定义7.2邻域：上述定义的拓扑空间(X,9)，0,是一个开集。对0,中的任何一个元素，0,都是其邻域。定义7.3闭集：上述定义的拓扑空间(X,9)，取A为X的一个子集。如果X与A的差集是开集，则A是闭集。对上面的讲到的分立拓扑空间(X,93)，其中的任何一个开集都是其闭集。除了这些例子，欧氏空间以及欧氏空间中的曲面也可以构成拓扑空间。它们相对于一般的拓扑空间，还一些特殊的结构，比如连通、紧致等，后面会马上讲到。基于拓扑空间，可引入拓扑子空间、拓扑空间的直积两个定义。定义7.4相对拓扑：设(X,9)是一个拓扑空间，A是X上的一个子集，令：9A=[OnA/OE9)这时，(A,9A)也满足拓扑空间的定义，称为(X,9)的拓扑子空间或者相对拓扑空间。9A称为9在A上的相对拓扑。定义7.5直积拓扑空间：设(X,9(X))与(Y,9(Y))都是拓扑空间，Z=XY是X与Y的直积集合，令：9(Z) =30 =01 @ 0201 E 9(X)、02 E 9(Y)01E01、02E02则9(Z)是Z上的一个拓扑，(Z,9(Z))是个拓扑空间，称为(X,9(X))与(Y,9(Y))的直积拓扑空间。这里的直积，就像第一章我们提到的有序对。很多文献中，也叫卡氏积。关于拓扑空间，有连通性这样一个性质。定义7.6拓扑空间的连通性：设(X,9)是拓扑空间，若不存在两个不空的开集01、02使：01U 02 = X010 02 = 0
定义 7.2 邻域：上述定义的拓扑空间(𝐗𝐗, 𝛝𝛝)，𝐎𝐎𝒊𝒊是一个开集。对𝐎𝐎𝒊𝒊中的任何一个 元素，𝐎𝐎𝒊𝒊都是其邻域。 定义 7.3 闭集：上述定义的拓扑空间(𝐗𝐗, 𝛝𝛝)，取𝐀𝐀为𝐗𝐗的一个子集。如果𝐗𝐗与𝐀𝐀的差 集是开集，则𝐀𝐀是闭集。 对上面的讲到的分立拓扑空间(𝐗𝐗, 𝛝𝛝𝟑𝟑)，其中的任何一个开集都是其闭集。除 了这些例子，欧氏空间以及欧氏空间中的曲面也可以构成拓扑空间。它们相对于 一般的拓扑空间，还一些特殊的结构，比如连通、紧致等，后面会马上讲到。 基于拓扑空间，可引入拓扑子空间、拓扑空间的直积两个定义。 定义 7.4 相对拓扑：设(𝐗𝐗,𝛝𝛝)是一个拓扑空间，𝐀𝐀是𝐗𝐗上的一个子集，令： 𝛝𝛝𝐀𝐀 = {𝐎𝐎 ∩ 𝐀𝐀|𝐎𝐎 ∈ 𝛝𝛝} 这时，(𝐀𝐀, 𝛝𝛝𝐀𝐀)也满足拓扑空间的定义，称为(𝐗𝐗, 𝛝𝛝)的拓扑子空间或者相对拓扑空 间。𝛝𝛝𝐀𝐀称为 𝛝𝛝在𝐀𝐀上的相对拓扑。 定义 7.5 直积拓扑空间：设�𝐗𝐗, 𝛝𝛝(𝐗𝐗)�与�𝐘𝐘, 𝛝𝛝(𝐘𝐘)�都是拓扑空间，𝐙𝐙 = 𝐗𝐗 ⊗ 𝐘𝐘是𝐗𝐗与 𝐘𝐘的直积集合，令： 𝛝𝛝(𝐙𝐙) = �𝐎𝐎 = ∪⏟ 𝐎𝐎𝟏𝟏∈𝐎𝐎�𝟏𝟏、𝐎𝐎𝟐𝟐∈𝐎𝐎�𝟐𝟐 𝐎𝐎𝟏𝟏 ⊗ 𝐎𝐎𝟐𝟐�𝐎𝐎�𝟏𝟏 ∈ 𝛝𝛝(𝐗𝐗)、𝐎𝐎�𝟐𝟐 ∈ 𝛝𝛝(𝐘𝐘)� 则𝛝𝛝(𝐙𝐙)是𝐙𝐙上的一个拓扑，�𝐙𝐙, 𝛝𝛝(𝐙𝐙)�是个拓扑空间，称为�𝐗𝐗, 𝛝𝛝(𝐗𝐗)�与�𝐘𝐘, 𝛝𝛝(𝐘𝐘)�的 直积拓扑空间。 这里的直积，就像第一章我们提到的有序对。很多文献中，也叫卡氏积。关 于拓扑空间，有连通性这样一个性质。 定义 7.6 拓扑空间的连通性：设(𝐗𝐗, 𝛝𝛝)是拓扑空间，若不存在两个不空的开集𝐎𝐎𝟏𝟏、 𝐎𝐎𝟐𝟐使： 𝐎𝐎𝟏𝟏 ∪ 𝐎𝐎𝟐𝟐 = 𝐗𝐗 𝐎𝐎𝟏𝟏 ∩ 𝐎𝐎𝟐𝟐 = ∅
