数字逻辑电路学习指导 2020秋数字逻辑电路06班 ·熟练掌握卡诺图的绘制以及应用卡诺图化简逻辑函数的方法 ·了解无关项的概念以及含无关项逻辑函数化简方法 ·熟练掌握逻辑函数常见形式的转换 4.3学习方法 ·理解清楚逻辑运算、逻辑代数、逻辑函数的基本概念 ·理解无关项的概念，并注意区分约束项和任意项 ·熟练掌握逻辑函数的不同描述方法，注意比较不同描述方法的区别，从而理解转 换的目的 ·理解逻辑代数基本定理的思想，认真理解教材例题，思考代入定理和反演定理的 意义 ◇ ·理解卡诺图方法的原理，了解卡诺图中每个元素和最小项之间的对应关系 ·注意卡诺图中元素的相邻和几何相邻之间的区别与联系 ·可以考虑以展开法的思路理解卡诺图中的元素相邻（将低阶卡诺图作对称翻折，得 到高阶卡诺图) ·熟练掌握基于反演定理实现逻辑函数常见形式的转换 4.4 思考题 ·你能各举出一个现实生活中存在的与、或、非逻辑关系的事例吗？ 答：略. ·两个变量的异或运算和同或运算之间是什么关系？ 答：是非的关系 ·在逻辑代数的基本公式当中，照些公式的运算规则和普通代数的运算规则是相同 的？哪些是不同，需要特别记住的？ 答：相同的有0A=0:1·A=A;A+B=B+A;A(B.C)=(AB)C;A(B+C)= A·B+A·C:0+A=A;A·B=B·A;A+(B+C)=(A+B)+C 不相同的有A·A=A;AA=0:(ABy=A+B;(A)}=A;1'=0:0'=1;1+A= 1;A+A=A;A+A'=1;A+B·C=(A+B)·(A+C);(A+B)'=A'.B 可以考虑用集合的观点理解逻辑运算 15
2020 秋数字逻辑电路 06 班 数字逻辑电路学习指导 2020 秋数字逻辑电路 06 班 • 熟练掌握卡诺图的绘制以及应用卡诺图化简逻辑函数的方法 • 了解无关项的概念以及含无关项逻辑函数化简方法 • 熟练掌握逻辑函数常见形式的转换 4.3 学习方法 • 理解清楚逻辑运算、逻辑代数、逻辑函数的基本概念 • 理解无关项的概念，并注意区分约束项和任意项 • 熟练掌握逻辑函数的不同描述方法，注意比较不同描述方法的区别，从而理解转 换的目的 • 理解逻辑代数基本定理的思想，认真理解教材例题，思考代入定理和反演定理的 意义 • 理解卡诺图方法的原理，了解卡诺图中每个元素和最小项之间的对应关系 • 注意卡诺图中元素的相邻和几何相邻之间的区别与联系 • 可以考虑以展开法的思路理解卡诺图中的元素相邻 (将低阶卡诺图作对称翻折，得 到高阶卡诺图) • 熟练掌握基于反演定理实现逻辑函数常见形式的转换 4.4 思考题 • 你能各举出一个现实生活中存在的与、或、非逻辑关系的事例吗? 答：略. • 两个变量的异或运算和同或运算之间是什么关系? 答：是非的关系. • 在逻辑代数的基本公式当中, 照些公式的运算规则和普通代数的运算规则是相同 的? 哪些是不同, 需要特别记住的? 答：相同的有 0·A = 0; 1·A = A; A+B = B+A; A·(B·C) = (A·B)·C; A·(B+C) = A · B + A · C; 0 + A = A; A · B = B · A; A + (B + C) = (A + B) + C 不相同的有 A·A = A; A·A′ = 0; (A·B) ′ = A′+B′ ; (A′ ) ′ = A; 1′ = 0; 0′ = 1; 1+A = 1; A + A = A; A + A′ = 1; A + B · C = (A + B) · (A + C); (A + B) ′ = A′ · B′ 可以考虑用集合的观点理解逻辑运算. 15
