CHEN,SUIA 2019-12 量子物理部分习题解答(2019FALL) 量子物理部分习题解答 Chapter1 1.K的电子逸出功是2.2eV,Ni的电子逸出功是5.0eV,而1eV=1.6×10-12erg,波长为 4000A的紫光能否引起金属K和Ni的光电效应？ A:采用cmg5单位制(1erg=1gcm2s2=107J=6.2415×101eV)，将1=4000A带入公式 hc_6.63×10-2”ergs×3×109qmE=497×10-erg=3.11ey E=hw=元= 4000×10-8cm 与电子逸出功比较，可知该光可以引起K的光电效应而不能引起N的光电效应。 2.考虑相对论效应，则以速度ν运动的粒子的动能为 T=4oc2/W1-p2/c2-4oc2 其中，为粒子静止质量。试证明当p《c时，T≈o2 A:当v《c时，：≈0,1-2/c2≈1；又根据泰勒展开V1-x=三x,因此动能可以变形为 1132 T=c21-27E/1-1E*%c21-zW1-p21E*z2 3.计算红光入=6000A和X射线1=1A的一个光子的能量、动量和质量。 A:对于光子，能量E=hu=hc/a,动量p=h/a,质量由质能方程E=mc给出：将波长分别代 入以上公式即可得到能量、动量和质量 x/A e川 p/kg·m·s1 m/ka 6000 3.31×10-19 1.10×10-27 3.68×10-36 1 2.00×10-56.63×10-24 2.21×10-32 需要注意的是，对于光子，如下方程是不成立的 E=p2/2m 此外注意单位的统一， 一个题目里最好使用同一个单位制，我个人一般喜欢全部转换为国际单 位，比如动量单位写为kg·m·s1。而如果写成erg.s-m2这样是不伦不类的。 4,试求下列各粒子的de Broglie波长：(a)100eV的自由电子。(b)0.1eV,质量为1g的粒子。 A:对于实物粒子，我们可以用公式 e=p2/2m 计算动量，从而由公式入=h/p来计算de Broglie波长。 代入数据得到a)1.23A:(b)1.2×10-22m 1/34
CHEN, SIJIA 2019-12 量子物理部分习题解答（2019FALL） 1 / 34 量子物理部分习题解答 Chapter1 1. K 的电子逸出功是 2.2 eV，Ni 的电子逸出功是 5.0 eV，而 1 eV=1.6×10-12 erg，波长为 4000 Å 的紫光能否引起金属 K 和 Ni 的光电效应？ A: 采用 cm·g·s 单位制（1 erg = 1g·cm2 /s2 = 10−7 J = 6.2415×1011eV），将𝜆 = 4000Å带入公式 𝜖 = ℎ𝜐 = ℎ𝑐 𝜆 = 6.63 × 10−27𝑒𝑟𝑔 ∙ 𝑠 × 3 × 1010𝑐𝑚/𝑠 4000 × 10−8𝑐𝑚 = 4.97 × 10−12𝑒𝑟𝑔 = 3.11𝑒𝑉 与电子逸出功比较，可知该光可以引起 K 的光电效应而不能引起 Ni 的光电效应。 2. 考虑相对论效应，则以速度 v 运动的粒子的动能为 𝑇 = 𝜇0𝑐 2 /√1 − 𝑣 2/𝑐 2 − 𝜇0𝑐 2 其中𝜇0为粒子静止质量。