则称(X,9)是连通的拓扑空间。反之，如果存在01、02满足上述性质，则称这个拓扑空间是不连通的。比如，一个球的球面上所有的点形成的拓扑空间就是连通的，因为我们无法在其中找到两个开集（这里对应一个不带边界的区域），使其并集为整个球面而交集是空集。但是两个不接触的球，按上面的描述形成的拓扑空间，就是不连通的。因为可以取01为一个球面上点的集合形成的开集，02为另一个球面上点的集合形成的开集。它们显然具备并集等于整个拓扑空间但交集为空集的性质。另一个例子可以取：X = (a,b,c)9 = [o,(a),(a,b),(a,c,(a,b,c))取X的子集A={b,c)，以及9在A上的相对拓扑：9A = [0, (b),(c),(b, c))(A,9A)是(X,9)的拓扑子空间。这时，(X,9)是连通的，(A,9A)是不连通的。因此，连通的拓扑空间的子空间不一定是连通的。我们经常接触的欧氏空间及其直积拓扑空间，都是连通的。讨论完连通之后我们讨论紧致。它是基于极限、覆盖（开覆盖）、有限子覆盖进行定义的，首先我们说极限。定义7.7极限点：设A是拓扑空间X的一个子集，x是X中的一个点。若对x点的任何一个邻域U，都有：(U-x)nA0则称x是A的极限点或聚点。根据这个定义，我们知道极限点是可以被一个集合中的点任意逼近的点。其中，x不一定属于A。当x不属于时A，A、U、x的相互关系如图7.2所示。x处在
则称(𝐗𝐗, 𝛝𝛝)是连通的拓扑空间。反之，如果存在𝐎𝐎𝟏𝟏、𝐎𝐎𝟐𝟐满足上述性质，则称这个 拓扑空间是不连通的。 比如，一个球的球面上所有的点形成的拓扑空间就是连通的，因为我们无法 在其中找到两个开集（这里对应一个不带边界的区域），使其并集为整个球面而 交集是空集。但是两个不接触的球，按上面的描述形成的拓扑空间，就是不连通 的。因为可以取𝐎𝐎𝟏𝟏为一个球面上点的集合形成的开集，𝐎𝐎𝟐𝟐为另一个球面上点的 集合形成的开集。它们显然具备并集等于整个拓扑空间但交集为空集的性质。 另一个例子可以取： 𝐗𝐗 = {𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐} 𝛝𝛝 = �∅,{𝑎𝑎},{𝑎𝑎, 𝑏𝑏},{𝑎𝑎, 𝑐𝑐},{𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐}� 取𝐗𝐗的子集𝐀𝐀 = {𝑏𝑏, 𝑐𝑐}，以及𝛝𝛝在𝐀𝐀上的相对拓扑： 𝛝𝛝𝐀𝐀 = �∅,{𝑏𝑏},{𝑐𝑐},{𝑏𝑏, 𝑐𝑐}� (𝐀𝐀, 𝛝𝛝𝐀𝐀)是(𝐗𝐗, 𝛝𝛝)的拓扑子空间。这时，(𝐗𝐗, 𝛝𝛝)是连通的，(𝐀𝐀,𝛝𝛝𝐀𝐀)是不连通的。因此， 连通的拓扑空间的子空间不一定是连通的。 我们经常接触的欧氏空间及其直积拓扑空间，都是连通的。 讨论完连通之后我们讨论紧致。它是基于极限、覆盖（开覆盖）、有限子覆 盖进行定义的，首先我们说极限。 定义 7.7 极限点：设𝐀𝐀是拓扑空间𝐗𝐗的一个子集，𝒙𝒙是𝐗𝐗中的一个点。若对𝒙𝒙点的任 何一个邻域𝐔𝐔，都有： (𝐔𝐔 − 𝒙𝒙) ∩ 𝐀𝐀 ≠ ∅ 则称𝒙𝒙是𝐀𝐀的极限点或聚点。 根据这个定义，我们知道极限点是可以被一个集合中的点任意逼近的点。其 中，𝒙𝒙不一定属于𝐀𝐀。当𝒙𝒙不属于时𝐀𝐀，𝐀𝐀、𝐔𝐔、𝒙𝒙的相互关系如图 7.2 所示。𝒙𝒙处在