数字逻辑电路学习指导 2020秋数字逻辑电路06班 。代入定理中对逻辑式的形式和复杂程度有无限制？ 答：无限制 ·利用反演定理对给定逻辑式求反时，应如何处理变换的优先顺序和式中所有的非 运算符号？ 答：优先顺序：括号>非>与>或，括号的优先级最高.关于非运算：单变量上的 非运算符号要去掉，不属于单变量上的非运算符号保持不变 ·逻辑函数的表示方法有哪几种？你能把由任何一种表示方法给出的逻辑函数转换 为由其他任何一种表示方法表示的逻辑函数吗？ 答：逻辑函数的表示方法包括真值表、逻辑函数式、逻辑图、波形图、卡诺图， 从真值表到函数式的转换方法为：读出所有函数值为1所对应的最小项，求和即 可得逻辑函数的标准表达形式，即最小项之和形式 从逻辑函数式到逻辑图的转换方法为：利用逻辑运算符号图形表示代替逻辑运算， 整理可得 从逻辑图到逻辑函数式的转换方法为：用逻辑运算代替逻辑运算符号图形表示即 可得 从逻辑函数式到波形图的转换方法是：按照时间顺序依次写出输入，代入逻辑函 数式得到输出，即可画出波形图 从波形图到卡诺图的转换方法为：读出波形图中每一时刻的输入和输出，将输入 对应到卡诺图的一个方块，填入输入，当卡诺图填满时转换完成 从卡诺图到真值表的转换方法为：根据卡诺图的每一个方块对应的输入变量取值， 将方块内的值填入真值表即可. 类似地可得其他所有转换方法。 ·在逻辑函数的真值表和波形图中，任意改变各组输入和输出取值的排列所序对函 数有无影响？ 答：没有影响， ·卡诸图化简法所依据的基本原理是什么？ 答：逻辑相邻的两个最小项作或运算时，其结果是二者合并为一项，并消去一对互 为反变量的因子.在低阶卡诺图上，很容易用几何相邻表达逻辑相邻（要注意逻辑 相邻和几何相邻不是严格等价，哪怕是对于低阶卡诺图) ·卡诺图两侧变量取值的标注次序应遵守什么规则？ 答：相邻两个标注之间只有一个变量不同，以保证逻辑相邻和几何相邻的一致性， 可以按照格雷码的书写方法书写变量取值 ·Q一M法所依据的基本原理是什么？答：通过合并相邻最小项并消去多余因子 而获得最简的与或式（不要求掌握这种方法，但可以认识到，其本质思想仍然是通 16
2020 秋数字逻辑电路 06 班 数字逻辑电路学习指导 2020 秋数字逻辑电路 06 班 • 代入定理中对逻辑式的形式和复杂程度有无限制? 答：无限制. • 利用反演定理对给定逻辑式求反时, 应如何处理变换的优先顺序和式中所有的非 运算符号? 答：优先顺序: 括号-> 非-> 与-> 或, 括号的优先级最高. 关于非运算: 单变量上的 非运算符号要去掉, 不属于单变量上的非运算符号保持不变. • 逻辑函数的表示方法有哪几种？你能把由任何一种表示方法给出的逻辑函数转换 为由其他任何一种表示方法表示的逻辑函数吗? 答：逻辑函数的表示方法包括真值表、逻辑函数式、逻辑图、波形图、卡诺图. 从真值表到函数式的转换方法为：读出所有函数值为 1 所对应的最小项，求和即 可得逻辑函数的标准表达形式，即最小项之和形式. 从逻辑函数式到逻辑图的转换方法为：利用逻辑运算符号图形表示代替逻辑运算， 整理可得. 从逻辑图到逻辑函数式的转换方法为：用逻辑运算代替逻辑运算符号图形表示即 可得. 从逻辑函数式到波形图的转换方法是：按照时间顺序依次写出输入，代入逻辑函 数式得到输出，即可画出波形图. 从波形图到卡诺图的转换方法为：读出波形图中每一时刻的输入和输出，将输入 对应到卡诺图的一个方块，填入输入，当卡诺图填满时转换完成. 从卡诺图到真值表的转换方法为：根据卡诺图的每一个方块对应的输入变量取值， 将方块内的值填入真值表即可. 类似地可得其他所有转换方法. • 在逻辑函数的真值表和波形图中, 任意改变各组输入和输出取值的排列所序对函 数有无影响? 答：没有影响. • 卡诸图化简法所依据的基本原理是什么? 答：逻辑相邻的两个最小项作或运算时, 其结果是二者合并为一项, 并消去一对互 为反变量的因子. 在低阶卡诺图上, 很容易用几何相邻表达逻辑相邻.(要注意逻辑 相邻和几何相邻不是严格等价，哪怕是对于低阶卡诺图) • 卡诺图两侧变量取值的标注次序应遵守什么规则? 答：相邻两个标注之间只有一个变量不同, 以保证逻辑相邻和几何相邻的一致性. 可以按照格雷码的书写方法书写变量取值. • Q——M 法所依据的基本原理是什么? 答：通过合并相邻最小项并消去多余因子 而获得最简的与或式.(不要求掌握这种方法，但可以认识到，其本质思想仍然是通 16
