7.1曲面上的几何这里我们说的曲面上的几何，指的是非欧几何。由于我们的基础教育（甚至包含多数高等教育）并不包含非欧几何的内容，人们往往会觉得与之相关的一些名词（比如本章不可能绕过的拓扑空间与微分流形）非常的高深与抽象。为了将读者带入，我们从一些简单的关于空间的概念出发来展开讨论。我们首先想说的是类似看起来复杂与高深的学术成就的诞生都是符合最直观、最简单的逻辑的。比如，我们都知道早期欧氏几何描述的是均匀的、可以无限扩展的三维空间的性质。而在古希腊的多数自然哲学体系中，人们认为地球是处在中心宇宙这个同心球体的中心的。比如，在亚里士多德的宇宙模型中，连续的、无限的直线运动是不被允许的，匀速圆周运动才是完美的[28]。这样，就不可避免地会带来一个逻辑上比较简单但非常值得思考的问题：当我们站到地面上的一点我们看到的是欧氏空间，但当我们把自己放在上帝视角去看这个同心球模型中的地球我们就会意识到地球上的某个人看到的欧氏空间是无法通过无限延展覆盖整个地球的球面的。考虑到这一点，后来人们对欧氏几何提出质疑就不足为奇了。此质疑过程中比较有代表性的是1826年俄罗斯数学家NikolaiIvanovichLobachevsky（罗巴切夫斯基，1792-1856）在喀山的一个数学家会议中宣读的他的关于非欧几何的论文《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》。这里，他提"虽然地球是个球形的直接验证一直要等到16世纪初麦哲伦的环球航行，但考虑到早期人们航海时首先看到船帆这个生活经验、月球是圆的这个观测、以及球形在古希腊哲学中占据的重要位置，我们可以想象在很早的时候人们就有了地球是个球形这样一种认识。在很多古希腊的宇宙模型中，这点也都可以得到体现
7.1 曲面上的几何 这里我们说的曲面上的几何，指的是非欧几何。由于我们的基础教育（甚至 包含多数高等教育）并不包含非欧几何的内容，人们往往会觉得与之相关的一些 名词（比如本章不可能绕过的拓扑空间与微分流形）非常的高深与抽象。为了将 读者带入，我们从一些简单的关于空间的概念出发来展开讨论。 我们首先想说的是类似看起来复杂与高深的学术成就的诞生都是符合最直 观、最简单的逻辑的。比如，我们都知道早期欧氏几何描述的是均匀的、可以无 限扩展的三维空间的性质。而在古希腊的多数自然哲学体系中，人们认为地球是 处在中心宇宙这个同心球体的中心的。比如，在亚里士多德的宇宙模型中，连续 的、无限的直线运动是不被允许的，匀速圆周运动才是完美的[28]。这样，就不 可避免地会带来一个逻辑上比较简单但非常值得思考的问题：当我们站到地面上 的一点我们看到的是欧氏空间，但当我们把自己放在上帝视角去看这个同心球模 型中的地球我们就会意识到地球上的某个人看到的欧氏空间是无法通过无限延 展覆盖整个地球的球面的 9 。考虑到这一点，后来人们对欧氏几何提出质疑就不 足为奇了。 此质疑过程中比较有代表性的是 1826 年俄罗斯数学家 Nikolai Ivanovich Lobachevsky（罗巴切夫斯基，1792-1856）在喀山的一个数学家会议中宣读的他的 关于非欧几何的论文《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》。这里，他提 9 虽然地球是个球形的直接验证一直要等到 16 世纪初麦哲伦的环球航行，但考虑到早期人们 航海时首先看到船帆这个生活经验、月球是圆的这个观测、以及球形在古希腊哲学中占据的 重要位置，我们可以想象在很早的时候人们就有了地球是个球形这样一种认识。在很多古希 腊的宇宙模型中，这点也都可以得到体现
