对应于x的分量E2(满足如下的关系: 2。()=∑5(x)qv(x)] 其中φ(x)表φp(*)的逆方阵。}称为G型协向量.反 之,如在V的点x有一组数(x)连续依赖于x,,对局部 坐标变换满足(1.16),则{u(x)定义→x点的G型协向量 最显然的情形是G=1.此时的G型向量称为标量.在 v的标量场即中的函数 设在x∈V有一组量T¨3(*)(吗,…a,B…,同 1,…,N),它经坐标变换(11.2)有如下的变换关系 (x)=[ detp p(x)]r如 【甲(x)]…[甲v(x)]φv(*)][影(x)],(11) 则称为x点的G型的权σ的r阶逆变,「阶协变张量这里我 们利用和号省略,即有指标相同的代表对此指标从1到N求 和.今后如非特别声明皆按此规定处理 当权a=0,Ta1-(x)简称为x点的G型的r阶逆变 阶协变张量 微分几何中最常见的群G是GL(m,R),即所有m×m 实非异方阵所成的群,而取甲()=,此时我们不必 说是GL(m,R)型张量,而简称为张量便可以了。x点的向 量所成的线性空间就简写为T。x点的向量最简单的例子 是过x点的一可微分曲线x=x()的切线: 而协变向量的最筒单例子是x点附近可微分函数中(x的偏 微分
6小(x) ar 当j一配; 0,当j÷ 很容易地证明,这是一阶逆变以及一阶协变的张量、又令 82……8 ,=|… (119 8…出 这称为 Kronecker a符号,容易证明这是r阶逆变和r阶协 变张量。此外,它有如下性质:任两逆变指标互换,或任两协 变指标互换时差一负号,并且如果j1…,j中有一指标不 同于和,时,则8“,=0 S12联络与协变微分 设G是r维N×N矩阵李群,据§1.1矩阵李群定义有 乘法函数ψ(a,r)(a=1,…,t).令 a(o,r) a3b=1, 由于φ(σ,0)=口及(0,x)=四,故有a(0)=a,b 1,,r)因此,当正数e1充分小时,方阵(4(σ)) 当σ∈W,是非异的.令(v(o)≤a,b是它的递方阵.由51.1 矩阵李群定义的条件(i)可知,当A(a),A(r)∈奶2时,有 A()9(-∑2(20(2,a=1,…,(12 取 而令
T aAO (123) 这是N×N常数方阵,它们是线性独立的,如若不然,有一 组数…2使得Sλ“7。=0,于是有 hood( ar 令A(x)=(4))1<m上式即 2° 0(x 这与51.1矩阵李群的定义()中所说A()的函数矩阵之 秩为r根矛盾令9为以T…,7为基生成的线性空间T 称为对于参数a…d的自然基.令x≈0,我们由(1 22),得出 4(oT= 0A() a() 我者 d()0-∑()rnb-1,…,(1.24) 若B∈B,便能写成B=Bo(σ),此时有 OB A 0A(a) ∑吡(),b如1,… 这证明对G中任一方阵B,B-10能够用常数方阵T的 线性组合来表示,其系数va()是σ的实解析函数 当,r∈,由
∑a("(x)T4() ( (124) adb 我们对(1.2.4微分,有 82A 18 d10=S9 把a与b交换而相减,得出 ad aA ad A 0A→A 1 6 av4 avi 6b8 取 而令常数 a()_0(a 6 便有 TT 在9中引进如下乘法: TT T,T,- tbT 如X,Y∈X=“T。Y=zT则 Xy]=∑xn[T,7l 上面已经证明 T如T小=∑c7
因此IX,Y1∈0.0称为矩阵李群G的李代数,C称为对 于基T的结构常数 4,由(.2.4)可知 ∑以(A(x)r(r)=A(r)A()() A-(r)A-1(o)A(r) 34Y(x)()( 由于[A(v]-的矩阵元素仍然是r的实解析函数,而 A(x)A()A()=d-(r)A(小(σr))∈G 因此它能够用W,的参数表示,即 A-(r)4(σ)A()=A((,r) (125) 我们得出 ∑()A-(r)2(x) 4-1(W(o, D)a4((,r220ula, +2 aqra ∑叭(町(r) (a,z) 6 令=0,于是有A((0,x))≈I,即(0,)〓0,因此 得出 4-()ToA()=> [dd(r)IET (12.6) 其中 【Ad(x)~/9-(, 设(x)是v中G型可微分向量场,于是经过坐标变换