试证明当𝑣 ≪ 𝑐时，𝑇 ≈ 1 2 𝜇0𝑣 2 . A: 当𝑣 ≪ 𝑐时，𝑣 𝑐 ≈ 0, 1 − 𝑣 2 /𝑐 2 ≈ 1; 又根据泰勒展开√1 − 𝑥 = 1 2 𝑥，因此动能可以变形为 𝑇 = 𝜇0𝑐 2 (1 − √1 − 𝑣 2/𝑐 2)/√1 − 𝑣 2/𝑐 2 ≈ 𝜇0𝑐 2 (1 − (1 − 1 2 𝑣 2 𝑐 2 ))/√1 − 𝑣 2/𝑐 2 ≈ 1 2 𝜇0𝑣 2 3. 计算红光𝜆 = 6000Å和 X 射线𝜆 = 1Å的一个光子的能量、动量和质量。 A: 对于光子，能量𝐸 = ℎ𝜐 = ℎ𝑐/𝜆，动量𝑝 = ℎ/𝜆，质量由质能方程𝐸 = 𝑚𝑐 2给出；将波长分别代 入以上公式即可得到能量、动量和质量。 𝜆/Å 𝜖/𝐽 𝑝/𝑘𝑔 ∙ 𝑚 ∙ 𝑠 −1 𝑚/𝑘𝑔 6000 3.31 × 10−19 1.10 × 10−27 3.68 × 10−36 1 2.00 × 10−15 6.63 × 10−24 2.21 × 10−32 需要注意的是，对于光子，如下方程是不成立的 𝜖 = 𝑝 2 /2𝑚 此外注意单位的统一，一个题目里最好使用同一个单位制，我个人一般喜欢全部转换为国际单 位，比如动量单位写为𝑘𝑔 ∙ 𝑚 ∙ 𝑠 −1。而如果写成 erg·s·m-1这样是不伦不类的。 4，试求下列各粒子的 de Broglie 波长：(a) 100 eV 的自由电子。(b) 0.1 eV，质量为 1g 的粒子。 A: 对于实物粒子，我们可以用公式 𝜖 = 𝑝 2 /2𝑚 计算动量，从而由公式𝜆 = ℎ/𝑝来计算 de Broglie 波长。 代入数据得到(a) 1.23 Å; (b) 1.2 × 10−22m
CHEN.SUIA 2019-12 量子物理部分习题解答(2019FALL) 5,质量为m的粒子，在弹性力-kx作用下运动，试写出其Schrodinger方程。 A:写出薛定谔方程，首先应该先写出哈密顿算符为， h2 02 月-编票+分如 则其含时薛定谔方程、定态薛定谔方程分别为 Aψ(x)=E(x) h品Ψ(x,)=Ψx,) 注意：注明波函数的变量，且如果未明确说写定态薛定谔方程时，最好将含时薛定谔方程和定态 薛定谔方程都写出来。 6,写出一个被束缚在半径为a的圆周上运动的粒子的薛定谔方程，并求其解。 A:由于被束缚在圆周上，因此相当于是一个一维问题，不含时波函数的自变量为角度，其薛定 谔方程为： h2 d2 2ma0(0)=E(8) 其通解为 o)Aun()+Bcos) 考虑自然边界条件，()=(0+2π)，得到 av2mE n,nEZ 方 又由归一化条件得到 AR+B2=元 故薛定谔方程的解为 (0)=√1/元sin(n0+6) 其中n∈Z,tan6=B/A. 7,已知在一维方势阱中运动的粒子的波函数为妙=√2/asn(一x),其中a为势阱长度。试计 算：(a)粒子动量的平方：(b)n取何值时，粒子在区间0，a的几率最大 A:(a)已知 e=p2/2m 又已知对于一维方势阱中的粒子，其能量为 2/34
