分形维数在滚动轴承故障诊断中应用

第6卷第3输1issn1001053x.1999北05景6科技大学学报 VoL,20 No.5 1998年10月 Journal of University of Science and Technology Beijing 0ct.1998 分形维数在滚动轴承故障诊断中应用 吕志民12) 徐金梧) 张武军) 翟绪圣2) 1)北京科技大学机械工程学院，北京1000832)河北工业大学机械工程系，天津300130 摘要将分形维数用于刻划滚动轴承在不同故障状态下表现的非线性行为，进而对轴承的运行 状态进行判别，实验结果表明，滚动轴承振动信号在不同运行状态下的分形维数是不同的，可以 将分形维数做为识别滚动轴承故獠的特征量， 关键词故障诊断；滚动轴承；分形维数 分类号TH133.33;TH165.3 传统的诊断技术是针对滚动轴承振动信号的时域或频域特征来提取特征量，进行故障识 别的，实际上滚动轴承在不同运行状态下，因刚度非线性、摩擦力等的影响，系统表现出不同 的非线性特性. 分形维数是用来定量刻划混沌吸引子“奇异”程度的一个重要参数，它广泛地被用于非线 性系统行为的刻划中~.张文明等研究了滚动轴承在不同润滑条件和间隙情况下的分形维 数，实际应用中，从轴承座上测得的振动信号是含有噪声的，而分形维数对噪声是比较敏感 的，这样就很难将分形维数用于滚动轴承的状态监测和故障诊断中， 本文针对在实际应用存在的问题，给出了对原始数据进行处理的方法.分别计算了滚动 轴承正常状态和外圈轻微点蚀、内圈轻微点蚀故障状态下振动信号的分形维数， 1滚动轴承振动信号的时域波形及预处理 1.1滚动轴承原始振动信号的时域波形 在对滚动轴承进行振动状态监测和故障诊断时，一般是通过安装在轴承座上的传感器拾 取设备的振动信号.测得的振动信号除反映有关轴承本身的工作情况信息外，还包含了大量 的机械设备中其他运动部件和结构信息，这些对于研究轴承本身的工况与故障来说属于背景 噪声，由于实际中背景噪声往往比较大，所以轻微的滚动轴承故障所特有的信息往往被淹没 在背景噪声中，很难被发现和提取出来，图】是从轴承座上测得的不同状态滚动轴承的振动 信号的时域波形.从图1可以看出滚动轴承轻微故障状态和正常状态的时域信号区别很不明 显，为了突出故障信息特征，首先应对原始数据进行降噪处理（包括测量噪声和背景噪声等）， 1.2降噪方法 考虑到滚动轴承系统是非线性系统，用非线性系统的降噪方法对原始数据进行降噪处 理.非线性系统信号降噪方法主要有下面5个步骤， 1997-12-04收稿召志民男，26岁，博士生 ·国家教委“跨世纪优秀人才·基金资助课题

第 20卷 第 5期 1 9 8年 1 0月 北 京 科 技 大 学 学 报 OJ u r n a l o f Un i v e r s iyt o f 灰 i e n e e a n d T e e h n o l o g y B e i ji n g V o l . 2 0 N o . 5 ( k t . 1 9 9 8 分形维数在滚动轴承故障诊断 中应用 吕志 民 l,2 ) 徐金梧 l) 张武军 ’ ) 翟绪 圣 2) 1)北京科技大学机械工 程学 院 , 北京 10 0 0 8 3 2) 河 北 工业 大学机械 工 程系 , 天 津 3 00 130 摘要 将分形 维数用 于 刻划滚动轴承 在不 同故 障状 态下表现 的 非 线性行 为 , 进而 对轴承的 运 行 状态 进行判别 . 实验结果表明 , 滚动轴承振动信号在不 同运行状 态下的分形 维数是不 同的 , 可 以 将分形维数做为识别滚动轴承故障的特征 量 . 关扭词 故障诊断; 滚动轴承 ; 分形维数 分类号 T H 1 3 3 . 3 3 ; T H 16 5 . 3 传 统的诊断技术是针对滚动轴承 振动信 号的 时域 或频 域特 征来提 取特 征量 , 进行 故 障识 别 的 . 实际上滚 动轴承在不 同运行状 态下 , 因 刚度非 线 性 、 摩擦 力等 的 影 响 , 系 统表 现 出不 同 的非线性 特性 . 分 形维数是用来定量刻划混沌 吸引子 “ 奇 异 ” 程 度 的一 个重 要参 数 , 它 广泛 地被用 于非 线 性系 统行为 的刻划 中卜 4 ] . 张文 明等研究 了 滚 动轴 承在 不 同 润 滑条件 和 间隙情 况下 的分 形 维 数14] . 实际应用 中 , 从 轴承座上 测得 的振动信号是 含 有 噪声 的 , 而 分形 维数 对 噪声是 比 较敏感 的 , 这样 就很难将分形维数用于 滚动轴承 的状态 监 测和 故障诊 断 中 . 