曲线拟合问题的提法 已知一组(二维)数据,即平面上n个点(xyi=1,…,n, 寻求一个函数(曲线)y=(x),使f(x)在某种准则下与所有 数据点最为接近,即曲线拟合得最好 y=f(x) 8为点(x1y)与曲线y=f(x)的距离
曲 线 拟 合 问 题 的 提 法 已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi ,yi ) i=1,…n, 寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所有 数据点最为接近，即曲线拟合得最好。 + + + + + + + + + x y y=f(x) (xi ,yi ) i i 为点（xi ,yi ) 与曲线 y=f(x) 的距离
拟合与插值的关系 问题:给定一批数据点,需确定满足特定要求的曲线或曲面 解决方案: 若要求所求曲线(面)通过所给所有数据点,就是插值问题; 若不要求曲线(面)通过所有数据点,而是要求它反映对象 整体的变化趋势,就是数据拟合,又称曲线拟合或曲面拟合 说明: 函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近 似,由于近似的要求不同,二者的数学方法上完全不同。 实例:下面数据是某次实验所得,希望得到x和位之间的关系? 「x1247 912131517 f1.53.96.611.715.618819.620.6|21.1 MATLAB(cn)
拟合与插值的关系 说明： 函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近 似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上完全不同。 实例：下面数据是某次实验所得，希望得到x和 f之间的关系？ x 1 2 4 7 9 12 13 15 17 f 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6 18.8 19.6 20.6 21.1 MATLAB(cn) 问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面 解决方案： •若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象 整体的变化趋势，就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。 •若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题；
最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果:
最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果： 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 5 10 15 20 25 已已已已已 spline 已已已已已已已 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 5 10 15 20 25 已已已已已 linest 已已已已已已已 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 5 10 15 20 25 已已已已已 nearest 已已已已已已已
曲线拟合问题最常用的解法线性最小二乘法的基本思路 第一步:先选定一组函数r1(x),r2(x),…,rm(x,m<n,令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+……+ ar(x) 其中a1,a2,,am为待定系数 第二步:确定a1a2,…am的准则(最小二乘准则): 使n个点(x1y与曲线y=f(x)的距离8的平方和最小。 记J(a1,2 ∑2=∑[f(x)-y ∑Da1k(x,)-y]2(2) 1k=1 问题归结为,求a1,a2,…,m使J(a1,a2,,am)最小
曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路 第一步:先选定一组函数 r1 (x), r2 (x), …rm(x), m<n, 令 f(x)=a1r1 (x)+a2r2 (x)+ …+amrm(x) （1） 其中 a1 ,a2 , …am 为待定系数。 第二步: 确定a1 ,a2 , …am 的准则（最小二乘准则）： 使n个点（xi ,yi ) 与曲线 y=f(x) 的距离i 的平方和最小 。 记 [ ( ) ] (2) ( , , ) [ ( ) ] 2 1 1 2 1 1 2 1 2 k i i n i m k k i n i n i m i i a r x y J a a a f x y = − = = − = = = = 问题归结为，求 a1 ,a2 , …am 使 J(a1 ,a2 , …am) 最小
线性最小二乘法的求解:预备知识 超定方程组:方程个数大于未知量个数的方程组 h1242+…+him2am=y (n>m)即Ra=y Vn1a1+n22+…+nmm=yn 12 Im 其中R y InI n 超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。 如果有向量a使得∑(a+n2a24+…+mmm-y)达到最小, i=1 则称a为上述超定方程的最小二乘解
线性最小二乘法的求解：预备知识 超定方程组：方程个数大于未知量个数的方程组 + + + = + + + = ( ) 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 n m r a r a r a y r a r a r a y n n n m m n m m 即 Ra=y = = = n n n m m n m y y y a a a r r r r r r R 1 1 1 2 1 1 1 2 1 其中 , , 超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。 如果有向量a使得 达到最小， 则称a为上述超定方程的最小二乘解。 2 1 1 1 2 2 ( ) m i n i i i i m r a + r a + + r a − y =