CHEN, SIJIA 2019-12 量子物理部分习题解答（2019FALL） 2 / 34 5，质量为 m 的粒子，在弹性力-kx 作用下运动，试写出其 Schrödinger 方程。 A: 写出薛定谔方程，首先应该先写出哈密顿算符为， 𝐻̂ = − ℎ 2 2𝑚 𝜕 2 𝜕𝑥 2 + 1 2 𝑘𝑥 2 则其含时薛定谔方程、定态薛定谔方程分别为 𝐻̂𝜓(𝑥) = 𝐸𝜓(𝑥) 𝑖ℏ 𝜕 𝜕𝑡 Ψ(𝑥,𝑡) = 𝐻̂Ψ(𝑥,𝑡) 注意：注明波函数的变量，且如果未明确说写定态薛定谔方程时，最好将含时薛定谔方程和定态 薛定谔方程都写出来。 6，写出一个被束缚在半径为 a 的圆周上运动的粒子的薛定谔方程，并求其解。 A: 由于被束缚在圆周上，因此相当于是一个一维问题，不含时波函数的自变量为角度 θ，其薛定 谔方程为： − ℏ 2 2𝑚𝑎 2 𝑑 2 𝑑𝜃 2 𝜓(𝜃) = 𝐸𝜓(𝜃) 其通解为 𝜓(𝜃) = 𝐴𝑠𝑖𝑛( 𝑎√2𝑚𝐸 ℏ 𝜃) + 𝐵𝑐𝑜𝑠( 𝑎√2𝑚𝐸 ℏ 𝜃) 考虑自然边界条件，𝜓(𝜃) = 𝜓(𝜃 + 2𝜋)，得到 𝑎√2𝑚𝐸 ℏ = 𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍 又由归一化条件得到 𝐴 2 + 𝐵 2 = 1 𝜋 故薛定谔方程的解为 𝜓(𝜃) = √1/𝜋𝑠𝑖𝑛(𝑛𝜃 + 𝛿) 其中𝑛 ∈ 𝑍,𝑡𝑎𝑛𝛿 = 𝐵/𝐴. 7，已知在一维方势阱中运动的粒子的波函数为𝜓 = √2/𝑎𝑠𝑖𝑛( 𝑛𝜋 𝑎 𝑥)，其中 a 为势阱长度。试计 算：(a) 粒子动量的平方；(b) n 取何值时，粒子在区间[0, 1 4 𝑎]的几率最大。 A: (a)已知 𝜖 = 𝑝 2 /2𝑚 又已知对于一维方势阱中的粒子，其能量为
CHEN,SUIA 2019-12 量子物理部分习题解答(2019FALL) 2maz 故粒子动量的平方为 p=2mE =nin'hnh? a- 4a2,n=1,23 或者利用粒子的动量算符计算 ()所求概率为 1 P∈0，= 所以当n=3时，所求概率最大。 注意：粒子出现在某区域的概率是对该区域的波函数平方积分。另外粒子动量不处于本征态，没 有确定值，测量的均值为0，与经典物理有很大区别。 9,证明p(x)=ek红是动量算符px的本征函数，并说明k的取值情况。 A:动量算符在坐标表象下的表达式为 我=-h录 将动量算符作用于(x)=ekx而得到 x(x)=-ihkekx pxekx 其中px=-h为实数，得证。所以k为纯虚数或0. 10,试计算2离子25和2p轨道上电子的电离能， A:2为单电子原子，中心核电荷数为3，利用单电子原子模型，能量为 72 En=-2nz (d.u.) 代入n=2,得到 1E.=E-2=au 14,验证 =c1(1+czr)e-ar 是氢原子薛定谔方程的解，并确定c1,c2,a和能量E。 3/34
CHEN, SIJIA 2019-12 量子物理部分习题解答（2019FALL） 3 / 34 𝐸 = 𝑛 2𝜋 2ℏ 2 2𝑚𝑎 2 故粒子动量的平方为 𝑝 2 = 2𝑚𝐸 = 𝑛 2𝜋 2ℏ 2 𝑎 2 = 𝑛 2ℎ 2 4𝑎 2 , 𝑛 = 1, 2, 3 . 