本文 针对在实 际应 用存 在的 问题 , 给 出 了 对原 始 数据 进 行处理 的方 法 . 分 别计 算 了 滚 动 轴 承正 常状 态和外 圈 轻微 点蚀 、 内圈轻微 点蚀 故障状 态 下振 动信 号的分 形维 数 . 1 滚动轴承振动信号 的时域波形及预 处理 1 . 1 滚动轴承原始振动信号 的时域波形 在对滚 动轴承进行 振动状态监测和 故 障诊 断 时 , 一般是 通 过安装 在轴 承座 上 的传感 器 拾 取设备的振动信号 . 测得 的振动 信号 除反 映有 关轴 承本 身 的工 作 情况 信 息外 , 还包 含 了 大 量 的机械 设备 中其他运 动部件 和结构信息 , 这 些对于 研究 轴承 本 身 的工况 与故 障来 说属 于背 景 噪声 . 由于 实际 中背景 噪声往往 比较大 , 所 以 轻 微 的滚 动 轴承 故 障所 特有 的信 息往 往 被淹 没 在背 景 噪声 中 , 很难被 发现和提 取 出来 . 图 l 是 从轴 承 座 上测 得 的不 同状 态滚 动轴 承 的振 动 信 号 的时 域波形 . 从 图 1 可 以 看出滚 动轴承 轻微故 障状 态 和正 常状 态的 时域信 号 区别 很 不 明 显 , 为 了 突 出故障信息特征 , 首先 应对原 始数据 进行 降 噪处理 (包 括测量 噪声 和背 景噪 声等 ) . 1 . 2 降噪 方法 考 虑到 滚 动轴 承系 统是非 线性 系 统 , 用 非 线性 系统 的 降 噪方 法 对 原始 数 据进 行 降 噪处 理 . 非 线性 系统信 号降噪方法 主要 有 下 面 5 个 步骤 . 19 9 7 一 12 一 0 4 收 稿 吕 志民 男 , 26 岁 , 博 士生 * 国 家教 委 “ 跨世纪优秀 人 才 ” 基 金 资助 课题 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1998. 05. 016

·476· 北京科技大学学报 1998年第5期 (1)选通.设测得信号是 (a {S},i=1,…,N,将原始数据{S,} 进行FFT变换，功率谱大于一定阈 值的频率成分保留，然后进行逆 FFT变换，得到一个比原信号含有 较少噪声的信号{S} 20 40 60 80 100 (/ms (2)构成嵌入.用(S.S,+1… S,+-)构成一个n维嵌入，吸引子 多 可以由下式重构 h(x) F(x) 60 80 100 h() 式中，F是从系统状态空间到重构 景 空间R”的映射，x对应i时刻状态 空间中状态，h是系统在状态空间 演化的观测函数.利用经过选通后 20 40 80 100 的信号S在R"空间用n维嵌人重 t/ms 构吸引子， 图1滚动轴承原始振动信号时域波形 (a)正常状态，b)内圈点蚀，(c)外圈点蚀 (3)邻域计算，开始从嵌入R" 中选一点x和邻域半径r(一般来说r的选择应和噪声水平有关)，找出在邻域U内所有距x, 距离小于邻域半径r的点x设c是邻域U的中心，且令向量y=x-c,只要r选择合适，向量v 是沿吸引子方向大于横截方向的向量. (4)奇异值分解.对每一个邻域U将v构成矩阵Py),其每行是y,对矩阵P代y)应用奇异值 分解可得到M个奇异值，选取K个最大奇异值(K<M,其他奇异值置为O.然后计算Py),将 代v)'按前面的逆过程变换成(4，%+A-,这时的(u…,4+-)是一个比 (S,…,S’+m-含有更少噪声的嵌人. (5)修正.将每个变换得到(u,,“,+。-)的对应相加平均，则可以得到信号{S}经过降 噪处理后的信号{S”},此信号就是一个最终得到的较为理想的信号， 假设实验中所有振动信号的噪声水平是一样的，我们用统一的降噪参数对采样得到的振 动信号进行降噪处理， 1.3经过处理后滚动轴承振动信号时域波形 图2是经过处理后滚动轴承振动信号的时域波形.从图2中可以看出，经过处理后故障 状态和正常状态下滚动轴承振动信号的时域波形有明显的差别.下面利用分形维数定量刻划 滚动轴承正常状态和故障状态振动特征的区别. 2分形维数计算 分形维数可以定量地刻划混沌吸引子的特征.有许多种分形维数可用来刻划混沌吸引

