在f下的逆像下的X中某集合性质的等价性。如果要求这个映射是一一满映射，且其逆映射也是连续映射，则这个映射就可以保持两个拓扑空间所有的拓扑性质不变了。这时，我们称其为同胚映射（拓扑映射），具体定义如下。定义7.13拓扑映射：设(X,9(X))、(Y,9(Y))是拓扑空间，如果映射f:X→Y是一一对应的满映射，它是连续映射。除此之外，其逆映射也连续。这时，称f是(X,9(X))与(Y,9(Y))这两个拓扑空间的同胚映射，也称拓扑映射。结合定理7.1，我们知道同胚映射下两个拓扑空间的点、开集、闭集都具备一一对应关系。其连通性、紧致性也都会一致。因此，拓扑映射联系起来的是两个拓扑结构完全相同的拓扑空间。它使得“橡皮膜上的几何学”能够存在。现在讲完了拓扑空间的性质，讲完了拓扑空间的映射。在前面讲拓扑空间的性质的时候，我们讲到了连通性。对连通性更为严格的描述，需要借助于连续映射，并在此基础上引入道路、道路连通、道路同伦、基本群等概念，进而区分单连通与复连通。基于这个逻辑，本节的最后一部分内容讨论这些概念（道路、道路连通、道路同伦、基本群）。道路连通的基础是道路这个概念。因此，我们从道路说起。定义7.14道路：设(X,9(X))是拓扑空间,I是一维欧氏空间(R1，也就是实数轴)上的区间[0,1]。也就是说I=(tt E R1,且0≤ t≤1]。如果连续映射α:I→X满足α(0)=Xo、α(1)=X1，其中xo、Xi EX，则称α是从xo到xi的一条道路。这个定义已经用到了前面讲的连续映射。同时，也需要指出：这个道路指的是连续映射α，而不是[α(t))这些X中的点（如图7.4所示）。点相同，映射不相同，也是不同的道路。由于道路的存在，我们可以把拓扑空间中的两个点进行一个无缝的连接。它
在𝒇𝒇下的逆像下的𝐗𝐗中某集合性质的等价性。如果要求这个映射是一一满映射，且 其逆映射也是连续映射，则这个映射就可以保持两个拓扑空间所有的拓扑性质不 变了。这时，我们称其为同胚映射（拓扑映射），具体定义如下。 定义 7.13 拓扑映射：设�𝐗𝐗, 𝛝𝛝(𝐗𝐗)�、�𝐘𝐘, 𝛝𝛝(𝐘𝐘)�是拓扑空间，如果映射𝒇𝒇: 𝐗𝐗 → 𝐘𝐘是一 一对应的满映射，它是连续映射。除此之外，其逆映射也连续。这时，称𝒇𝒇是 �𝐗𝐗, 𝛝𝛝(𝐗𝐗)�与�𝐘𝐘, 𝛝𝛝(𝐘𝐘)�这两个拓扑空间的同胚映射，也称拓扑映射。 结合定理 7.1，我们知道同胚映射下两个拓扑空间的点、开集、闭集都具备 一一对应关系。其连通性、紧致性也都会一致。因此，拓扑映射联系起来的是两 个拓扑结构完全相同的拓扑空间。它使得“橡皮膜上的几何学”能够存在。 现在讲完了拓扑空间的性质，讲完了拓扑空间的映射。在前面讲拓扑空间的 性质的时候，我们讲到了连通性。对连通性更为严格的描述，需要借助于连续映 射，并在此基础上引入道路、道路连通、道路同伦、基本群等概念，进而区分单 连通与复连通。基于这个逻辑，本节的最后一部分内容讨论这些概念（道路、道 路连通、道路同伦、基本群）。道路连通的基础是道路这个概念。因此，我们从 道路说起。 定义 7.14 道路：设�𝐗𝐗, 𝛝𝛝(𝐗𝐗)�是拓扑空间，𝐈𝐈是一维欧氏空间（𝐑𝐑𝟏𝟏，也就是实数轴） 上的区间[𝟎𝟎, 𝟏𝟏]。也就是说𝐈𝐈 = �𝒕𝒕|𝒕𝒕 ∈ 𝐑𝐑𝟏𝟏,且𝟎𝟎 ≤ 𝒕𝒕 ≤ 𝟏𝟏�。如果连续映射𝛂𝛂:𝐈𝐈 → 𝐗𝐗满足 𝛂𝛂(𝟎𝟎) = 𝒙𝒙𝟎𝟎、𝛂𝛂(𝟏𝟏) = 𝒙𝒙𝟏𝟏，其中𝒙𝒙𝟎𝟎、𝒙𝒙𝟏𝟏 ∈ 𝐗𝐗，则称𝛂𝛂是从𝒙𝒙𝟎𝟎到𝒙𝒙𝟏𝟏的一条道路。 这个定义已经用到了前面讲的连续映射。同时，也需要指出：这个道路指的 是连续映射𝛂𝛂，而不是{𝛂𝛂(𝒕𝒕)}这些 𝐗𝐗中的点（如图 7.4 所示）。点相同，映射不相 同，也是不同的道路。 由于道路的存在，我们可以把拓扑空间中的两个点进行一个无缝的连接。它
