下面举几个例子，说明如何利用复数表示平面曲线。 例5试将圆的方程 A(22+y2)+mx+ny+C=0 改写成复数形式，这里，A,m,m,C为实常数，A≠0，且(m2+) -AC>0. 解令x=x十iy,则有 x=,y= 2 及 x2+y2=返. 将以上三式代入圆的方程，即得复方程 A交+B十B版十C=0, (5) 这里，B=(m十i).反之若A,C为实数，A≠0，且复数B满足 |B2-AC>0,则(5)式是一个圆的方程.这是因为不难把(5)式改 写成 198 +=1BC A 从这个例子可以看出，任何一条用隐式方程F(x,y)=0表示 的平面曲线都可表示为复数方程 r,)=0 例6求方程 12-1+l之+2-i|=6 所表示的复数集合；又若将上式中的等号改成不等号，求其所表示 的复数集合. 解上式表示点z到点1及点一2十i的距离之和为6，所以这 个方程表示以1和一2十1为焦点，长、短半轴分别为3及的椭 圆周.而不等式 |x-1|+|x+2-i|<6 及 12
下面举几个例子!说明如何利用复数表示平面曲线! 例( 试将圆的方程 3""$ '#$#'4"')#'5&, 改写成复数形式!这里!3!4!)!5 为实常数!3#,!且! ."4$')$# &35-,! 解 令$%"'##!则有 "&$'$$ $ ! #&$($$ $# 及 "$ '#$ &$$$! !!将以上三式代入圆的方程!即得复方程 3$$$'6$. '6$$'5&,! "0# 这里!6%! $"4')##!反之!若3!5为实数!3#,!且复数6 满足 %6%$&35-,!则"0#式是一个圆的方程!这是因为不难把"0#式改 写成 $'6 3 $ &%6%$ (35 3$ ! !!从这个例子可以看出!任何一条用隐式方程7""!##%,表示 的平面曲线都可表示为复数方程 7$'$$ $ !$($$ " $# #&,! !!例) 求方程 %$(!%'%$'$(#%&1 所表示的复数集合&又若将上式中的等号改成不等号!求其所表示 的复数集合! 解 上式表示点$到点!及点&$'#的距离之和为1!所以这 个方程表示以!和&$'#为焦点!长,短半轴分别为-及 槡$1 $ 的椭 圆周!而不等式 %$(!%'%$'$(#%)1 及 $!
|x-1+川x+2-i|>6 则分别表示上述椭圆周的内部及外部. 例7方程arg(之一)=于表示从点i出发、与x轴的交角为于 的半射线（不包括起点i). 1.1.5复数的乘方和开方 设是正整数，”表示个x的乘积.当x=0时，”=0.当之 ≠0时，设z=re,由乘法规则，得 2"=r"e =r"(cosn+isinng). (6) 显然，上式对=0（定义°=1）也成立.如果定义 z"=r"[cos(-ng)+isin(-ng)] ="e-w.85 (7) 特别地，在(6)式及(7)式中，令r=1,得 (coso+isin)"=cosn+isinng. 这个公式称为棣莫弗(De Moivre).公式，它对任意整数n都成立 设：为已给复数，方程 w=z (8) 的所有解称为之的n次方根，记作W:.当=0时，方程(8)只有唯一 解=0.当≠0时，设x=re,=oe,代人(8)式，并利用棣莫弗 公式，得 o"eio =re, 再比较等式两端，得 0”=r, 0=o十2kr(k=0,士1，士2，.). 由于p和r都是正实数，故由第一式即可唯一确定p,并记为 p=(F), 其中，圆括号表示ρ是r的唯一正实根（算术根）.由第二式可得 13
%$(!%'%$'$(#%-1 则分别表示上述椭圆周的内部及外部! 例* 方程764"$&##%! .表示从点#出发,与"轴的交角为! . 的半射线"不包括起点##! !"!"( 复数的乘方和开方 设)是正整数!$) 表示)个$的乘积!当$%,时!$) %,!当$ #,时!设$%1)#!!由乘法规则!得 $) &1) )#)! &1)"9:;)!'#;#<)!#! "1# 显然!上式对)%,"定义$,%!#也成立!如果定义 $() & ! $)! 则 $()&1()-9:;"()!#'#;#<"()!#. &1() )&#)! ! "2# 特别地!在"1#式及"2#式中!令1%!!得 "9:;!'#;#<!#) &9:;)!'#;#<)!! 这个公式称为棣莫弗">)?:#@6)#公式!它对任意整数)都成立! 设$为已给复数!方程 0) &$ "8# 的所有解称为$的)次方根!记作) 槡$!当$%,时!方程"8#只有唯一 解0%,!当$#,时!设$%1)#!!0%#)#"!代入"8#式!并利用棣莫弗 公式!得 # ) )#)" &1)#"! 再比较等式两端!得 # ) &1! )"&!'$2$ "2&,!8!!8$!)#! 由于#和1都是正实数!故由第一式即可唯一确定#!并记为 #& )" #槡1 ! 其中!圆括号表示#是1的唯一正实根"算术根#!由第二式可得 -!