4 7 6 北 京 科 技 大 学 学 报 199 8年 第 5期 侧瑕找口 ( l) 选 通 . 设 测 得 信 号 是 {尽}, i = l, 一 N, 将 原始 数 据 { s , } 进行 F FT 变换 , 功率 谱大 于 一定 阑 值 的 频 率 成 分 保 留 , 然 后 进 行 逆 F F I , 变 换 , 得 到 一 个 比 原信 号含 有 较少 噪声 的信 号 {尽} . (2) 构 成 嵌 人 · 用 (S ` , S , + , , … S , + , _ 1 ) 构 成 一个 n 维嵌 人 , 吸 引子 可 以 由下 式 重构 I / m s 侧周只口 h ( ix ) 4 0 6 0 、了. `祖、 é 月.且 、Z、扩.妞 一 + 月 5 1 。 S ! 2 口.了.吸、 、 一 ` 、、.,. / . 一 十刀 X . … 了`、 . 儿 F x(,) 一 ! 侧创只口 式 中 , F 是 从系 统 状 态 空 间到 重 构 空 间 R ” 的 映 射 , x 对应 i 时刻 状 态 空 间 中 状态 , h 是 系 统在 状 态 空 间 演 化 的观测 函 数 . 利用 经过 选通 后 的信 号 冬在 R ” 空 间 用 。 维 嵌人 重 构 吸引 子 . ( 3) 邻 域 计 算 . 开 始 从嵌 人 R ” 20 4 0 8 0 10 0 I / m s 图1 滚动轴承原始振 动信号时域波形 a( )正常状态 , 伪)内圈点蚀 , c( )外圈点蚀 中选一 点 x ,和邻域 半径 ; (一般 来说 ; 的选择应 和 噪声水 平有 关 ) , 找 出在 邻域 U 内所有 距 x ` 距离 小 于邻 域半 径 r 的点石 · 设 “ 是邻域 U 的中心 , 且令 向量vj = 再一 “ , 只 要 r 选 择合 适 , 向量 , 是沿 吸 引子方 向大于横 截方 向的 向量 · (4) 奇 异 值分解 · 对每一个邻域 U 将vj 构成 矩阵找 , , 其每 行是 vj, 对矩 阵 代 v,) 应 用奇异 值 分解 可得 到 M个奇 异值 , 选取 K 个 最大奇异值 (K< 哟 , 其他奇 异值置 为 0 · 然 后计算 代气) ` , 将 代 v , ) ` 按 前 面 的 逆 过 程 变 换 成 ( uj, “ 一 uj + 。 一 1 ) , 这 时 的 u( , , “ 一 “ , + 。 一 , ) 是 一 个 比 (S 厂 , 一 S ’ ` + , _ , )含有 更少 噪声 的嵌人 . (5) 修 正 · 将每个变换 得到 (u , , 一 。 , , 。 一 , )的对应相 加平 均 , 则可 以 得到信 号 {丫 }经过 降 噪处理 后 的信 号 { 冬 “ } , 此 信号 就是一 个最终 得到 的较为 理想 的信 号 · 假 设实验 中所 有振 动信 号的 噪声 水平 是一样 的 , 我 们用 统一 的降噪参数 对采样得 到的振 动 信 号进行 降 噪处理 . 1 . 3 经 过 处理 后滚 动轴 承振动 信号 时域波 形 图 2 是 经过 处理后 滚 动轴 承振 动信 号 的 时域波 形 . 从 图 2 中可 以 看 出 , 经 过处理 后故 障 状 态 和正 常状 态下滚 动轴 承振 动信号 的时域波 形有 明显 的差别 . 下面利 用分形 维数定量 刻划 滚 动轴 承正 常状 态和 故障 状态振 动特 征 的区 别 . 2 分形维数 计算 分 形 维数 可 以 定 量地 刻 划混 沌 吸 引 子 的特 征 . 有许 多 种 分形 维 数 可 用 来 刻 划混 沌 吸 引

Vol.20 No.5 吕志民等：分形维数在液动轴承故摩诊断中的应用 ·477· 子，其中关联维数是 Grassberger Procaccia 在Pakard与Takens重 构相空间的基础上，提 出的一种由观测得到的 nhm 时间序列计算相应动力 20 40 60 80 100 学系统吸引子关联维数 !ms D的方法，即GP方法 ).关联维数便于从实 验数据中直接测定，因 而应用很广.关联维数 的计算过程是：设{S: 60 00 i=1,2,;N是观测 到的时间序列，记 S(m,)=9,+e 1+m-yi=1,2,…,N -m+l;x=K·△t是时 间延迟，△1是采样间 40 60 80 100 隔；K是系数，取整数；m t/ms 是重构相空间维数，记 图2渡动轴承经处理后振动信号的时域波形 (a)正常状态，b)内圆点蚀，（©）外圈点烛 am-客2-sm-s (2) 式中，H为Heaviside函数，r是m维超球半径，则吸引子的关联维数为： D=lim d(InC(r))/d(Inr) (3) +0 选取不同的标尺r,然后绘出lnCr)与lnr的曲线，可计算出关联维数D. 实验中对每一种故障状态下的振动信号，以其中4个不同的时间段，作为4个时间序列 的原始数据，分别计算分形维数，最后将4个结果的平均值做为该故障状态下分形维数， 3结果与讨论 3.1原始信号分形维数计算结果 首先对采样得到的原始数据进行了分形维数计算，如表1所示.从表1看出原始信号的 分形维数在不同运行状态下没有明显差别，因而很难基于原始信号的分形维数识别滚动轴承 的状态和故障的种类，故需要对原始数据进行预处理，降低噪声对分形维数计算的影响 3.2经过处理后信号的分形维数 对经过降噪处理后滚动轴承振动时域信号进行分形维数计算，结果如表2所示 从表2可以看出，正常轴承的振动信号其分形维数最大，一般接近计算时的嵌人维数，这