是我们最为常见也是在数学上最好处理的欧氏空间与更为广义的拓扑空间的之间的一个纽带。基于这种连接，可定义道路连通。这个道路连通，对于描述更为广义的拓扑空间的连通性至关重要。Xa.01Xo图7.4道路示意图。定义7.15道路连通：设(X,9(X))是拓扑空间，如果其中任意两点xo、X1都存在道路，则称这个拓扑空间是道路连通（弧连通）的。这里讲的道路连通比前面讲的连通要严格。前面的连通可以存在于不连续的拓扑空间。这里的道路连通对应的拓扑空间必须是连续的。它指的是通过一维欧氏空间中的属于区间I=(titER1,且0≤t≤1)中的实数t，将拓扑空间X中的点xo连续的变为xi的映射。这里t是连续的，因此它对应的拓扑空间X也是连续的。如果一个拓扑空间是道路连通的，则它一定是连通的。反之，如果一个拓扑空间是连通的，它不一定道路连通。因为它或许无法与一维欧氏空间中的属于区间I=(tltER1,且0≤t≤1)中的连续变化的实数t存在一一对应关系。这里，我们根据韩其智、孙洪洲老师《群论》教材中的习惯1，按定理的形式把这个关键点列出来。定理7.2若拓扑空间(X,9(X))是道路连通的，则它是连通的。前面，我们先是基于连续映射定义了拓扑映射（即同胚映射），它描述的是16与前面很多章节类似，本章在逻辑上也整体遵循韩其智、孙洪洲老师的《群论》教材
是我们最为常见也是在数学上最好处理的欧氏空间与更为广义的拓扑空间的之 间的一个纽带。基于这种连接，可定义道路连通。这个道路连通，对于描述更为 广义的拓扑空间的连通性至关重要。 图 7.4 道路示意图。 定义 7.15 道路连通：设�𝐗𝐗, 𝛝𝛝(𝐗𝐗)�是拓扑空间，如果其中任意两点𝒙𝒙𝟎𝟎、𝒙𝒙𝟏𝟏都存在 道路，则称这个拓扑空间是道路连通（弧连通）的。 这里讲的道路连通比前面讲的连通要严格。前面的连通可以存在于不连续的 拓扑空间。这里的道路连通对应的拓扑空间必须是连续的。它指的是通过一维欧 氏空间中的属于区间𝐈𝐈 = �𝒕𝒕|𝒕𝒕 ∈ 𝐑𝐑𝟏𝟏,且𝟎𝟎 ≤ 𝒕𝒕 ≤ 𝟏𝟏�中的实数𝒕𝒕，将拓扑空间𝐗𝐗中的点 𝒙𝒙𝟎𝟎连续的变为𝒙𝒙𝟏𝟏的映射。这里𝒕𝒕是连续的，因此它对应的拓扑空间𝐗𝐗也是连续的。 如果一个拓扑空间是道路连通的，则它一定是连通的。反之，如果一个拓扑 空间是连通的，它不一定道路连通。因为它或许无法与一维欧氏空间中的属于区 间𝐈𝐈 = �𝒕𝒕|𝒕𝒕 ∈ 𝐑𝐑𝟏𝟏,且𝟎𝟎 ≤ 𝒕𝒕 ≤ 𝟏𝟏�中的连续变化的实数𝒕𝒕存在一一对应关系。这里，我 们根据韩其智、孙洪洲老师《群论》教材中的习惯 16，按定理的形式把这个关键 点列出来。 定理 7.2 若拓扑空间�𝐗𝐗, 𝛝𝛝(𝐗𝐗)�是道路连通的，则它是连通的。 前面，我们先是基于连续映射定义了拓扑映射（即同胚映射），它描述的是 16 与前面很多章节类似，本章在逻辑上也整体遵循韩其智、孙洪洲老师的《群论》教材