或者利用粒子的动量算符计算 𝑝 2 = ⟨𝜓|𝑝̂ 2 |𝜓⟩ = ∫ 𝜓 ∗ (𝑥)(−𝑖ℏ 𝜕 𝜕𝑥) 2𝜓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎 0 = 𝑛 2ℎ 2 4𝑎 2 , 𝑛 = 1, 2, 3 . (b)所求概率为 𝑃(𝑥 ∈ [0, 1 4 𝑎]) = ∫ |𝜓(𝑥)| 2𝑑𝑥 1 4 𝑎 0 = 1 4 (1 − 2𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜋 2 𝑛𝜋 ) 所以当 n=3 时，所求概率最大。 注意：粒子出现在某区域的概率是对该区域的波函数平方积分。另外粒子动量不处于本征态，没 有确定值，测量的均值为 0，与经典物理有很大区别。 9，证明𝜓(𝑥) = 𝑒 𝑘𝑥是动量算符𝑝̂𝑥的本征函数，并说明 k 的取值情况。 A: 动量算符在坐标表象下的表达式为 𝑝̂𝑥 = −𝑖ℏ 𝜕 𝜕𝑥 将动量算符作用于𝜓(𝑥) = 𝑒 𝑘𝑥而得到 𝑝̂𝑥𝜓(𝑥) = −𝑖ℏ𝑘𝑒 𝑘𝑥 = 𝑝𝑥𝑒 𝑘𝑥 其中𝑝𝑥 = −𝑖𝑘ℏ为实数，得证。所以 k 为纯虚数或 0. 10，试计算 Li2+离子 2s 和 2p 轨道上电子的电离能。 A: Li 2+为单电子原子，中心核电荷数为 3，利用单电子原子模型，能量为 𝐸𝑛 = − 𝑍 2 2𝑛 2 (𝑎. 𝑢. ) 代入 n=2，得到 𝐼. 𝐸. = 𝐸∞ − 𝐸2 = 9 8 𝑎. 𝑢. 14，验证 𝜓 = 𝑐1(1 + 𝑐2𝑟)𝑒 −𝑎𝑟 是氢原子薛定谔方程的解，并确定𝑐1, 𝑐2, 𝑎和能量 E
CHEN.SUIA 2019-12 量子物理部分习题解答(2019FAL) A:考虑到题目中的妙=()，因此只需考虑哈密顿算符的径向部分，即 21a (1)首先考虑c2=0的情况 中=G1e-ar 显然，当a=me2/h2时，中满足薛定谔方程，此时 然后求归一化系数为 -自-用 =(月 =0 a=me2/h2 E=-2 (2)考虑c2≠0的情况 aa+onem=（-ea0-gr）片+六ac-ar-era-六cde 若满足该函数是该哈密顿量的本征函数，则要求右式括号内的系数为0，同时满足 [片(4a2-a2-e2c)-六a2c=k1+c2则要求编(4a-a2-e2c)=荒a2 -e0-e2=0a=+g m 将a=2+g带入元(4a2-a2-票e2c2)=六a2,解得 c2=-2 则 me2 a=20 求得本征能量为 4/34
CHEN, SIJIA 2019-12 量子物理部分习题解答（2019FALL） 4 / 34 A: 考虑到题目中的𝜓 = 𝜓(𝑟)，因此只需考虑哈密顿算符的径向部分，即 𝐻̂ = − ℏ 2 2𝑚 1 𝑟 2 𝜕 𝜕𝑟 (𝑟 2 𝜕 𝜕𝑟) − 𝑒 2 𝑟 (1)首先考虑𝑐2 = 0的情况 𝜓 = 𝑐1𝑒 −𝑎𝑟 𝐻̂𝜓 = [ 𝑎ℏ 2 − 𝑚𝑒 2 𝑚𝑟 − 𝑎 2ℏ 2 2𝑚 ] 𝜓 显然，当𝑎 = 𝑚𝑒 2 /ℏ 2时，𝜓满足薛定谔方程，此时 𝐸 = − 𝑎 2ℏ 2 2𝑚 = − 𝑚𝑒 4 2ℏ 2 然后求归一化系数为 𝑐1 = ( 𝑎 3 𝜋 ) 1/2 = ( 𝑚3 𝜋 ) 1/2 ( 𝑒 ℏ ) 3 故 { 𝑐1 = ( 𝑚3 𝜋 ) 1/2 ( 𝑒 ℏ ) 3 𝑐2 = 0 𝑎 = 𝑚𝑒 2 /ℏ 2 𝐸 = − 