数字逻辑电路学习指导 2020秋数字逻辑电路06班 过合并逻辑相邻的最小项得到最简与或式) ·公式化简法、卡诺图化简法、Q一M化简法各有何优缺点？ 答：(1)公式化简法的优点是对逻辑变量的数量没有限制，但须灵活应用基本和常 用公式，没有固定原则可循，而且很难确定最后得到的是否是最简的函数式 (2)卡诺图化简法的优点是有固定的步聚可循，化简过程直观，简便，并且能够确定 得到了最简结果.但是对于变量数有限制，一般来讲不应超过4个变量， (3)Q一M法对变量数没有限制，而且有固定的规则，但是过程繁琐，适合于用 计算机编程实现.这种方法在这门课程中不作要求 ·什么是约東项，任意项和无关项？ 答：约束项：在逻辑函数中，恒等于0的最小项称为逻辑函数的约東项，用来表示 输入变量的某些取值是不允许的，对应于描述的事件不会出现. 任意项：在输入变量的某些取值下，函数值是0和1均可，并不影响电路的功能 这种变量取值所对应的最小项称为任意项， 无关项：约束项和任意项统称为无关项 ·将一个约束项写入逻辑函数式或不写入逻辑函数式，对函数的输出是否有影响？ 答：对于约束项，没有影响（因为这个最小项对应的取值恒为0）.对于任意项，有 影响（因为其取值可能为0，可能为1，进而有可能产生影响，注意这种影响是针 对逻辑函数的输出讨论的，和无关项的定义并不矛盾)， ·怎样利用无关项才能得到更简单的逻辑函数化简结果？ 答：加入的无关项应与函数式中尽可能多的最小项具有逻辑相邻性， 4.5 经典例题 。逻辑等式的证明 (1)证明两个逻辑变量X和Y互为反变量的等价表达X+Y=1,XY=0. (2)请利用第一问的结论证明逻辑等式 ABCD+A'B'C'D'=(AB'+BC+CD'+DA' 证明：(1)若X和Y互为反变量，即Y=X'.代入计算得 X+Y=X+X'=0 XY=XX'=0 17
2020 秋数字逻辑电路 06 班 数字逻辑电路学习指导 2020 秋数字逻辑电路 06 班 过合并逻辑相邻的最小项得到最简与或式) • 公式化简法、卡诺图化简法、Q ——M 化简法各有何优缺点? 答：(1) 公式化简法的优点是对逻辑变量的数量没有限制, 但须灵活应用基本和常 用公式, 没有固定原则可循, 而且很难确定最后得到的是否是最简的函数式. (2) 卡诺图化简法的优点是有固定的步聚可循, 化简过程直观, 简便, 并且能够确定 得到了最简结果. 但是对于变量数有限制，一般来讲不应超过 4 个变量. (3)Q——M 法对变量数没有限制，而且有固定的规则，但是过程繁琐，适合于用 计算机编程实现. 这种方法在这门课程中不作要求. • 什么是约東项, 任意项和无关项? 答：约束项: 在逻辑函数中, 恒等于 0 的最小项称为逻辑函数的约東项，用来表示 输入变量的某些取值是不允许的，对应于描述的事件不会出现. 任意项: 在输入变量的某些取值下, 函数值是 0 和 1 均可, 并不影响电路的功能. 这种变量取值所对应的最小项称为任意项. 无关项: 约束项和任意项统称为无关项. • 将一个约束项写入逻辑函数式或不写入逻辑函数式, 对函数的输出是否有影响? 答：对于约束项, 没有影响 (因为这个最小项对应的取值恒为 0). 对于任意项, 有 影响 (因为其取值可能为 0，可能为 1，进而有可能产生影响，注意这种影响是针 对逻辑函数的输出讨论的，和无关项的定义并不矛盾). • 怎样利用无关项才能得到更简单的逻辑函数化简结果? 答：加入的无关项应与函数式中尽可能多的最小项具有逻辑相邻性. 4.5 经典例题 • 逻辑等式的证明 (1) 证明两个逻辑变量 X 和 Y 互为反变量的等价表达 X + Y = 1, XY = 0. (2) 请利用第一问的结论证明逻辑等式 ABCD + A ′B ′C ′D ′ = (AB′ + BC′ + CD′ + DA′ ) ′ 证明：(1) 若 X 和 Y 互为反变量，即 Y = X′ . 代入计算得 X + Y = X + X ′ = 0 XY = XX′ = 0 17