0=9十2k红 由此即得出公式 ()(cos t2kisin) (k=0,1,2,.,n-1). 例8求一8的全部值. 解把一8表示成三角形式，为 8=23(cosn +isin), 故有 -8=2(cos+,2kx+isin+2k红)(k=0,1,2), 3 3 1+5i(k=0) 8={-2(k=1) 1-√3i(k=2). 1.2复数序列的极限、无穷远点 定义设，2，.，.是一个复数序列，0是已给复数， 如果 lim|m-20|=0, 就称复数是复数列{：n}的极限，记作limn=o或，→o. 上述定义用“eVN”的语言来说就是：对任给正数e>0,存在自 然数N,使得当>N时，总有 |m-o|<e. 也就是说，当n>N时，点m全部落入以之o为圆心、e为半径的 圆内 设o=xo十iyo,2n=xn十iyn（n=1,2,.),则由不等式 |xm-x0|(或|ym-)≤|-1 ≤|xm-o十|ym-%| 名
"&!'$2! ) ! 由此即得出公式 ) 槡$ & )" #槡1 9:;!'$2! ) '#;#<!'$2! " ) # "2&,!!!$!)!)(!#! !!例+ 求 - 槡&8的全部值! 解 把&8表示成三角形式!为 (8&$-"9:;!'#;#<!#! 故有 - 槡(8&$9:; !'$2! - '#;#<!'$2! " - #"2&,!!!$#! 即 - 槡(8& !'槡-# "2&,# ($ "2&!# !(槡-# "2&$# * + , ! !"$ 复数序列的极限!无穷远点 定义 设$!!$$!)!$)!)是一个复数序列!$, 是已给复数! 如果 A#+)/'B%$) ($,%&,! 就称复数$, 是复数列$$)%的极限!记作A#+)/'B $)%$, 或$)/$,! 上述定义用*%9:+的语言来说就是'对任给正数%-,!存在自 然数:!使得当)-: 时!总有 %$) ($,%)%! 也就是说!当)-: 时!点$) 全部落入以$, 为圆心,%为半径的 圆内! 设$,%",'##,!$)%")'##) ")%!!$!)#!则由不等式 %") (",%"或%#) (#,%#'%$) ($,% '%") (",%'%#) (#,% .!
立即得到下述定理： 定理复极限1im,=0等价于两个实极限： lim =0,lim y =yo. 如果复数列1,2，.，2n,.具有这样的性质：对任意正数M, 总可以找到一个自然数N,使得当n>N时有|.I>M,即当n增 大时，的模可以变得大于任意预先指定的界限，那么我们就说这 个数列收敛于无穷远点，并记作 limn=oo. 通过上面的定义，实际上是在复数平面上增加了一个“理想 点”一无穷远点，记作∞.对此，我们通过复数的球面表示法来作 出一个直观的解释. 取一个在原点O与：平面相切的球面，过O点作：平面的垂 线与球面交于N点，N称为北极或球极（图1.4）.对于平面上的任 一点，用一条空间直线把它和球极N连接起来，这条直线还和球 面相交于另一点Z.显然，对于每一个复数，都对应于球面上不是 N的唯一的点Z;反之，球面上除N以外的每一个点Z,也对应于 唯一的复数之.这样，就建立起了球面上的点（不包括北极点N)与 复平面上的点之间的一一对应，因而可以用球面上的点Z表示复 数之=x十y.从几何上很容易看出，之平面上每一个以原点为圆心 的圆周都对应着球面上的某一个纬圈，这个圆周外面的点则对应 于相应纬圈以北的点.而且，点之的模越大，与它相应的点Z就越 15
立即得到下述定理' 定理 复极限A#+)/'B $)%$, 等价于两个实极限' A#+)/'B ") &,! A#+)/'B #) &#,! !!如果复数列$!!$$!)!$)!)具有这样的性质'对任意正数 ;! 总可以找到一个自然数 :!使得当)-: 时有%$)%-;!即当)增 大时!$) 的模可以变得大于任意预先指定的界限!那么我们就说这 个数列收敛于无穷远点!并记作 A#+)/'B $) & B! !!通过上面的定义!实际上是在复数平面上增加了一个*理想 点+///无穷远点!记作B!对此!我们通过复数的球面表示法来作 出一个直观的解释! 图!'& 取一个在原点/与$平面相切的球面!过/ 点作$ 平面的垂 线与球面交于: 点!: 称为北极或球极"图!".#!对于平面上的任 一点$!用一条空间直线把它和球极: 连接起来!这条直线还和球 面相交于另一点<!显然!对于每一个复数$!都对应于球面上不是 : 的唯一的点<&反之!球面上除 : 以外的每一个点<!也对应于 唯一的复数$!这样!就建立起了球面上的点"不包括北极点 :#与 复平面上的点之间的一一对应!因而可以用球面上的点< 表示复 数$%"'##!从几何上很容易看出!$平面上每一个以原点为圆心 的圆周都对应着球面上的某一个纬圈!这个圆周外面的点则对应 于相应纬圈以北的点!而且!点$的模越大!与它相应的点< 就越 0!