这个A开集的边界上。A和它所有的极限点形成的和集，称为A的闭包，记为A。UXA图7.2A的极限点。对x点的任何一个邻域U，都有(U一x)nAの。根据定义，极限点既包含边界内部的点，也包含边界上的点。只要能被这个集合中的点任意逼近，都可以。定义7.8开覆盖：拓扑空间X有一个开集的集合[Oa}。若对ACX,有ACUα0α,则称[0α]覆盖了A，或称[0α}是A的一个开覆盖15。定义7.9设[0α)是A的一个开覆盖。若[0α}中的有限个元素(这里的元素是集合)构成的子集{01,02,…0m}也覆盖A，则称[0a]对A具有有限子覆盖。基于开覆盖与有限子覆盖，可以定义紧致。定义7.10 紧致：如果对于拓扑空间中的某子集A的任意开覆盖，都有有限的子覆盖，则称A是紧致的。举个例子，一维欧氏空间中的任何一个开区间或者半开区间，都不是紧致的，但闭区间是紧致的。其原因，就是对(a,b)，只要找到它的一个开覆盖，不具备有限子覆盖，就可以证明它不是紧致的。而这个开覆盖是存在的，比如：(α+,b+2),(aα+元,b+)，…,(a+元,b+元)，…。这是一个开集的集合。这个开集的集合覆盖了(a,b)，因此是开覆盖。但是它没有一个有限的开集元素的集合，来覆盖(a,b)。因此，这个半开区间不是紧致的。一维欧氏空间的全开区间（或者高维欧氏空间中的开区域或半开区域）也不具备紧致的特性。但是当此区域变成闭区15字面意思，开集的集合形成的覆盖
这个𝐀𝐀开集的边界上。𝐀𝐀和它所有的极限点形成的和集，称为𝐀𝐀的闭包，记为𝐀𝐀�。 图 7.2 𝐀𝐀的极限点。对𝒙𝒙点的任何一个邻域𝐔𝐔，都有(𝐔𝐔 − 𝒙𝒙) ∩ 𝐀𝐀 ≠ ∅。根据定义，极限点既 包含边界内部的点，也包含边界上的点。只要能被这个集合中的点任意逼近，都可以。 定义 7.8 开覆盖：拓扑空间𝐗𝐗有一个开集的集合{𝑶𝑶𝜶𝜶}。若对𝐀𝐀 ⊂ 𝐗𝐗，有𝐀𝐀 ⊂ ⋃ 𝑶𝑶𝜶𝜶𝜶𝜶 ， 则称{𝑶𝑶𝜶𝜶}覆盖了𝐀𝐀，或称{𝑶𝑶𝜶𝜶}是𝐀𝐀的一个开覆盖 15。 定义 7.9 设{𝑶𝑶𝜶𝜶}是𝐀𝐀的一个开覆盖。若{𝑶𝑶𝜶𝜶}中的有限个元素（这里的元素是集合） 构成的子集{𝑶𝑶𝟏𝟏, 𝑶𝑶𝟐𝟐, ⋯ 𝑶𝑶𝒎𝒎}也覆盖𝐀𝐀，则称{𝑶𝑶𝜶𝜶}对𝐀𝐀具有有限子覆盖。 基于开覆盖与有限子覆盖，可以定义紧致。 定义 7.10 紧致：如果对于拓扑空间中的某子集𝐀𝐀的任意开覆盖，都有有限的子覆 盖，则称𝐀𝐀是紧致的。 举个例子，一维欧氏空间中的任何一个开区间或者半开区间，都不是紧致的， 但闭区间是紧致的。其原因，就是对(𝑎𝑎, 𝑏𝑏]，只要找到它的一个开覆盖，不具备有 限子覆盖，就可以证明它不是紧致的。而这个开覆盖是存在的，比如：��𝑎𝑎 + 1 2 , 𝑏𝑏 + 1 2 � , �𝑎𝑎 + 1 22 , 𝑏𝑏 + 1 22� , ⋯ , �𝑎𝑎 + 1 2𝑛𝑛 , 𝑏𝑏 + 1 2𝑛𝑛� , ⋯ �。这是一个开集的集合。这个开集的 集合覆盖了(𝑎𝑎, 𝑏𝑏]，因此是开覆盖。但是它没有一个有限的开集元素的集合，来覆 盖(𝑎𝑎, 𝑏𝑏]。因此，这个半开区间不是紧致的。一维欧氏空间的全开区间（或者高维 欧氏空间中的开区域或半开区域）也不具备紧致的特性。但是当此区域变成闭区 15字面意思，开集的集合形成的覆盖