𝑚𝑒 4 2ℏ 2 (2)考虑𝑐2 ≠ 0的情况 𝐻̂(1 + 𝑐2𝑟)𝑒 −𝑎𝑟 = [(− ℏ 2 (𝑐2 − 𝑎) 𝑚 − 𝑒 2) 1 𝑟 + ℏ 2 2𝑚 (4𝑎𝑐2 − 𝑎 2 − 2𝑚 ℏ 2 𝑒 2 𝑐2) − ℏ 2 2𝑚 𝑎 2 𝑐2] 𝑒 −𝑎𝑟 若满足该函数是该哈密顿量的本征函数，则要求右式括号内1 𝑟 的系数为 0，同时满足 [ ℏ 2 2𝑚 (4𝑎𝑐2 − 𝑎 2 − 2𝑚 ℏ 2 𝑒 2 𝑐2) − ℏ 2 2𝑚 𝑎 2 𝑐2] = 𝑘(1 + 𝑐2)，则要求 ℏ 2 2𝑚 (4𝑎𝑐2 − 𝑎 2 − 2𝑚 ℏ 2 𝑒 2 𝑐2) = ℏ 2 2𝑚 𝑎 2 − ℏ 2 (𝑐2 − 𝑎) 𝑚 − 𝑒 2 = 0, 𝑎 = 𝑐2 + 𝑚𝑒 2 ℏ 2 将𝑎 = 𝑐2 + 𝑚𝑒 2 ℏ 2 带入ℏ 2 2𝑚 (4𝑎𝑐2 − 𝑎 2 − 2𝑚 ℏ 2 𝑒 2 𝑐2) = ℏ 2 2𝑚 𝑎 2，解得 𝑐2 = − 𝑚𝑒 2 2ℏ 2 则 𝑎 = 𝑚𝑒 2 2ℏ2 求得本征能量为
CHEN,SUJIA 2019-12 量子物理部分习题解答(2019FALL) B=六c2=- 方2 最后求得归一化系数c (月 6= 故9-器 (E=- 15,求氢原子中处于中1状态的电子矢径r的平均值r)。 A:中1态的波函数为 1 中=后e7a 则矢径的平均值为 注意：三维空间中对矢径积分的体积元为4r2dr,而不是dr。 16,求氢原子中处于1态的电子出现在r=2a的球内的几率 A:中1s态的波函数为 1 中=辰re-a Pr<2a)=1w.4m2=1-吕*076 注意：体积元及积分区域。 17,求氢原子中处于中2p,状态的电子出现在0≤45的圆锥内的几率。 A:考虑2p,状态的波函数角度部分 3 10= 5/34
CHEN, SIJIA 2019-12 量子物理部分习题解答（2019FALL） 5 / 34 𝐸 = − ℏ 2 2𝑚 𝑎 2 = − 𝑚𝑒 4 8ℏ 2 最后求得归一化系数𝑐1 𝑐1 = ( 𝑎 3 𝜋 ) 1/2 故 { 𝑐1 = ( 𝑎 3 𝜋 ) 1/2 𝑐2 = − 𝑚𝑒 2 2ℏ 2 𝑎 = 𝑚𝑒 2 2ℏ 2 𝐸 = − 𝑚𝑒 4 8ℏ 2 15，求氢原子中处于𝜓1𝑠状态的电子矢径 r 的平均值〈𝑟〉。 A: 𝜓1𝑠态的波函数为 𝜓 = 1 √𝜋 𝑎0 −3/2 𝑒 −𝑟/𝑎0 则矢径的平均值为 〈𝑟〉 = ⟨𝜓|𝑟|𝜓⟩ = ∫ 𝑟|𝜓| 2 ∙ 4𝜋𝑟 2𝑑𝑟 +∞ 0 = 4 𝑎0 3 ∫ 𝑟 3𝑒 −2𝑟/𝑎0𝑑𝑟 +∞ 0 = 3 2 𝑎0 注意：三维空间中对矢径积分的体积元为4𝜋𝑟 2𝑑𝑟，而不是𝑑𝑟。 16，求氢原子中处于𝜓1𝑠态的电子出现在𝑟 = 2𝑎0的球内的几率。 A: 𝜓1𝑠态的波函数为 𝜓 = 1 √𝜋 𝑎0 −3/2 𝑒 −𝑟/𝑎0 而 𝑃(𝑟 < 2𝑎0) = ∫ |𝜓| 2 ∙ 4𝜋𝑟 2𝑑𝑟 2𝑎0 0 = 1 − 13 𝑒 4 ≈ 0.76 注意：体积元及积分区域。 17，求氢原子中处于𝜓2𝑝𝑧状态的电子出现在𝜃 ≤ 45°的圆锥内的几率。 A: 考虑𝜓2𝑝𝑧状态的波函数角度部分 𝑌10 = √ 3 4𝜋 𝑐𝑜𝑠𝜃