靠近北极点N.为了使得球面上的北极点N也在：平面上有一个 对应点，我们就约定在：平面上引进一个理想点，称为无穷远点， 增加了∞点的复数平面称为扩充平面或闭复平面，与它对应 的就是整个球面，称为复数球面或黎曼(Riemann)球面.由上面的 讨论可知，扩充平面的一个几何模型就是复数球面.原来的复数平 面则称为开平面或有限平面 关于无穷远点，我们还作如下一些约定： 1)∞点的实部、虚部及辐角都无意义，其模|∞=十∞. 2)若a≠0，则a·0∞=∞·a=∞，号=0∞ 3》若a0.则a吐o∞=o士a=0号=0，号=60 4)在闭复平面上，任何一个以原点O为中心的圆的外部区域 |z>R都称为无穷远点的邻域，从复数球面上看，它对应着某个 纬圈以北的部分. 我们还约定，以后某些论断涉及到闭平面时，则强调这个“闭” 字；凡是没有特别指明的地方，均指开复平面. 1.3平面点集 1.3.1基本概念 关于平面点集的一些基本概念，在高等数学中已经学过，这里 先把这些概念回顾一下 设是复平面上一点，P是任一正数，点集 (1z-zI<o 称为的p邻域. 设已给集E,利用邻域可以把复平面上的点分类.设M是复平 面上一点，如果M有一个ρ邻域完全属于集E,则M称为E的内 点.若M的任一ρ邻域内既有集E的点，也有非E的点，则M称为 E的边界点.边界点可以属于集E,也可不属于集E.若M有一个p 16
靠近北极点:!为了使得球面上的北极点 : 也在$ 平面上有一个 对应点!我们就约定在$平面上引进一个理想点!称为无穷远点! 增加了B点的复数平面称为扩充平面或闭复平面!与它对应 的就是整个球面!称为复数球面或黎曼"(#)+7<<#球面!由上面的 讨论可知!扩充平面的一个几何模型就是复数球面!原来的复数平 面则称为开平面或有限平面! 关于无穷远点!我们还作如下一些约定' !#B点的实部,虚部及辐角都无意义!其模%B%%'B! $#若+#,!则+(B%B(+%B!+ ,%B! -#若+#B!则+/B%B/+%B!+ B%,!B +%B! .#在闭复平面上!任何一个以原点/ 为中心的圆的外部区域 %$%-= 都称为无穷远点的邻域!从复数球面上看!它对应着某个 纬圈以北的部分! 我们还约定!以后某些论断涉及到闭平面时!则强调这个*闭+ 字&凡是没有特别指明的地方!均指开复平面! !"- 平 面 点 集 !"%"! 基本概念 关于平面点集的一些基本概念!在高等数学中已经学过!这里 先把这些概念回顾一下! 设$, 是复平面上一点!#是任一正数!点集 $$ %$($,%)#% 称为$, 的#邻域! 设已给集>!利用邻域可以把复平面上的点分类!设; 是复平 面上一点!如果; 有一个#邻域完全属于集>!则 ; 称为> 的内 点!若; 的任一#邻域内既有集> 的点!也有非>的点!则; 称为 >的边界点!边界点可以属于集>!也可不属于集>!若; 有一个# 1!