出如果将欧氏几何中的第五条公设去除10，基于前面的几条公设还是可以构建一个几何体系。但遗憾的是此理论在当时并没有被人们接受。1853年，哥廷根大学数学系教授高斯建议他的学生黎曼在其教授资格考试（Habilitation）中以非欧几何为题目完成资格考试论文。基于此建议，黎曼将此论文题目定为《Onthehypotheseswhichunderliegeometry》“"。此后，非欧几何正式在主流学界被广泛接受。黎曼的主要研究对象是椭球球面，在这个过程中，他引入了流形（英文是manifold，意思是多褶皱，江泽涵先生按“天地有正气，杂然赋流形”进行翻译，信达雅兼顾）的概念，来描述类似基于曲面的几何。在描述这个曲面的几何时，平行线公设是不需要的。就像图7.1中的地球，如果我们画一个很大的三角形，则在局域的视角我们认为相互平行的两条经线，在全局视角看来是可以相交的。图中这个三角形的内角和也不是180度。黎曼几何很好地利用了欧氏空间的性质，把复杂的曲面分成很多封闭的区域的集合。类似封闭的区域的集合称为图卡（Atlas，有时也翻译为坐标图卡、图集、图汇）12。每个区域对应的局部空间（开集），与欧氏空间这种完全没有扭曲的空间的开集在结构上对应13。因此，可以10欧氏几何是一个由五条公设（postulates）、五条公理（commonnotions）出发建立的几何体系。11对德国学者，在其学术生涯中正常情况下是要完成两个论文的。一个是其博士学位论文，一个是其教投资格考试论文。12这里要感谢北京大学数学学院的周珍楠教授。之前笔者一直找不到合适的翻译，他给了一个很全面的回答。13这种对应被称为mapping。其词根，与大地测量中的map是相关的。按周彬老师线上课程的讲述，在19世纪上半叶，高斯因为接到一个画地图的任务，便开始对这方面的问题进行思考了。笔者认同此说法，因此这里写下来供读者参考
出如果将欧氏几何中的第五条公设去除 10，基于前面的几条公设还是可以构建一 个几何体系。但遗憾的是此理论在当时并没有被人们接受。1853 年，哥廷根大学 数学系教授高斯建议他的学生黎曼在其教授资格考试（Habilitation）中以非欧几 何为题目完成资格考试论文。基于此建议，黎曼将此论文题目定为《On the hypotheses which underlie geometry》11。此后，非欧几何正式在主流学界被广泛接 受。 黎曼的主要研究对象是椭球球面，在这个过程中，他引入了流形（英文是 manifold，意思是多褶皱，江泽涵先生按“天地有正气，杂然赋流形”进行翻译， 信达雅兼顾）的概念，来描述类似基于曲面的几何。在描述这个曲面的几何时， 平行线公设是不需要的。就像图 7.1 中的地球，如果我们画一个很大的三角形， 则在局域的视角我们认为相互平行的两条经线，在全局视角看来是可以相交的。 图中这个三角形的内角和也不是 180 度。黎曼几何很好地利用了欧氏空间的性 质，把复杂的曲面分成很多封闭的区域的集合。类似封闭的区域的集合称为图卡 （Atlas，有时也翻译为坐标图卡、图集、图汇）12。每个区域对应的局部空间（开 集），与欧氏空间这种完全没有扭曲的空间的开集在结构上对应 13。因此，可以 10欧氏几何是一个由五条公设（postulates）、五条公理（common notions）出发建立的几何体 系。 11对德国学者，在其学术生涯中正常情况下是要完成两个论文的。一个是其博士学位论文，一个 是其教授资格考试论文。 12这里要感谢北京大学数学学院的周珍楠教授。之前笔者一直找不到合适的翻译，他给了一 个很全面的回答。 13这种对应被称为 mapping。其词根，与大地测量中的 map 是相关的。按周彬老师线上课程 的讲述，在 19 世纪上半叶，高斯因为接到一个画地图的任务，便开始对这方面的问题进行 思考了。笔者认同此说法，因此这里写下来供读者参考
用欧氏空间中的微分工具来描述其结构。而相邻的区域，有重叠部分。在这些重叠的部分，又可以通过微分性质的连续性，保证完美地拼接起来。这种拼接允许空间扭曲，而类似空间的扭曲会带来与欧氏几何完全不一样的性质。后来，大家都知道这套基于数学家对空间概念的探索而引入的数学语言诞生半个世纪后，在爱因斯坦发展的广义相对论中发挥了至关重要的作用14。这个背后，实际上就是上一段提到的本质上很简单的图像。同时，我们也要指出本章要讲的很多看似高深、看似复杂的概念，都与这个简单的图像相关。本着这个思路，下面我们先从拓扑空间的概念出发引入一套基本语言来描述空间的拓扑性。之后，作为拓扑空间中一个可以利用微分方程来分析的例子，我们引入微分流形，进而为后面引入李群的概念奠定接触。图7.1非欧几何中的一些概念。左上角是地球，很显然，其表面是一个球面。在地球表面画一个无限大的三角形，内角和显然并不为零。为了描述其表面，需要通过相互交叠的开集（右上）引入图卡（左下）的概念。这些都是非欧几何中的基本语言。它是描述右下曲面的理想工具。从这些图也可以看出，拓扑的概念与非欧几何也密切相关。右下角的瓶子被称为克莱因瓶。14广义相对论中的关键点就是时空扭曲。这也就不难理解为什么我们说他去哥廷根大学讲完报告后，看到希尔伯特所提的问题为何那么地紧张了。现在，我们描述宇宙的结构是有限无边，也是基于类似的几何图像