数字逻辑电路学习指导 2020秋数字逻辑电路06班 即满足等式 若X和Y满足等式，可列出真值表 XX'Y X+YXY 0 1 0 100 0 由真值表可知，X'和Y的取值保持一致，即可知X和Y互为反变量. 综上所述，两个逻辑变量X和Y互为反变量的等价表达X+Y=1,XY=0. (2)令X=ABCD+A'B'C'D',Y=AB+BC”+CD+DA'.计算得 XY=(ABCD+A'B'C'D(AB'+BC+CD'+DA)=0 和 X+Y-ABCD+AB'C'D'+AB'+BC+CD'+DA -ACD+A(CD)+AB'+BC+CD'+DA' =AC+AC+AB'+BC+CD'+DA =AC+DA'+CD+A'C+AB'+BC+CD -AC+DA'+C+A'C+AB'+BC =DA'+C+A+AB'+B =C+A+A+B=1+C+B=1 所以X=Y”,则原等式成立 ·化简逻辑函数式 请用公式法化简Y=(A+B+C+D)(A'+B+C+D)(A+B+C+D)(A+ B+C+D)(A+B+C+D) 解：这类题目求解时，首先要注意是否指定了方法，如果有则必须按照指定的方 法进行化简.如果没有，可以根据变量的个数进行选择.如果变量个数较少，则可 以考虑使用卡诺图法：如果变量个数较多，考虑是否可以转化为变量个数较少情 形，如果可以则尝试转化，如果不可以，则往往只能使用公式法化简， 这道题目指定了使用公式法进行化简.使用公式法化简时，首先要根据逻辑函数 式的形式确定方法，以及公式的选择.根据这道题目的形式，可以考虑两种思路， 一种是利用反演公式，写出Y'的表达形式，并化简，然后再使用反演公式得到 Y的最简与或式.另一种思路是表达成最大项之积的形式，进而得到最小项之和 的形式，合并相邻项即可得， 具体的计算过程留给读者进行尝试，这道题目作为一类题型的代表，向读者阐述 这类题目的求解思路. 18
2020 秋数字逻辑电路 06 班 数字逻辑电路学习指导 2020 秋数字逻辑电路 06 班 即满足等式. 若 X 和 Y 满足等式，可列出真值表 X X′ Y X + Y XY 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 由真值表可知，X′ 和 Y 的取值保持一致，即可知 X 和 Y 互为反变量. 综上所述，两个逻辑变量 X 和 Y 互为反变量的等价表达 X + Y = 1, XY = 0. (2) 令 X = ABCD + A′B′C ′D′ , Y = AB′ + BC′ + CD′ + DA′ . 计算得 XY = (ABCD + A ′B ′C ′D ′ )(AB′ + BC′ + CD′ + DA′ ) = 0 和 X + Y = ABCD + A ′B ′C ′D ′ + AB′ + BC′ + CD′ + DA′ = ACD + A ′ (CD) ′ + AB′ + BC′ + CD′ + DA′ = AC + A ′C ′ + AB′ + BC′ + CD′ + DA′ = AC + DA′ + CD + A ′C ′ + AB′ + BC′ + CD′ = AC + DA′ + C + A ′C ′ + AB′ + BC′ = DA′ + C + A ′ + AB′ + B = C + A ′ + A + B = 1 + C + B = 1 所以 X = Y ′ ，则原等式成立. • 化简逻辑函数式 请用公式法化简 Y = (A + B + C + D)(A′ + B + C + D)(A + B′ + C + D)(A + B + C ′ + D)(A + B + C + D′ ) 解：这类题目求解时，首先要注意是否指定了方法，如果有则必须按照指定的方 法进行化简. 如果没有，可以根据变量的个数进行选择. 如果变量个数较少，则可 以考虑使用卡诺图法；如果变量个数较多，考虑是否可以转化为变量个数较少情 形，如果可以则尝试转化，如果不可以，则往往只能使用公式法化简. 这道题目指定了使用公式法进行化简. 使用公式法化简时，首先要根据逻辑函数 式的形式确定方法，以及公式的选择. 根据这道题目的形式，可以考虑两种思路. 一种是利用反演公式，写出 Y ′ 的表达形式，并化简，然后再使用反演公式得到 Y 的最简与或式. 另一种思路是表达成最大项之积的形式，进而得到最小项之和 的形式，合并相邻项即可得. 具体的计算过程留给读者进行尝试，这道题目作为一类题型的代表，向读者阐述 这类题目的求解思路. 18
