为u的无
m s tm ( ) ˆ = 其中 m m m s(t ) t t t (n m)t = 1 + 2 ++ + − 称为总试验时间,它表示直至时刻 m t 为止 n 个 产品的试验时间的总和. (2)对于定时截尾样本 0 1 2 0 t t t t m , 的最大似然估计为 m s(t ) ˆ 0 = 其中 0 1 2 0 s(t ) t t t (n m)t = + ++ m+ − 称为总试验时间,它表示直至时刻 0 t 为止 n 个 产品的试验时间的总和. §7.3 估计量的评选标准 引例: 样本 X1 , X2 来自总体 ( , ) 2 N , 有四个估计量 1 1 2 3 2 3 1 ˆ = X + X , 2 1 2 2 1 2 1 ˆ = X + X , 3 1 2 6 5 6 1 ˆ = X + X , 4 1 2 3 1 3 1 ˆ = X + X .试问哪个估计量 好? 一、无偏性 设 X1 , X Xn , , 2 是总体 X 的一个样本, 是包含在总体 X 的分布中的待 估参数，这里 是 的取值范围. 无偏性 若估计量 = ˆ ( , , , ) ˆ X1 X2 Xn 的数学期望 ) ˆ E( 存在,且对于任意 有 ) ˆ E( = ,则称 ˆ 是 的无偏估计量. 由引例, E( ˆ 1 ) = , E( ˆ 2 ) = ,E( ˆ 3 ) = , 3 2 ( ˆ ) E 4 = ,则 1 2 3 ˆ , ˆ , ˆ 为 的无偏估计量. 例 1．设总体 X 的 k 阶矩 = E(X )(k 1) k k 存在，又设 X1 , X Xn , , 2 是总体 X 的一个样本. 试证明不论总体服从什么分布， k 阶样本矩 Ak = n 1 = n i k X i 1 是 k 阶的总体 矩 k 无偏估计量。 证 X1 , X Xn , , 2 与 X 同分布，故有 E( X k i )=E( X k )= k , i = 1,2, , n . 即有 n E Ak 1 ( ) = ( ) 1 = n i k E Xi = k 例 2. 样本 X1 , X2 , X 3 来自总体 ( , ) 2 N ,且 Y 1 2 3 6 1 3 1 = X + X + aX 为 的无