V of .2 0 卜沁 . 5 子 , 其 中 关 联 维 数 是 C 份s s be 馆 er 与 巧沉朗ic a 在 P ak 田吐 与 T ak e sn 重 构 相 空 间 的基 础 上 , 提 出的 一种 由观 测得 到 的 时 间 序列 计算相应 动力 学 系 统 吸引子 关联 维数 D 的 方 法 , 即 G P 方 法 5[] . 关 联 维 数便 于 从 实 验 数 据 中直 接 测 定 , 因 而 应 用 很 广 . 关 联 维 数 的 计 算 过 程 是 : 设 {导 i = 1 , 2 , … ; N } 是 观 测 到 的 时 间 序 列 , 记 尽(m , 约 = s( ` , s 、 * * , ` “ s ` + (m 一 l )小 i = l , 2 , · ” , N 一 m + l ; 了= K · △ t是 时 间 延 迟 , △ t是 采 样 间 隔 ; K 是系数 , 取整数; m 是 重 构相空 间维数 , 记 吕志民等 : 分形 维数在滚动轴承故障诊 断中的应用 4 77 侧瑕只口 l / m s 侧只口 4 0 6 0 t/ 11 15 侧晨 20 4 0 6 0 80 l 0() t / m s 图2 滚动轴承经处理后振动信号的时域波形 a() 正常状态 , 伪) 内圈点蚀 , ( c) 外圈点蚀 c(r 卜 耐瑞 刀 言箕卜 一 , x(m , )r 一 s(m , )lr 式中 , H 为 eH va is de 函 数 , ; 是 m 维超球半径 , 则吸 引子 的关联 维数 为 : ( 2) D = lim d ( l n (C r ) ) / d( lnr ) (3 ) 选 取不 同 的标尺 ; , 然 后绘 出 in C (r) 与 Inr 的曲线 , 可 计算 出关联 维 数 D . 实 验 中对每 一 种故 障状态 下 的振 动信号 , 以 其 中 4 个不 同的时 间段 , 作 为 4 个 时 间序 列 的原始数 据 , 分别 计算分形 维数 , 最后将 4 个结果 的平均 值做 为该 故 障状态下 分形 维数 . 3 结果与讨论 3 . 1 原 始信号 分形 维数计算结 果 首先 对采 样 得 到 的原 始数 据进 行 了分形 维数 计算 , 如表 1 所示 . 从 表 1 看 出原始 信 号 的 分 形 维数在 不 同运 行状 态下没有明显 差别 , 因而很难 基于 原始信号 的分形维数识别滚 动轴承 的状态和 故 障 的种类 , 故需要 对原 始数 据进行 预处理 , 降低 噪声 对分形维数计算 的影 响 . 3 . 2 经过 处理后信号 的分形 维数 对 经过 降噪处理后 滚 动轴承 振 动 时域 信号进 行分 形 维数计算 , 结 果如 表 2 所 示 . 从 表 2 可 以 看 出 , 正常 轴承 的 振动信 号其 分形 维数最 大 , 一般 接近计 算 时的嵌 人 维数 , 这

·478· 北京科技大学学报 1998年第5期 是因为正常轴承的振动接近随机振动而，因而其分形维数接近重构的嵌入维数.当滚动轴承 发生故障时，由于滚动体在运动过程中周期性的对内、外圈故障部位造成的轻微冲击，滚动轴 承的振动行为不再接近随机振动，振动行为将在相空间趋于某一有限维吸引子或者奇异吸引 子，这样故障状态下计算得到的分形维数将小于正常状态下滚动轴承振动信号的分形维 数.因而在故障诊断或状态监测过程中，滚动轴承振动信号的分形维数下降意味着故障的发 生，分形维数可作为故障诊断和状态监测过程中识别故障、判断滚动轴承运行状态的特征量. 表1滚动轴承原始振动数据的分形维数 表2经处理后滚动轴承振动数据的分形维数 分形维数 分形维数 状态 状态 2 3 4 平均 2 3 平均 正常 8.158.338.27 8.42 8.29 正常 8.08 8.66 8.55 8.93 8.56 外圈点蚀7.987.57 7.70 8.24 7.87 外圈点蚀4.16 2.96 3.48 4.08 3.67 内圈点蚀8.32 8.11 8.38 8.05 8.21 内圈点蚀4.17 3.99 4.10 3.83 4.02 计算分形维数时的嵌入维数为10,1~4为样本号 *计算分形维数时的嵌人维数为10,1~4为样本号 4结论 (1)滚动轴承在不同运行状态下振动信号的分形维数有明显的不同，分形维数可以做为 识别滚动轴承故障的特征量.