域的时候，区域中的任意一点的极限点都属于这个区域，相应的此区域也紧致。这里讨论这些概念，是因为我们后面讲李群的时候会说明，它是具有微分流形的结构的。既然是微分结构，它的一个基本特征就是具有从非欧空间向欧氏空间的微分同胚映射（具体定义后面解释）。具有微分结构是其固有性质，我们也是要基于微分结构来分析非欧空间与相关映射的。在定义微分结构的时候，空间的紧致性就很重要了。庆幸的是，微分流形的概念是建立在豪斯道夫（Hausdorff）空间上的。在豪斯道夫空间中，紧致与闭子集之间是可以划等号的。它们往欧氏空间的映射也可以是微分同胚的。因此，从逻辑上，我们先把极限、紧致这些概念讲完之后，下面要讲的就是豪斯道夫（Hausdorff）空间。豪斯道夫空间的一个基本特性是空间内的领域是可以分离的，具体定义如下。定义7.11豪斯道夫空间：拓扑空间(X,0)叫做豪斯道夫空间（或T2空间），如果对Vx,yEX，且xy，存在01与02E9，使得E01yE02，满足01n02=0。我们常见的n维欧氏空间Rn就是豪斯道夫空间。豪斯道夫空间是一种特殊的拓扑空间，与n维欧氏空间具备紧密的联系。它描述的几何是非欧的。但是因为它与欧氏空间紧密的联系，人们总是可以在局部用欧氏几何的方法去描述它。不同的局部通过有交集的区域进行拼接，可构造出整个的非欧的空间。就像图7.1中，我们总是可以通过小块的开的曲面区域拼接出球面。而小块的开的曲面区域既有曲面的微分结构，又可以用小块的开的平面区域通过映射的方式来进行分析。到这里，我们讨论的都是拓扑空间的性质。下面，我们开始讨论拓扑空间之间的映射。就像前面注脚中提到的，映射的词根是map。提出时，它应该有个基
域的时候，区域中的任意一点的极限点都属于这个区域，相应的此区域也紧致。 这里讨论这些概念，是因为我们后面讲李群的时候会说明，它是具有微分流 形的结构的。既然是微分结构，它的一个基本特征就是具有从非欧空间向欧氏空 间的微分同胚映射（具体定义后面解释）。具有微分结构是其固有性质，我们也 是要基于微分结构来分析非欧空间与相关映射的。在定义微分结构的时候，空间 的紧致性就很重要了。 庆幸的是，微分流形的概念是建立在豪斯道夫（Hausdorff）空间上的。在豪 斯道夫空间中，紧致与闭子集之间是可以划等号的。它们往欧氏空间的映射也可 以是微分同胚的。因此，从逻辑上，我们先把极限、紧致这些概念讲完之后，下 面要讲的就是豪斯道夫（Hausdorff）空间。 豪斯道夫空间的一个基本特性是空间内的领域是可以分离的，具体定义如下。 定义 7.11 豪斯道夫空间：拓扑空间(𝐗𝐗, 𝛝𝛝)叫做豪斯道夫空间（或𝐓𝐓𝟐𝟐空间），如果 对∀𝒙𝒙, 𝒚𝒚 ∈ 𝐗𝐗，且𝒙𝒙 ≠ 𝒚𝒚，存在𝐎𝐎𝟏𝟏与𝐎𝐎𝟐𝟐 ∈ 𝛝𝛝，使得𝒙𝒙 ∈ 𝐎𝐎𝟏𝟏，𝒚𝒚 ∈ 𝐎𝐎𝟐𝟐，满足𝐎𝐎𝟏𝟏 ∩ 𝐎𝐎𝟐𝟐 = ∅。 我们常见的 n 维欧氏空间R𝑛𝑛就是豪斯道夫空间。豪斯道夫空间是一种特殊 的拓扑空间，与 n 维欧氏空间具备紧密的联系。它描述的几何是非欧的。但是因 为它与欧氏空间紧密的联系，人们总是可以在局部用欧氏几何的方法去描述它。 不同的局部通过有交集的区域进行拼接，可构造出整个的非欧的空间。就像图 7.1 中，我们总是可以通过小块的开的曲面区域拼接出球面。而小块的开的曲面区域 既有曲面的微分结构，又可以用小块的开的平面区域通过映射的方式来进行分析。 到这里，我们讨论的都是拓扑空间的性质。下面，我们开始讨论拓扑空间之 间的映射。就像前面注脚中提到的，映射的词根是 map。提出时，它应该有个基
