《流体力学》课程教学资源（讲稿）第二章 流体静力学

2.2流体的平衡微分方程及其积分 ·同理： ·y方向作用在a'和b'c面的压强分别为 p+ op dy 1op dy 20y 2 0y ·z方向作用在ab'和dc'面的压强分别为 1a卫dz p+ 20z 1op dz 20z (2)质量力 。 质量力在坐标轴方向的投影分别为F,F,、F2,有： F=pdxdydeX F pdxdydY F.=pdxdydzZ 贵源与环境工程学院

资源与环境工程学院 2.2 流体的平衡微分方程及其积分 • 同理： • y方向作用在a'd和b' c面的压强分别为 • z方向作用在ab'和dc'面的压强分别为 （2）质量力 • 质量力在坐标轴方向的投影分别为Fx，Fy、Fz，有： 1 2 p p dy y  +  1 2 p p dy y  −  1 2 p p dz z  +  1 2 p p dz z  −  x y z F dxdydzX F dxdydzY F dxdydzZ     =   =   =

2.2流体的平衡微分方程及其积分 ·根据平衡条件，所有作用在 b 该六面体上的表面和质量力的 1op dx p- 2 0x p+- 1op dx M 0x 合力为零，故沿x轴有： F.pdxdydzX Px+Fx=0 d 即： 〔ejt(pr2t+hx-0 .化简得：cddt+pXdd=0 &x X-1Op 0 p ox 贵源与环境工程学院

资源与环境工程学院 2.2 流体的平衡微分方程及其积分 • 根据平衡条件，所有作用在 该六面体上的表面和质量力的 合力为零，故沿x轴有： Px+Fx=0 即： • 化简得： O z dz dx z y x y x dy M a b c d a' b' c' d' 1 2 p p dx x  −  1 2 p p dx x  +  F dxdydzX x =  1 1 0 2 2 p p p dx dydz p dx dydz dxdydzX x x            − − + + =       0 p dxdydz Xdxdydz x   − + =  1 0 p X  x  − = 

2.2流体的平衡微分方程及其积分 x方向 x-1op 0 POx y方向 y-1 2=0 (2.4) poy 方向 Z 1ap =0 pOz 上式是由欧拉在1755年首先导出的流体平衡微分方程，通常称为欧 拉平衡微分方程。 ·该方程说明，平衡流体所受的质量力分量等于表面力分量。 欧拉平衡微分方程是平衡流体中普遍适应的一个基本公式，无论流 体受的质量力有哪些种类，流体是否可压缩，流体有无粘性。 贵源与环境工程学院

资源与环境工程学院 2.2 流体的平衡微分方程及其积分 （2.4） • 上式是由欧拉在1755年首先导出的流体平衡微分方程，通常称为欧 拉平衡微分方程。 • 该方程说明，平衡流体所受的质量力分量等于表面力分量。 • 欧拉平衡微分方程是平衡流体中普遍适应的一个基本公式，无论流 体受的质量力有哪些种类，流体是否可压缩，流体有无粘性。 1 0 1 0 1 0 p x X x p y Y y p z Z z      − =      − =      − =    方向 方向 方向

2.2流体的平衡微分方程及其积分 2.2.2平衡微分方程的积分 ·将式(2.4)中各式分别乘以d、d、dk,然后相加，经变化可得： d X-10p =0 &x opy+ op dx +Opd=p(Xdx+Ydy+ZdE) pox dy. Y-1op =0 poy 因为，pky,)是x、y八、z的函数 dz Z-1op =0 poz 所以： do= 2+ -dy+ @x a dp=p(Xdx+Ydy+Zde)(2.5) ·上式为欧拉平衡方程的综合形式，也叫压强微分公式。 资源与环境工程学院

资源与环境工程学院 2.2 流体的平衡微分方程及其积分 2.2.2 平衡微分方程的积分 • 将式（2.4）中各式分别乘以dx、dy、dz，然后相加，经变化可得： 因为，p(x,y,z)是x、y、z的函数 所以： • 上式为欧拉平衡方程的综合形式，也叫压强微分公式。 1 0 1 0 1 0 p dx X x p dy Y y p dz Z z          − =              − =             − =        ( ) p p p dx dy dz Xdx Ydy Zdz x y z     + + = + +    p p p dp dx dy dz x y z    = + +    dp Xdx Ydy Zdz = + + ( ) （2.5）

2.2流体的平衡微分方程及其积分 ·压强微分公式的左端是压强的全微分，积分后得到某一点的静压强 ，因此下式的右端括号内的三项必须也是某函数W=Fc,y,)的全微分 ，这样才能保证结果的唯一性。即有： dp 2+乎d+2dk=p(xd+Y+Z)】 dw Xdx +Ydy +Zdz= -dy+ ow d Ox 。由此 :x-OW dh y- oW 'dy （2.6) &x 。式(2.5)变为dp=pdW (2.7) 。1 满足式（2.6)的函数称为势函数。 贵源与环境工程学院

资源与环境工程学院 2.2 流体的平衡微分方程及其积分 • 压强微分公式的左端是压强的全微分，积分后得到某一点的静压强 ，因此下式的右端括号内的三项必须也是某函数W=F(x,y,z)的全微分 ，这样才能保证结果的唯一性。即有： • 由此得： • 式（2.5）变为dp=ρdW （2.7） • 满足式（2.6）的函数称为势函数。 ( ) p p p dp dx dy dz Xdx Ydy Zdz x y z     = + + = + +    W W W dW Xdx Ydy Zdz dx dy dz x y z    = + + = + +    W W W X dx Y dy Z dz x y z    = = =    （2.6）