(2)针对工程应用的问题，给出了有效的信号降噪方法，提高了 信噪比. 参考文献 1 Gans R F.When Is Cutting Chaotic?Journal of Sound and Vibration,1995,188(1):75 2 Khraisheh M K.Time Series Based Analysis for Primary Chatter in Metal Cutting.Journal of Sound and Vibration,1995,180(2):67 3鲁宏伟.分维数估计及其在机床颤振混沌研究中的应用.力学与实践，1995,17(4)：46 4张文明.滚动轴承故障诊断中的分形.北京科技大学学报，1996,18(3)：215 5 Thomas S Parker.Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems.Springer-Verlag:World Publishing Corp,1992.167 Application of Fractal Dimension in Fault Diagnosis of Rolling Bearing Lu Zhimin》Xu Jinwu》Zhang Wujun)Zhai Xusheng 1)Mechanical Engineering School,UST Beijing,Beijing 100083 2)Department of Mechanical Engineering,Hebei University of Technology.Tianjin 300130 ABSTRACT The fractal dimension was applied to describe the non-linear behavior of rolling bearing in different fault conditions and to classify the state of rolling bearing. The experiment results show that the fractal dimension of the vibration signal of rolling bearing is different in different fault conditions and can be used as the characteristics for recognizing the rolling bearings fault. KEY WORDS fault diagnosis;rolling bearings;fractal dimension

. 4 78 . 北 京 科 技 大 学 学 报 19 98 年 第5期 是 因为 正 常轴 承 的振动 接近 随机振 动 [6] , 因 而其 分形 维 数 接近 重构 的嵌入 维数 . 当滚 动轴承 发 生故 障时 , 由于滚 动体在 运动 过程 中周期 性 的对 内 、 外 圈故 障部位 造成 的轻微 冲击 , 滚动轴 承 的振动 行为 不再接 近随 机振 动 , 振 动行 为将在相 空 间趋于 某一有 限维 吸引子或者奇异吸引 子 , 这 样 故 障状 态 下 计算 得 到 的分 形 维数将 小 于 正 常 状 态 下 滚 动 轴 承 振 动信 号的分形 维 数 . 因 而在 故 障诊 断或 状态 监 测 过程 中 , 滚动 轴承 振 动信 号 的分 形 维数下 降意 味着故障的发 生 , 分形维 数可作 为故 障诊 断和 状态 监测 过程 中识别 故 障 、 判 断滚 动轴承 运行状态 的特征量 . 表 1 滚动轴承原始振动数据 的分形维数 表2 经处理后滚动轴承 振动 数据的分形维数 状态 分 形 维 数 正 常 8 . 巧 外 圈点蚀 .7 98 内圈点蚀 8 . 犯 8 . 3 3 7 . 57 8 . 1 1 8 . 2 7 7 . 7 0 8 . 3 8 8 . 4 2 8 . 2 4 8 . 0 5 平均 8 . 2 9 7 . 87 8 . 2 1 状态 分 形 维 数 2 3 4 正 常 .8 0 8 外 圈点蚀 4 . 16 内圈 点蚀 4 . 17 8 . 6 6 2 . 9 6 3 . 9 9 8 . 5 5 3 . 4 8 4 . 1 0 8 . 9 3 4 . 0 8 3 . 8 3 平均 8 . 5 6 3 . 6 7 4 . 