本的意思是从非欧空间往欧氏空间做对应。映射有三要素：定义域、值域、映射规则。李群是一个连续群，其中元素做的事情，是将一个拓扑空间映射到另一个与之具有相同拓扑结构的拓扑空间。而这个映射本身，需要是连续的。因此，关于映射的讨论也从连续性开始。定义7.12映射连续：设(X,9(X))、(Y,9(Y))是拓扑空间，如果映射f:X→Y满足条件：对VxE X，若对f(x)的任意一个邻域Vr(x) CY，都存在x的一个邻域Ux,使得f(Ux)CVr(x)。这时，称映射f在x连续。YSVa图7.3连续映射示意图。此关系可以具体表述为图7.3。当映射f在X中任意一点都连续的时候，称f是一个连续映射。连续映射的一个好处是它可以让人们在拓扑空间之间建立联系。基于它，人们可以定义同胚映射（也称拓扑映射）。在定义同胚映射之前，我们可以先熟悉一下连续映射的几个性质。定理 7.1 设(X,9(X))、(Y,9(Y))是拓扑空间，f:X→Y是它们之间的映射。下面四个条件是等价的：1.f是连续映射；2.Y中的每个开集在f下的逆像是X中的开集；3.Y中的每个闭集在f下的逆像是X中的闭集；4. 对VA C X,有： 对f(A) Cf(A)。这些性质的一个共性，是f:X→Y是连续映射与由Y中某集合性质推出的其
本的意思是从非欧空间往欧氏空间做对应。映射有三要素：定义域、值域、映射 规则。李群是一个连续群，其中元素做的事情，是将一个拓扑空间映射到另一个 与之具有相同拓扑结构的拓扑空间。而这个映射本身，需要是连续的。因此，关 于映射的讨论也从连续性开始。 定义 7.12 映射连续：设�𝐗𝐗, 𝛝𝛝(𝐗𝐗)�、�𝐘𝐘, 𝛝𝛝(𝐘𝐘)�是拓扑空间，如果映射𝐟𝐟: 𝐗𝐗 → 𝐘𝐘满足 条件：对∀𝒙𝒙 ∈ 𝐗𝐗，若对𝒇𝒇(𝒙𝒙)的任意一个邻域𝐕𝐕𝐟𝐟(𝒙𝒙) ⊂ 𝐘𝐘，都存在𝒙𝒙的一个邻域𝐔𝐔𝒙𝒙， 使得𝒇𝒇(𝐔𝐔𝒙𝒙) ⊂ 𝐕𝐕𝐟𝐟(𝒙𝒙)。这时，称映射𝒇𝒇在𝒙𝒙连续。 图 7.3 连续映射示意图。 此关系可以具体表述为图 7.3。当映射𝒇𝒇在𝐗𝐗中任意一点都连续的时候，称𝒇𝒇是 一个连续映射。连续映射的一个好处是它可以让人们在拓扑空间之间建立联系。 基于它，人们可以定义同胚映射（也称拓扑映射）。在定义同胚映射之前，我们 可以先熟悉一下连续映射的几个性质。 定理 7.1 设�𝐗𝐗, 𝛝𝛝(𝐗𝐗)�、�𝐘𝐘, 𝛝𝛝(𝐘𝐘)�是拓扑空间，𝒇𝒇: 𝐗𝐗 → 𝐘𝐘是它们之间的映射。下面 四个条件是等价的： 1. 𝒇𝒇是连续映射； 2. 𝐘𝐘中的每个开集在𝒇𝒇下的逆像是𝐗𝐗中的开集； 3. 𝐘𝐘中的每个闭集在𝒇𝒇下的逆像是𝐗𝐗中的闭集； 4. 对∀𝐀𝐀 ⊂ 𝐗𝐗，有：对𝒇𝒇(𝐀𝐀�) ⊂ 𝒇𝒇(𝐀𝐀) ������。 这些性质的一个共性，是𝒇𝒇: 𝐗𝐗 → 𝐘𝐘是连续映射与由𝐘𝐘中某集合性质推出的其