用欧氏空间中的微分工具来描述其结构。而相邻的区域，有重叠部分。在这些重 叠的部分，又可以通过微分性质的连续性，保证完美地拼接起来。这种拼接允许 空间扭曲，而类似空间的扭曲会带来与欧氏几何完全不一样的性质。 后来，大家都知道这套基于数学家对空间概念的探索而引入的数学语言诞生 半个世纪后，在爱因斯坦发展的广义相对论中发挥了至关重要的作用 14。这个背 后，实际上就是上一段提到的本质上很简单的图像。同时，我们也要指出本章要 讲的很多看似高深、看似复杂的概念，都与这个简单的图像相关。本着这个思路， 下面我们先从拓扑空间的概念出发引入一套基本语言来描述空间的拓扑性。之后， 作为拓扑空间中一个可以利用微分方程来分析的例子，我们引入微分流形，进而 为后面引入李群的概念奠定接触。 图 7.1 非欧几何中的一些概念。左上角是地球，很显然，其表面是一个球面。在地球表面 画一个无限大的三角形，内角和显然并不为零。为了描述其表面，需要通过相互交叠的开 集（右上）引入图卡（左下）的概念。这些都是非欧几何中的基本语言。它是描述右下曲 面的理想工具。从这些图也可以看出，拓扑的概念与非欧几何也密切相关。右下角的瓶子 被称为克莱因瓶。 14广义相对论中的关键点就是时空扭曲。这也就不难理解为什么我们说他去哥廷根大学讲完 报告后，看到希尔伯特所提的问题为何那么地紧张了。现在，我们描述宇宙的结构是有限无 边，也是基于类似的几何图像
7.2拓扑空间拓扑学研究的是几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的性质。其中，最关键的是物体间的位置关系而非它们的具体形状与大小。因此，引用梁灿彬、周彬老师教材中的原话：拓扑又被通俗地称为“橡皮膜上的几何学”。在拓扑学中，重要的性质包括空间的连续性、紧致性、连通性。而李群，是一个既有群的结构，又有微分流形结构（因此自然地也会有拓扑结构）的群，是目前在物理学中具有最重要的应用的连续群。为了让读者在学习具体概念的过程中时刻能够进行定位，我们先此节的关键几点内容列出：1)拓扑空间、开集、邻域、闭集2)拓扑子空间（相对拓扑空间）、直积拓扑空间3)拓扑空间的连通性4)拓扑空间的紧致性 5)豪斯道夫空间6)拓扑映射（也叫同胚映射），它能让拓扑性质（如开集、闭集、连通性、紧致性）保持不变7)道路、道路连通、道路同伦、基本群的概念，以及如何由它们来描述的拓扑空间的连通性（单连通、复连通）具体讨论，先从拓扑空间与开集的定义开始依次进行。定义7.1拓扑空间与开集：设X是一个集合，其元素x、y、Z称为点，若能在X上规定一个子集组9，它是一系列子集的集合，满足：1.XE9, 0E9;
7.2 拓扑空间 拓扑学研究的是几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的性质。其 中，最关键的是物体间的位置关系而非它们的具体形状与大小。因此，引用梁灿 彬、周彬老师教材中的原话：拓扑又被通俗地称为“橡皮膜上的几何学”。在拓 扑学中，重要的性质包括空间的连续性、紧致性、连通性。而李群，是一个既有 群的结构，又有微分流形结构（因此自然地也会有拓扑结构）的群，是目前在物 理学中具有最重要的应用的连续群。 为了让读者在学习具体概念的过程中时刻能够进行定位，我们先此节的关键 几点内容列出： 1） 拓扑空间、开集、邻域、闭集 2） 拓扑子空间（相对拓扑空间）、直积拓扑空间 3） 拓扑空间的连通性 4） 拓扑空间的紧致性 5） 豪斯道夫空间 6） 拓扑映射（也叫同胚映射），它能让拓扑性质（如开集、闭集、连通 性、紧致性）保持不变 7） 道路、道路连通、道路同伦、基本群的概念，以及如何由它们来描述 的拓扑空间的连通性（单连通、复连通） 具体讨论，先从拓扑空间与开集的定义开始依次进行。 定义 7.1 拓扑空间与开集：设𝐗𝐗是一个集合，其元素 x、y、z 称为点，若能在𝐗𝐗上 规定一个子集组𝛝𝛝，它是一系列子集的集合，满足： 1. 𝐗𝐗 ∈ 𝛝𝛝，∅ ∈ 𝛝𝛝；