0 2 * 计算分形维数时的嵌人维数为 1 0 , 1 一 4为样本号 * 计算分形 维数 时的嵌人维数为 10 , l 一 4 为样本号 4 结论 ( l) 滚 动 轴承 在 不 同运 行状 态下 振 动信号 的分 形 维 数有 明显 的不 同 , 分 形维 数可 以做为 识别 滚 动 轴承 故 障的特 征量 . ( 2) 针对工程 应 用 的问题 , 给 出了有 效 的信号 降噪方 法 , 提 高 了 信噪 比 . 参 考 文 献 1 G a n s R F . W he n l s C u tit n g C h ao it c ? J o u nr al o f s o u n d a n d V i b ar it o n , 19 9 5 , 18 8 ( l ) : 7 5 2 K l l 而s h e h M K . iT m e S e ir e s B as e d nA al y s i s of r P n m a ry C h a t te r i n M e 因 C u t it n g . J o u rn a l o f s o u n d 即d V i bar it o n , 1 9 95 , 1 8 0 (2) : 6 7 3 鲁宏伟 . 分维数估计及其在机床颤振混沌研究 中的应用 . 力学 与实践 , 1 99 5 , 1 7 (4) : 46 4 张文 明 . 滚 动轴承 故障诊断 中的分形 . 北京科技大学学报 , 1 9 96 , 】8 (:3) 2巧 5 hT o m as 5 P ar k e r . P 田 c it e al N 切旧e ir e al lA g o ir th m s fo r C h a o it c S y s et m s . S P ir n g e -r V e lr a g : W o lr d uP bli s hi n g C o pr , 19 9 2 . 1 6 7 A P P li c at i o n o f F r a e t a l D im e n s i o n i n F a u l t D i a g n o s i S o f R o ll i n g B e a r i n g 山 及 i m i n , ) ’ ) xu 五n w u , ) 及 a n g l“ 夕u n , ) 乃 a i xu s h e n g 刀 l ) M e c h a in e al E n g i n e e ir n g S e h o o l , U S T B e ij i n g , B e ij i n g 10 0 0 8 3 2 )块 P a 找n l e n t o f M e e h翻 e a l E n g i n e e ir n g , H e be i U in v e rs i ty o f eT e h n o l o g y , iT a nj i n 30 0 13 0 A B S T R A C T hT e fr a c ta l d im e n s i o n w as a PPli e d to d e s c ir be t h e n o n 一 li n e a r be h a v i o r o f : , 、 ) 11 1 11 9 be a n , 1 9 i n d i fe er n t af u lt c o n id it o n s an d ot e l as s i fy ht e s at et o f or lli n g be a ir n g . hT e e x ep ir m e n t er s u lst s h o w ht a t ht e f r a c alt d im e n s i o n o f ht e v i b ar it o n s i g n a l o f r o lli n g be a ir n g 1 5 d i fe er n t i n d i fe er n t af u lt e o n d iit o n s a n d e a n be u s e d a s th e c h a r a e et ir s it e s fo r er c o g n i z i n g ht e or lli n g be a ir n g s af u l t . K E Y W O R D S af u l t d i a g n o s i s : r o ll 一n g be a ir n g s : fr a e at l d im e n s i o n