数字逻辑电路学习指导 2020秋数字逻辑电路06班 ·多个变量的逻辑函数式化简 化简Y=(AB'CD+ACDE+BDE+ACDE)' 解：首先观察，题目没有指定方法.然后发现，逻辑函数式中有5个变量，而我们 往往在变量数不大于4的情况下使用卡诺图法进行化简，理由是当变量数超过4 时，逻辑相邻性在卡诺图上的表示变得复杂，不易于求解，而且容易忽略一些逻 辑相邻关系从而没有得到最简的结果.这道题目我们以公式法（结合卡诺图法）和 卡诺图法分别进行求解，希望读者可以比较二者的使用，并产生思考 法一：使用公式法化简往往是难度较大的，因为不易于直接找到合适的公式进行 化简，对于这种多个变量的情形难度往往更大.这时我们有一个思路，就是希望通 过把多个变量的逻辑函数式转化为变量个数较少的逻辑函数式，进而可以方便求 解，而且当变量数不超过4的时候可以接着使用卡诺图求解.按照这个思路，我 们分析这道题目.首先记 Z=AB'C'D+ACDE+B'DE+ACD'E 进行化简可得 Z=AC(B'D+E+B'DE 此时可以发现，逻辑函数式中AC”,BD都是以整体形式出现，则可以令F= AC',G=BD,进而可得 Z-EF+EG+FG 所以得 Y=(EF+EG+FG)=EF+EG+F'G 此时只有3个变量，可以使用卡诺图法化简得到 Y=EF+EG 所以得到化简结果 Y=A'E+BE+CE+D'E 法二：使用卡诺图法进行化简.对于多个变量的情形，我们如果仍然使用卡诺图法 进行化简，要注意其逻辑相邻性在卡诺图上的表达形式.由题意知 Y(A,B,C,D,E)=(AB'C'D+AC'DE+B'DE'+AC'D'E)' =(m2+m6+m17+m18+m19+m22+m25+m27)/ 进而可画出卡诺图 19
2020 秋数字逻辑电路 06 班 数字逻辑电路学习指导 2020 秋数字逻辑电路 06 班 • 多个变量的逻辑函数式化简 化简 Y = (AB′C ′D + AC′DE + B′DE′ + AC′D′E) ′ 解：首先观察，题目没有指定方法. 然后发现，逻辑函数式中有 5 个变量，而我们 往往在变量数不大于 4 的情况下使用卡诺图法进行化简，理由是当变量数超过 4 时，逻辑相邻性在卡诺图上的表示变得复杂，不易于求解，而且容易忽略一些逻 辑相邻关系从而没有得到最简的结果. 这道题目我们以公式法 (结合卡诺图法) 和 卡诺图法分别进行求解，希望读者可以比较二者的使用，并产生思考. 法一：使用公式法化简往往是难度较大的，因为不易于直接找到合适的公式进行 化简，对于这种多个变量的情形难度往往更大. 这时我们有一个思路，就是希望通 过把多个变量的逻辑函数式转化为变量个数较少的逻辑函数式，进而可以方便求 解，而且当变量数不超过 4 的时候可以接着使用卡诺图求解. 按照这个思路，我 们分析这道题目. 首先记 Z = AB′C ′D + AC′DE + B ′DE′ + AC′D ′E 进行化简可得 Z = AC′ (B ′D + E) + B ′DE′ 此时可以发现，逻辑函数式中 AC′ , B′D 都是以整体形式出现，则可以令 F = AC′ , G = B′D，进而可得 Z = EF + E ′G + F G 所以得 Y = (EF + E ′G + F G) ′ = EF′ + E ′G ′ + F ′G ′ 此时只有 3 个变量，可以使用卡诺图法化简得到 Y = EF′ + EG 所以得到化简结果 Y = A ′E + BE′ + CE + D ′E ′ 法二：使用卡诺图法进行化简. 对于多个变量的情形，我们如果仍然使用卡诺图法 进行化简，要注意其逻辑相邻性在卡诺图上的表达形式. 由题意知 Y (A, B, C, D, E) = (AB′C ′D + AC′DE + B ′DE′ + AC′D ′E) ′ = (m2 + m6 + m17 + m18 + m19 + m22 + m25 + m27) ′ 进而可画出卡诺图 19