2.9中有限个元素01、02、、0k的交集属于9；3.9中任意多个元素0,的并集属于9；则集合X与9合在一起构成一个拓扑空间(X,9)。9称为X的一个拓扑，9中的每个0,都是X的开集。此定义的给出的一个明确的信息，是拓扑空间是一个定义了子集组的集合。这个子集组，是由开集组成的。换句话说，基于一个集合X，可以定义出不同的拓扑空间(X,91)与(X,92)。以X=(a,b,c}为例，可以定义：91 =u 0, = [0, [a, b, c)]这个(X,91)是一个拓扑空间。类似以9=(0,X)的形式基于X定义的拓扑空间，称为平庸的拓扑空间。对基于X定义的拓扑空间来说，平庸的拓扑空间拥有的开集数最少。同时，也可以定义：92 =U O, = [0,[a),(a,b), (a,c),(a,b,c]]这些开集0,之间的交集属于92，并集也属于92。因此，这个(X,92)也是拓扑空间。除此之外，还可以定义：93 =U O, = [0, (a), (b), (c), [a, b),[a,c], (b,c), [a, b,c]](X,93)也是拓扑空间。对X而言，像(X,93)这样的拓扑空间称为分立的拓扑空间，它包含的开集数目最多。但如果取：94 =U 0, = [0, (a,b),[a,cj,(a,b,c))则由于(a,b)与[a,c)的交集不属于94，(X,94)就不是拓扑空间。基于开集、拓扑空间，我们可以定义邻域与闭集
2. 𝛝𝛝中有限个元素𝐎𝐎𝟏𝟏、𝐎𝐎𝟐𝟐、.、𝐎𝐎𝒌𝒌的交集属于𝛝𝛝； 3. 𝛝𝛝中任意多个元素𝐎𝐎𝒊𝒊的并集属于𝛝𝛝； 则集合𝐗𝐗与𝛝𝛝合在一起构成一个拓扑空间(𝐗𝐗,𝛝𝛝)。𝛝𝛝称为𝐗𝐗的一个拓扑，𝛝𝛝中的每个 𝐎𝐎𝒊𝒊都是𝐗𝐗的开集。 此定义的给出的一个明确的信息，是拓扑空间是一个定义了子集组的集合。 这个子集组，是由开集组成的。换句话说，基于一个集合𝐗𝐗，可以定义出不同的 拓扑空间(𝐗𝐗, 𝛝𝛝𝟏𝟏)与(𝐗𝐗,𝛝𝛝𝟐𝟐)。以𝐗𝐗 = {𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐}为例，可以定义： 𝛝𝛝𝟏𝟏 =∪ 𝐎𝐎𝒊𝒊 = �∅,{𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐}� 这个(𝐗𝐗, 𝛝𝛝𝟏𝟏)是一个拓扑空间。类似以𝛝𝛝 = {∅, 𝐗𝐗}的形式基于𝐗𝐗定义的拓扑空间，称 为平庸的拓扑空间。对基于𝐗𝐗定义的拓扑空间来说，平庸的拓扑空间拥有的开集 数最少。 同时，也可以定义： 𝛝𝛝𝟐𝟐 =∪ 𝐎𝐎𝒊𝒊 = �∅,{𝑎𝑎},{𝑎𝑎, 𝑏𝑏},{𝑎𝑎, 𝑐𝑐},{𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐}� 这些开集𝐎𝐎𝒊𝒊之间的交集属于𝛝𝛝𝟐𝟐，并集也属于𝛝𝛝𝟐𝟐。因此，这个(𝐗𝐗,𝛝𝛝𝟐𝟐)也是拓扑空间。 除此之外，还可以定义： 𝛝𝛝𝟑𝟑 =∪ 𝐎𝐎𝒊𝒊 = �∅,{𝑎𝑎},{𝑏𝑏},{𝑐𝑐},{𝑎𝑎, 𝑏𝑏},{𝑎𝑎, 𝑐𝑐},{𝑏𝑏, 𝑐𝑐},{𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐}� (𝐗𝐗, 𝛝𝛝𝟑𝟑)也是拓扑空间。对𝐗𝐗而言，像(𝐗𝐗,𝛝𝛝𝟑𝟑)这样的拓扑空间称为分立的拓扑空间， 它包含的开集数目最多。 但如果取： 𝛝𝛝𝟒𝟒 =∪ 𝐎𝐎𝒊𝒊 = �∅,{𝑎𝑎, 𝑏𝑏},{𝑎𝑎, 𝑐𝑐},{𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐}� 则由于{𝑎𝑎, 𝑏𝑏}与{𝑎𝑎, 𝑐𝑐}的交集不属于𝛝𝛝𝟒𝟒，(𝐗𝐗, 𝛝𝛝𝟒𝟒)就不是拓扑空间。 基于开集、拓扑空间，我们可以定义邻域与闭集